李文藝，劉 春，李 彪

(1.宿州學(xué)院機(jī)械與電子工程學(xué)院，安徽 宿州 234000；2．河南大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，河南 開封 475000)

證據(jù)理論是一種不確定推理方法[1-2]，獲取有效的mass函數(shù)是該理論應(yīng)用于實(shí)際的關(guān)鍵所在。一旦獲取了該函數(shù),接下的工作就是利用Dempster公式對(duì)多個(gè)mass函數(shù)進(jìn)行合成運(yùn)算，再根據(jù)合成的結(jié)果進(jìn)行判決。從目前來看，已有的獲取mass函數(shù)的方法可以分為兩類：一類是利用專家的經(jīng)驗(yàn)來構(gòu)造mass函數(shù)；另一類是根據(jù)已知的信息根據(jù)一定的條件自動(dòng)生成函數(shù)。前一類方法容易獲取mass函數(shù)，但是由于每個(gè)專家的偏好不同、經(jīng)驗(yàn)不同，給出的mass函數(shù)有很大的主觀性。不同的專家可能會(huì)給出相反的證據(jù)，此時(shí)利用Dempster公式進(jìn)行合成時(shí)可能出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果。而后一類方法，比如模糊方法，熵函數(shù)方法，粗糙集方法等[3-12]，采用自動(dòng)生成的方法可以不受個(gè)人主觀因素的影響，比較客觀的獲取mass函數(shù)， 在一定程度上解決了mass函數(shù)的獲取。

針對(duì)mass函數(shù)的獲取方法，本文給出了一種基于直方圖的mass函數(shù)的構(gòu)造方法。該方法首先獲取樣本特征的直方圖，再用特征的直方圖構(gòu)造出mass函數(shù)。其基本思想是不同的樣本特征的直方圖可能會(huì)有重疊部分，則在直方圖重疊部分樣本提供的信息具有一定的不確定性，重疊的程度大說明不確定性就大，重疊程度小說明確定性就較大，在直方圖不重疊部分，樣本提供的信息具有較大的確定性，所以可以利用直方圖重疊程度來確定mass函數(shù)的確定程度。該方法的優(yōu)點(diǎn)是在樣本較少，或者較大時(shí)都可以得到有效的mass函數(shù)。通過對(duì)鳶尾屬植物進(jìn)行分類實(shí)驗(yàn)，顯示本文所提出的方法正確分類率達(dá)到96.64%，這說明了本文方法的有效性。

1 證據(jù)理論

設(shè)非空集合Θ是一個(gè)完備集合，應(yīng)包含問題的所有可能，稱為Θ識(shí)別框架。2Θ為Θ的冪集，函數(shù)m為2Θ到[0,1]的映射，即m:2Θ→[0,1]，則映射m稱為基本概率分配函數(shù)，又稱mass函數(shù)。若A∈2Θ，m應(yīng)滿足以下條件

其中?為空集，若m(A)>0，則稱A為證據(jù)的焦元。

假設(shè)m1,m2為識(shí)別框架Θ下的兩個(gè)證據(jù)的mass函數(shù)，可以利用Dempster合成公式對(duì)證據(jù)進(jìn)行合成，Dempster公式如下

2 基于直方圖的mass函數(shù)構(gòu)造方法

本節(jié)將詳細(xì)介紹基于直方圖的mass函數(shù)構(gòu)造方法的基本思想和基本過程。

2.1 基本思想

假如有A,B,C三類樣本，每一類樣本都有k個(gè)特征可供利用,分別記為x1,…,xk。假設(shè)A,B,C三類樣本的特征x1分布區(qū)間分別是[c,d],[a,e],[b,f](如圖1所示)。在區(qū)間[a,b]與[e,f]中樣本不存在重疊，現(xiàn)有一待識(shí)別對(duì)象為s，根據(jù)s的k特征確定s的歸屬。若x1∈[a,b]，由x1構(gòu)造的mass函數(shù)應(yīng)該對(duì)s∈B有很大的支持度；若x1∈[e,f]，由x1構(gòu)造的mass函數(shù)應(yīng)該對(duì)s∈C有很大的支持度。區(qū)間[b,c]與區(qū)間[d,e]中B,C樣本的特征存在重疊，若x1∈[b,c]或x1∈[d,e]，由x1構(gòu)成的mass函數(shù)應(yīng)同時(shí)支持s∈C，s∈B；此時(shí)mass函數(shù)值對(duì)B,C的支持程度與x1附近B，C兩種樣本的數(shù)量緊密相關(guān)。若x1附近C類樣本數(shù)比B類樣本數(shù)多，x1形成的mass函數(shù)對(duì)s∈C的支持程度大于s∈B支持程度，反之亦然。如果x1∈[c,d]，mass函數(shù)應(yīng)該A、B、C三類都有所支持，具體對(duì)A、B、C的支持程度同樣取決于x1附近樣本數(shù)目的三類樣本數(shù)目。x1附近那類樣本數(shù)量多，特征x1生成的mass函數(shù)應(yīng)該對(duì)此類有較大的支持程度。為了避免某些特征構(gòu)成的mass函數(shù)，“一票否決”現(xiàn)象，設(shè)定mass函數(shù)對(duì)框架Θ函數(shù)值不為0。

圖1 樣本分布區(qū)間

2.2 基本過程

假設(shè)有N個(gè)可能的識(shí)別結(jié)果，辨識(shí)框架記為Θ={A1,A2,A3,…,AN}。設(shè)框架中每個(gè)元素的M個(gè)特征分別記為Θ={A1,A2,A3,…,AN} ；下面僅以特征x1為例說明由樣本特征構(gòu)造mass函數(shù)的具體步驟。

步驟5 特征x1構(gòu)成的mass函數(shù)記為m1,m1(Ai)表示x1支持Ai的程度。現(xiàn)有一個(gè)未知對(duì)象a，若a的特征x1∈Δj此時(shí)特征x1構(gòu)成的mass為

對(duì)余下的M-1個(gè)特征按照以上步驟可以分別生成m2,m3,…,mM。容易驗(yàn)證對(duì)于由x1產(chǎn)生的mass函數(shù)之和為1，這完全滿足mass函數(shù)的條件。α應(yīng)是一個(gè)較小的數(shù)值，通常α∈(0,0.3]。利用Dempster合成公式對(duì)多個(gè)特征進(jìn)行融合，可以完成多特征融合的分類器設(shè)計(jì)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

鳶尾屬植物樣本的數(shù)據(jù)集中共有三類植物分別是Iris-Setsoa, Iris-Versicolor, Iris-Virgninca；每類樣本50個(gè),共有150個(gè)樣本。每個(gè)樣本包含四個(gè)特征，分別是含萼片長度，萼片寬度，花瓣長度，花瓣寬度[13]。本文利用該樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證所提方法的可行性。

具體的仿真實(shí)驗(yàn)過程如下：對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，去除“野點(diǎn)”后余下149個(gè)樣本。樣本的特征范圍(單位cm)以及每個(gè)特征直方圖的區(qū)間個(gè)數(shù)如表1所示。首先利用本文方法構(gòu)造出每個(gè)特征對(duì)應(yīng)的mass函數(shù)；然后采用Dempster公式融合不同鳶尾屬植物的四個(gè)特征；再根據(jù)融合結(jié)果完成對(duì)三種鳶尾屬植物的分類工作，判決規(guī)則采用最大化mass函數(shù)值的原則。

對(duì)樣本數(shù)據(jù)采用“留一法”進(jìn)行測(cè)試，采用不同的方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如表2所示。對(duì)待識(shí)別對(duì)象的萼片長度、萼片寬度、花瓣長度、花瓣寬度分別加上不同方差的干擾信號(hào)(干擾信號(hào)的平均值等于該類樣本特征的平均值)，使用本文方法進(jìn)行分類的結(jié)果如表3所示。

表1 樣本數(shù)據(jù)

表2 不同方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

表3 不同干擾情況下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

分別采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)、聚類分析以及本文方法進(jìn)行了分類實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如表2所示。由表2可見采用本文方法的正確識(shí)別率為96.64%，明顯高于支持向量機(jī)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與聚類分析方法。在被識(shí)別對(duì)象的特征受到干擾時(shí)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。由表3可看出在干擾較小時(shí)，本文方法保持了原有的識(shí)別率；在干擾增大時(shí)，本文方法仍能獲得較為理想的實(shí)驗(yàn)效果；在干擾信號(hào)較大時(shí)識(shí)別率為85.23%，此時(shí)識(shí)別率仍然優(yōu)于表2中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與聚類分析方法。

在樣本較少時(shí)可以把直方圖的組距設(shè)計(jì)的大些，并利用mass函數(shù)構(gòu)造過程中的步驟4與步驟5，這樣在小樣本的情況下同樣可以生成可用的mass函數(shù)。此時(shí)不會(huì)出現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的欠學(xué)習(xí)的問題；其次使用本文方法時(shí)不用糾結(jié)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元個(gè)數(shù)的選擇，同時(shí)也避免了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的選擇。在樣本數(shù)量很大時(shí)直方圖的組距可以設(shè)計(jì)的小一些，此時(shí)每一個(gè)子區(qū)間內(nèi)樣本的頻率更接近特征分布密度函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的平均值，這會(huì)使結(jié)果更準(zhǔn)確而不會(huì)出現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的過學(xué)習(xí)問題。利用本文方法進(jìn)行多特征融合時(shí)，由于單個(gè)特征的mass函數(shù)精度對(duì)于最終融合結(jié)果影響不明顯，所以在待識(shí)別對(duì)象的特征存在干擾時(shí)仍能取得較好的識(shí)別率。

4 結(jié) 論

針對(duì)證據(jù)理論的使用中mass函數(shù)的構(gòu)造問題，提出了一種利用直方圖思想構(gòu)造mass函數(shù)的方法，該方法可以利用樣本的特征構(gòu)造出需要的mass函數(shù)，利用Dempster規(guī)則合成多個(gè)特征的mass函數(shù)值，即可實(shí)現(xiàn)多特征融合的模式識(shí)別方法。把該方法用于鳶尾屬植物的分類實(shí)驗(yàn)中，在沒有干擾的情況下，分類正確率達(dá)到96.64%。在被識(shí)別樣本特征受到干擾時(shí)，使用本文方法仍然可以獲得較為理想的識(shí)別效果。文中的實(shí)驗(yàn)說明了該方法可以很好的構(gòu)造出所需要的mass函數(shù)。由于在實(shí)際的模式識(shí)別中通常都需要利用對(duì)象的多個(gè)特征進(jìn)行識(shí)別，只要有少量的樣本就可以使用本文方法構(gòu)造出樣本中每類特征對(duì)應(yīng)的mass函數(shù)。在進(jìn)行多傳感器融合時(shí)，若有多個(gè)傳感器的輸出數(shù)據(jù)作為樣本，利用本文方法可以構(gòu)造出每個(gè)傳感器的mass函數(shù)，可實(shí)現(xiàn)多傳感器的信息融合。

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