朱江淼　王　園　繆京元

(1.北京工業(yè)大學(xué)電子信息與控制工程學(xué)院，北京 100124；2.中國計(jì)量科學(xué)研究院，北京 100029)

0　引言

脈沖波形的測(cè)量通常是用高速取樣示波器實(shí)現(xiàn)的，對(duì)測(cè)量不確定度的評(píng)定是依據(jù)不確定度指南(簡(jiǎn)稱GUM)中的傳統(tǒng)方法，即線性傳遞方法。該方法存在太多的局限性，如在測(cè)量模型及其分布形式不明確的情況下無法進(jìn)行評(píng)定，必須將其歸為一種理想的模型來進(jìn)行近似估計(jì)，由此可能會(huì)得出不合理的包含區(qū)間[1-3]。2008年由ISO/IEC發(fā)布的《Guide 98：測(cè)量不確定度》推出了補(bǔ)充文件1——采用蒙特卡羅方法(簡(jiǎn)稱MCM)計(jì)算不確定度在測(cè)量模型中的傳遞，成為GUM的重要補(bǔ)充。2011年中華人民共和國國家計(jì)量技術(shù)規(guī)范文件JJF 1059.2—2011，也提出使用蒙特卡羅法評(píng)定測(cè)量不確定度。目前，國外已經(jīng)采用MCM計(jì)算高速取樣示波器的測(cè)量不確定度，并和GUM方法進(jìn)行了比較[4-5]，而國內(nèi)對(duì)于MCM的應(yīng)用研究還很少，大部分都集中在理論研究上[6-7]，并且還沒有使用MCM評(píng)定高速取樣示波器測(cè)量不確定度的研究。

本文研究基于MCM的高速取樣示波器測(cè)量不確定度評(píng)定，完成了評(píng)定算法的理論分析，進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了基于MCM的高速取樣示波器測(cè)量不確定度評(píng)定。

1　MCM基本原理

MCM是通過計(jì)算機(jī)的大規(guī)模運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)不確定度的評(píng)定，其基本思想是：如果要求解數(shù)學(xué)、工程技術(shù)、生產(chǎn)以及管理等多個(gè)方面的問題時(shí)，首先應(yīng)該建立一個(gè)較合適的隨機(jī)過程或概率模型，使它的參數(shù)作為這些問題所要求的解，然后，經(jīng)過對(duì)模型和過程的觀察或者抽樣的試驗(yàn)，計(jì)算出所要求參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征，最后得到所求解的近似值，因此，可以用估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)偏差來表示解的精確度，也就是不確定度。

蒙特卡羅方法進(jìn)行不確定度評(píng)定的一般步驟可用圖1描述[8-10]，具體為：

圖1　MCM流程圖

1)建立Y和X1，…,XN之間的模型Y=f(X1，…，XN)；

2)選擇蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)樣本量M的大?。?/p>

3)從輸入量Xi的概率密度函數(shù)gXi(ξ)中抽取M個(gè)樣本值xij(i=1,2…,N，j=1,2,…,M)；

4) 對(duì)每個(gè)樣本矢量(x1j，…，xNj)，計(jì)算相應(yīng)Y的模型值：yj=f(x1j,…,xNj)；

從上面的步驟中可以看出，MCM不用像線性傳遞方法一樣需要計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)和復(fù)雜的有效自由度，只需通過大量的計(jì)算機(jī)運(yùn)算，就可以求出所求解的估計(jì)值和線性傳遞方法所不能求出的包含區(qū)間；另外，MCM沒有限制模型是否為線性的；并且不用像線性傳遞方法一樣要在開始時(shí)假設(shè)被測(cè)量的分布。

2　基于MCM的測(cè)量不確定度評(píng)定

本文采用高速取樣示波器Agilent 86100C 測(cè)量階躍脈沖信號(hào)源Fluke 9500B，計(jì)算其上升時(shí)間，對(duì)上升時(shí)間的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行基于MCM的不確定度評(píng)定。在測(cè)量不確定度評(píng)定中，將測(cè)量波形作為理想值，將模擬出的時(shí)基抖動(dòng)噪聲和幅值噪聲作為不確定度影響因素，并將兩者分別疊加到理想波形的時(shí)間軸與幅度軸，疊加后的結(jié)果作為測(cè)量值。通過控制噪聲的疊加以及疊加噪聲的幅值，來觀察計(jì)算出的不確定度的變化情況，其具體流程如圖2所示。

圖2　仿真實(shí)驗(yàn)流程圖

2.1　測(cè)量數(shù)據(jù)獲取實(shí)驗(yàn)

該實(shí)驗(yàn)是在中國計(jì)量研究院脈沖計(jì)量實(shí)驗(yàn)室完成的，由一臺(tái)信號(hào)源和一臺(tái)示波器以及連接線組成整個(gè)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，其中信號(hào)源是上升時(shí)間為15ps的Fluke 9500B，使用Agilent86100C的50GHz的86117A模塊進(jìn)行測(cè)量，采樣點(diǎn)數(shù)為10000點(diǎn)，采樣時(shí)間窗為10ns。實(shí)驗(yàn)首先進(jìn)行示波器的自校準(zhǔn)和溫度補(bǔ)償，然后進(jìn)行設(shè)備的連接，接著設(shè)置信號(hào)源，使其產(chǎn)生階躍信號(hào)，最后在示波器上觀測(cè)測(cè)量結(jié)果，并保存測(cè)量數(shù)據(jù)。測(cè)量得到的階躍信號(hào)波形如圖3所示。

圖3　測(cè)量的階躍信號(hào)波形

2.2　時(shí)基抖動(dòng)噪聲和幅值噪聲的仿真和疊加

幅值噪聲數(shù)據(jù)選取了兩種普遍的噪聲。一種是高斯正態(tài)分布的噪聲，其均值為0，方差值選取原則是小于原始階躍波形數(shù)據(jù)幅值的5%，本文分別仿真了方差值為0.0005V、0.0001V、0.001V、0.005V的噪聲，在Matlab中用函數(shù)normrnd(0，0.0005，10000，1)表示，其中0代表均值，0.0005V代表方差值，10000和1代表生成一個(gè)10000×1的隨機(jī)向量。

另一種是均勻分布的噪聲，其幅值的絕對(duì)值等同于正態(tài)分布噪聲的方差值，在Matlab中用函數(shù)unidrnd(-0.0005，0.0005，10000，1)表示，其中-0.0005V和0.0005V代表的是噪聲幅值的最大值和最小值，10000和1表示生成10000×1的隨機(jī)向量。

時(shí)基抖動(dòng)噪聲是一個(gè)服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)，其均值為0，方差值是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)獲得的，為10-15V[11-12]，用函數(shù)normrnd(0，10-15，10000，1)，當(dāng)然也可以令這個(gè)經(jīng)驗(yàn)值發(fā)生變化，來觀察包含區(qū)間的變化，由于篇幅的限制本文只研究了幅值噪聲的變化對(duì)包含區(qū)間的影響。

在圖3的測(cè)量波形的時(shí)間和幅值軸上分別加入時(shí)基抖動(dòng)噪聲和幅值噪聲之后的階躍信號(hào)如圖4所示，圖3中的階躍信號(hào)可視為標(biāo)準(zhǔn)值，圖4的信號(hào)被認(rèn)為是含有不確定度的測(cè)量波形。為了更好地觀察加入噪聲前后波形的變化，將加入噪聲前后的波形畫入同一個(gè)圖中，并進(jìn)行了局部放大，如圖5所示，其中虛線是原始波形，實(shí)線是加入噪聲后的波形。

圖4　加入噪聲后的階躍信號(hào)波形

圖5　加入噪聲前后波形的局部對(duì)比

2.3　樣本容量M的確定

參考文獻(xiàn)[8]提供一種確定M值的建議，通過先驗(yàn)法，當(dāng)M=10E6時(shí)，可以認(rèn)為包含了輸出量的95%的包含區(qū)間，或者說M值選取要遠(yuǎn)大于1/(1-p)(p是代表所需要的包含概率)，例如M至少大于1/(1-p)的104。由于無法確定這個(gè)數(shù)值是否足夠，因此，有人提出使用自適應(yīng)方法來選擇樣本容量M，即實(shí)驗(yàn)次數(shù)不斷增加的方法。由此可看出，M值的選取方法還沒有確定的方案，需要根據(jù)具體測(cè)量問題進(jìn)行具體分析，選擇適合的方法。作者針對(duì)本文的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，通過進(jìn)行大量的計(jì)算驗(yàn)證來確定出合理的樣本容量M。將含有時(shí)基抖動(dòng)噪聲和幅值為0.0005V正態(tài)分布幅值抖動(dòng)噪聲數(shù)據(jù)分別進(jìn)行M次計(jì)算(M=1000、2000、5000、10000、100000)，計(jì)算結(jié)果如表1所示。由表1可知，當(dāng)M值等于1000時(shí)上升時(shí)間的估計(jì)值不在指定概率下的包含區(qū)間，說明所取的樣本容量還不夠大，不能體現(xiàn)出被測(cè)量的真實(shí)分布，所得到的包含區(qū)間不客觀；當(dāng)M值為10000和100000時(shí)，上升時(shí)間的估計(jì)值在指定概率下的包含區(qū)間中，且包含區(qū)間的差值在10E-3級(jí)別上，可以認(rèn)為趨于穩(wěn)定。通過表1的計(jì)算可以確定本文選擇M的合理取值為10000。

表1　樣本容量M的確定

2.4　計(jì)算上升時(shí)間以及包含區(qū)間

MCM中的主要輸出量是包含區(qū)間，而不是標(biāo)準(zhǔn)不確定度。本文使用Matlab計(jì)算脈沖波形的上升時(shí)間，其中使用了兩次線性插值方法，通過大量的計(jì)算機(jī)運(yùn)算計(jì)算出了在時(shí)基和幅值都存在噪聲的情況下的M個(gè)上升時(shí)間，將這些數(shù)據(jù)記為Y，Y中的每一個(gè)值為yj，j=1,…,M，由此得到輸出量概率密度函數(shù)的離散表示G，再計(jì)算M個(gè)值的期望值作為輸出量的估計(jì)值。

將yj按照非遞減的次序排列，選擇非遞減而不是遞增是因?yàn)镸個(gè)值有可能出現(xiàn)相等的值，如果有必要可以對(duì)M個(gè)值進(jìn)行微小的擾動(dòng)[13-15]，使其成為嚴(yán)格遞增的序列，從這些排序后的值來計(jì)算在給定包含概率p時(shí)輸出量的包含區(qū)間[ylow,yhigh]。

2.5　不確定度仿真結(jié)果分析

本文按照?qǐng)D2所示的流程圖計(jì)算出了含有時(shí)基抖動(dòng)以及幅值噪聲數(shù)據(jù)的階躍信號(hào)波形上升時(shí)間的估計(jì)值、包含區(qū)間，其中包括不同噪聲種類(正態(tài)分布的噪聲、均勻分布的噪聲)、不同噪聲幅度(0.0005V、0.0001V、0.005V、0.001V)，仿真的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2、表3所示。

表2　有正態(tài)分布幅值噪聲和時(shí)基抖動(dòng)的信號(hào)的包含區(qū)間

表3　有均勻分布幅值噪聲和時(shí)基抖動(dòng)的信號(hào)的包含區(qū)間

從仿真結(jié)果可以看出，兩種分布類型的噪聲規(guī)律相似，隨著噪聲幅度的增大，包含區(qū)間隨之變大，說明了噪聲對(duì)階躍信號(hào)的影響在增大，同時(shí)也證明了MCM正確評(píng)定了高速取樣示波器的不確定度。

3　總結(jié)

本文研究了基于蒙特卡羅方法的脈沖波形不確定度評(píng)定，以高速取樣示波器測(cè)量的階躍信號(hào)作為標(biāo)準(zhǔn)值，疊加幅值噪聲和時(shí)基抖動(dòng)噪聲后的階躍信號(hào)作為測(cè)量值，計(jì)算得到了脈沖波形的上升時(shí)間估計(jì)值、概率密度函數(shù)的離散表示、指定概率的包含區(qū)間，實(shí)現(xiàn)了對(duì)脈沖波形測(cè)量不確定度的評(píng)定。

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