王　英　楊曙年

(1.華中科技大學(xué)機械科學(xué)與工程學(xué)院，武漢 430060；2.武漢市計量測試檢定(研究)所，武漢 430050)

0　引言

測量不確定度用于描述被測量值的真值的估計范圍。從測量不確定度的評定方法上講，包括統(tǒng)計不確定度和非統(tǒng)計不確定度兩類。對于統(tǒng)計不確定度而言，早已建立了相應(yīng)的統(tǒng)計數(shù)學(xué)模型。測量結(jié)果擴展不確定度的評定方法目前主要采用的是統(tǒng)計評定方法。設(shè)服從正態(tài)分布的測量值x的概率密度為P(x)，用Bessel方法可得其擴展不確定度為ku，其中k為包含因子，u表示測量結(jié)果的標準不確定度(用測量數(shù)據(jù)樣本的標準差來表征)。

在實際測量中，并非所有的擴展不確定度都可以用統(tǒng)計方法評定，因此，非統(tǒng)計不確定度的評定就顯得非常重要。同時，總有一些比統(tǒng)計不確定度更復(fù)雜的情況。例如：在火箭發(fā)射試驗、破壞性實驗以及容易造成環(huán)境污染的試驗中，測量數(shù)據(jù)非常少，其概率分布密度又未知。在這種情況下，用經(jīng)典統(tǒng)計評定方法就顯得非常困難。

為了解決這個問題，本文采用模糊可用區(qū)間直接求取擴展不確定度的方法。該方法允許測量數(shù)據(jù)的個數(shù)少，被測量的概率分布未知，且求得的擴展不確定度區(qū)間具有很高的包含概率。

1　測量值的模糊可用區(qū)間

模糊數(shù)學(xué)是用隸屬函數(shù)研究具有模糊性的事物，探討事物對某一模糊概念的隸屬程度從真到假或從假到真兩個極端的中間過渡的規(guī)律性。在測量過程中，被測量的真值(設(shè)為X0)總是客觀、唯一存在的。因此，可以定義一個被測量真值的集合A為

A=(X0)

(1)

此時，集合A僅含有一個值(元素)X0。

由集合理論可知，實際測量值xi(i=1,2,…，n)和A滿足下列關(guān)于二值邏輯的特征函數(shù)

(2)

在模糊數(shù)學(xué)中，xi對A的隸屬關(guān)系可以被認為是一種過渡，表示xi接近X0的程度，過渡區(qū)間為B，可以用圖1所示的下列隸屬函數(shù)描述

(3)

式中，μi(x)∈[0,1]，i=1、2。由圖1可知，μ1(x)是增函數(shù)，μ2(x)是減函數(shù)。

圖1　隸屬函數(shù)μ(x)

隸屬函數(shù)μ(x)描述了測量值xi是如何符合集合A的。如圖1，若取水平l，l∈[0,1]，相應(yīng)地，在x軸上的X0兩側(cè)附近有兩個區(qū)間s1和s2，則在隸屬水平為l的前提下，x隸屬于A的區(qū)間為

UFl=s1+s2

(4)

對所有測量值xi，若給定l=l*值，則UFl=UFl *唯一確定。即在隸屬水平l*時，測量值xi相對真值X0的分散范圍為UFl *。

區(qū)間B稱為模糊區(qū)間，若l*為最優(yōu)水平，則稱UFl *為l*水平下的模糊可用區(qū)間。于是有下列表征真值的特征函數(shù)

(5)

式(5)表明：凡落在區(qū)間UFl *中的值都是可用的(為真)，否則不可用(為假)。

結(jié)合測量理論不難理解，可以用UFl *來表征測量結(jié)果的擴展不確定度。

2　l *和X0的確定

從模糊數(shù)學(xué)意義上講，l*劃定了事物從一個極端轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粋€極端的界限。實際上也可以將l*看作一個模糊數(shù)，而模糊數(shù)為0.5時最具模糊性，即亦真亦假。當l≥0.5時，就意味著A中包含了幾乎所有有用的x。因此，在邏輯上可將l*確定為0.5。在具體處理數(shù)據(jù)時，當測量值為有限個離散值時，一般取l*=0.4～0.5。當測量值個數(shù)n較小時，可以取l*=0.4。

一般而言，真值X0是未知的，可用數(shù)理統(tǒng)計中的數(shù)學(xué)期望或模糊數(shù)學(xué)中的模糊期望來估計。根據(jù)圖1，本文用μ(x)=1時的x值來估計X0，即

X0≈x|μ(x)=1=xν

(6)

對于小樣本容量的測量數(shù)據(jù)樣本，用這種方法來估計X0是合理的。

3　參數(shù)的映射和求解

參數(shù)的映射的目的實際上就是將普通集合轉(zhuǎn)換為模糊集合。

3.1　參數(shù)的映射

模糊數(shù)學(xué)中的隸屬函數(shù)可用誤差理論中的概率分布密度表征。如果已知概率密度函數(shù)Y=P(x)，通過線性變換

μ(x)=(P(x)-Ymin)/(Ymax-Ymin)

(7)

其中，Ymax≠Ymin。由此式將Y映射至[0，1]區(qū)間，就得到μ(x)。

由式(6)和式(7)可知，xν對應(yīng)著最大概率分布密度值Ymax。

因為已將xi看作模糊數(shù)，故其對真值的隸屬度應(yīng)滿足[0,1]區(qū)間。為此，通過線性變換

ην=(xν-xmin)/(xmax-xmin)

(8)

η(x)=(x-xmin)/(xmax-xmin)

(9)

t=t(x)

=|η(x)-ην|

=|x-xν|/(xmax-xmin)

(10)

將x映射在[0，1]區(qū)間，得到用模糊數(shù)t(x)表示的測量值。式中，xν可以用tν=0表示。

在區(qū)間[0，1]上，用ψFl表示UFl，用ξ1和ξ2分別表示s1和s2，式(4)就變?yōu)?/p>

UFl=s1+s2

=|x-xν|μ1(x)=l+|x-xν|μ2(x)=l

=(xmax-xmin)(t|μ1(x)=l)

+(xmax-xmin)(t|μ2(x)=l)

=(t|μ1(x)=l+t|μ2(x)=l)(xmax-xmin)

=(ξ1+ξ2)(xmax-xmin)

=ψFl(xmax-xmin)

(11)

這里

ψFl=ξ1+ξ2

(12)

于是，圖1變?yōu)閳D2。

圖2　參數(shù)映射

3.2　參數(shù)求解

若離散值μ1j(tj)和μ2j(tj)，j=1,2,…已知，就可以用下列方法求出μ1(t)和μ2(t)。

定義最大模范數(shù)

(13)

用正交多項式

(14)

(15)

分別逼近離散值μ1j(tj)和μ2j(tj)，就得到

μ1(t)=f1(t)

(16)

μ2(t)=f2(t)

(17)

設(shè)

r1j=f1(tj)-μ1j(tj)(j=1,2,…,ν)

(18)

r2j=f2(tj)-μ2j(tj)(j=ν,ν+1,…,n)

(19)

(20)

(21)

可求出待定系數(shù)al和bl。

在式(14)和式(15)中，多項式階次L一般取3，即可獲得較高的逼近精度。

式(20)和式(21)的約束條件分別為

f＇1=df1/dt≤0

(22)

和

f＇2=df2/dt≤0

(23)

式(22)和式(23)表明隸屬函數(shù)本身的單調(diào)下降特性。

這種逼近方法叫做最大模范數(shù)最小法，研究表明，其逼近誤差小于經(jīng)典的最小二乘法。

最后按下列兩式分別求解ξ1和ξ2

min|μ1(t)-l*|t =ξ1

(24)

min|μ2(t)-l*|t =ξ2

(25)

4　隸屬函數(shù)的建立

4.1　直方圖估計法

直方圖估計法是一種常見的方法，當樣本容量n值較大時，例如n≥30，可將測量值分成q組，每組的中值為dj，頻率為mj。取頻率為最大值的組中值為xν，該組組號設(shè)為ν(若有t個最大頻率相等，可用算術(shù)平均值法確定xν和ν)，有

p1j(xj)=mj(j=1,2,…,ν)

(26)

p2j(xj)=mj(j=ν,ν+1,…,q+1)

(27)

4.2　線性估計法

將xi序列從小到大排列，形成新序列

(28)

定義

(29)

一般，Δi越小，測量值越密集；反之越疏松。即Δi和Δxi的分布密度有關(guān)。為此，假設(shè)線性隸屬函數(shù)

mj=1-(Δj-Δmin)/Δmax

(30)

Δmax=maxΔj，Δmin=minΔj(j=1,2,…,n-1)

為近似的概率分布密度因子。和直方圖估計法相類似，可以求出xν和ν，于是

(31)

(32)

然后由式(7)～式(23)即可求得μ1j(tj)、μ2j(tj)、μ1(t)和μ2(t)。用線性估計法確定隸屬函數(shù)，一般要求n≥4。

5　算法描述

上述有關(guān)公式的求解，是以最優(yōu)化理論為基礎(chǔ)的。目標函數(shù)為式(20)、式(21)、式(24)和式(25)，約束條件為式(22)和式(23)，具體使用的優(yōu)化方法是序貫無約束極小化技術(shù)SUMT(Sequential Unconstrained Minimization Technique)。擴展不確定度的評定步驟如下：

1)采樣xi，i=1,2,…,n；

4)由式(7)獲得μ1j(tj)(j=1,2,…,ν)和μ2j(tj)(j=ν,ν+1,…,n)之后，再用式(9)和式(10)計算η(x)和t；

5)用式(14)、式(15)、式(18)、式(19)、式(20)和式(21)創(chuàng)立數(shù)學(xué)模型f1和f2，約束條件為式(22)和式(23)；

6)通過式(16)和式(17)得到隸屬函數(shù)μ1(t)和μ2(t)；

7)在借助式(24)和式(25)計算出l=l*水平下的ξ1和ξ2之后，用式(11)獲得UFl *。

6　測量不確定度模糊評定的應(yīng)用

現(xiàn)仍以經(jīng)典評定中使用的電感耦合等離子體(ICP)發(fā)射光譜儀測量銅溶液濃度為例(參見《中國計量》2007年第6期)，在建立了式y(tǒng)=74.7947+3630.4492x標準曲線的基礎(chǔ)上，測量濃度值為3.00μg·mL-1的銅標準溶液GBW(E)130079的濃度，按本文4的要求計算，結(jié)果列入表1和表2。

表1　濃度測量線性估計法計算數(shù)據(jù)

按本文3的要求，使用SUMT優(yōu)化和罰函數(shù)內(nèi)點法，得結(jié)果見表3。

表2　濃度測量直方圖法計算數(shù)據(jù)

由表3，電感耦合等離子體(ICP)發(fā)射光譜儀測量銅溶液(濃度在0～3.0000μg·mL-1范圍)的擴展不確定度為：

U95=0.0325μg·mL-1

表3　計算結(jié)果

7　討論

用經(jīng)典的方法來評定測量的擴展不確定度為0.0343μg·mL-1;用本文模糊集合理論來評定的擴展不確定度為0.0325μg·mL-1。其相對誤差為(0.0343-0.0325)/0.0343=5.2％。

實驗結(jié)果表明，測量值服從正態(tài)分布，對不確定度的評定誤差而言，本文采用的方法與經(jīng)典方法效果相當。置信水平可達到95％以上。

本文采用的方法適用于不同條件，允許測量值不服從正態(tài)分布。采用的線性估計法能根據(jù)測量數(shù)據(jù)的離散特性(離散特性是已知或未知的)自動識別隸屬函數(shù)μ(x)，從而可以在分布條件未知的情況下得到與真值很接近的結(jié)果。

本文采用方法的顯著特點是：允許采樣個數(shù)少。另一特點是：無論測量值的分布如何，可以不必像統(tǒng)計學(xué)那樣先評定標準差、再設(shè)計置信系數(shù)、最后得出不確定度值，而是直接求出l*水平下的不確定度。

與目前的許多方法相比較，本文的方法更適合于小樣本含量、分布條件未知的情況。

[1]辛仁軒，等.離子體發(fā)射光譜分析.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2005

[2]沈幫興.工程實驗設(shè)計.北京：測繪出版社，1990

[3]胡寶清.模糊理論基礎(chǔ).武漢：武漢大學(xué)出版社，2004

[4]楊綸標，高英儀.模糊數(shù)學(xué)原理及應(yīng)用.廣州：華南理工大學(xué)出版社，2004

[5]孫靖民，米成秋.機械結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1985

[6]盧險峰.最優(yōu)化方法應(yīng)用基礎(chǔ).上海：同濟大學(xué)出版社，2003

[7]俞玉森.數(shù)學(xué)規(guī)劃的原理和方法.武漢：華中理工大學(xué)出版社，1993

[8]王中宇，夏新濤，朱堅民.測量不確定度的非統(tǒng)計理論.北京：國防工業(yè)出版社，2000

[9]王英，楊曙年.電感耦合等離子體發(fā)射光譜儀測量不確定度的評定.中國計量，2007(6)