董雪明　關(guān)　偉　何懿才　孟曉風　馬博禹

(1.中航工業(yè)北京長城計量測試技術(shù)研究所，北京 100095；2.北京航空航天大學 “慣性技術(shù)”重點實驗室，北京 100191 )

0　引言

隨著武器裝備準確度的要求越來越高，對慣性器件也提出了更高的要求。線加速度計作為慣性器件的重要組成之一，其重要性不言而喻。

常用的線加速度計靜態(tài)校準主要有兩種：一是重力場法校準[1]，二是精密離心機法校準[2]。其中，精密離心機法考核的是線加速度計全量程特性，關(guān)注的是線加速度計整個量程內(nèi)的性能，與實際使用情況接近。與重力場法相比，精密離心機法分離出的線加速度計高階系數(shù)具有更高準確度等優(yōu)點，在線加速度計精密校準中具有重要意義。

我們對校準方案的具體實施細節(jié)不斷探索，對誤差模型的分析、建立和補償技術(shù)做了大量的研究工作，以求提高其校準精度和使用精度。本文主要關(guān)注校準點選取的問題。

1　基于條件數(shù)理論的校準點選取

校準點個數(shù)的選取一般應滿足n>4(m+2)的原則，其中n為校準點個數(shù)，m為加速度計校準模型方程系數(shù)的個數(shù)[3]。一般是按照選定校準點的個數(shù)在全量程范圍內(nèi)均布，對于客戶關(guān)心的校準點，可以特別給出或按客戶要求選擇，但校準點的個數(shù)不能減少。確定校準點以后，利用精密離心機提供給定的標準加速度序列對加速度計進行校準，并采集對應的加速度計的輸出。然后利用最小二乘法進行擬合，分離出模型方程系數(shù)。

本文討論采用的加速度計校準模型為：

y=k0+k1a+k2a2+k3a3

y是被校準加速度計的輸出，單位是V；a是輸入的標準加速度，單位是本地重力加速度，g；ki(i=0，1，2，3)是加速度計模型系數(shù)，單位分別是V，V/g，V/g2，V/g3。經(jīng)過標準加速度序列(a1，a2，…,am)的校準，得到一系列的方程，寫成矩陣形式是：

(2)

令

則得到如下方程組：

Ax=b

(3)

其對應的線性最小二乘的正規(guī)方程組為：

ATAx=ATb

(4)

式(4)稱為按最小二乘準則得到的正規(guī)方程。只要正規(guī)方程中的ATA滿秩，矩陣(ATA)-1存在，就可以通過矩陣求逆的方法得到回歸參數(shù)向量的唯一估計[4]。在加速度計精密離心機校準中，此條件一般都是滿足的。因此，得到正規(guī)方程的解為：

x=(ATA)-1ATb

(5)

這里討論的是b的擾動引起的關(guān)于x的相對誤差界[5，6]。設(shè)式右端存在擾動δb，則最小二乘解亦有擾動δx，則

ATA(x+δx)=AT(b+δb)

(6)

根據(jù)式(3)，可以得到：

ATAδx=ATδb

(7)

A+=(ATA)-1AT

(8)

稱為矩陣A的Moore-Penrose廣義逆矩陣。

δx=A+δb

(9)

(10)

同時，由于

(11)

(12)

即條件數(shù)：

(13)

從式(12)可知，條件數(shù)可以用于衡量最小二乘解的誤差被放大的倍數(shù)。在精密離心機校準中，一般是通過8位半數(shù)字電壓表對加速度計輸出進行測量，可認為δb是同一數(shù)量級的。對于相同數(shù)量級的擾動δb，由于選擇的校準點序列不同，得到的條件數(shù)是不同的，即不同的校準點序列對校準結(jié)果的影響是不一樣的。從條件數(shù)的角度考慮，選擇條件數(shù)較小的校準點序列，是一個優(yōu)化校準方案的思路。

2　實驗結(jié)果分析

以模型為例，一般校準點數(shù)是：n>4(4+2)=24，這里取25個校準點。由于慣性加速度計線性度都非常好，理論上，在線性區(qū)間內(nèi)取相同個數(shù)的校準點進行擬合，得到的擬合結(jié)果是非常接近的。特別是高次項的變化非常小，因此在進行3次項擬合之后，我們關(guān)注的是k0、k1和k2。在本例中，給出一組實測數(shù)據(jù)如表1所示。

表1　精密離心機校準加速度計數(shù)據(jù)

續(xù)表

在實測數(shù)據(jù)中去除6個點(為保證對稱選點，實際上是去除3個加速度值對應的校準點)，就可以得到25個校準點。本文得到6組校準點序列，進行條件數(shù)計算，結(jié)果如表2所示。

表2　不同校準點序列的條件數(shù)和模型系數(shù)比較

由表2可知，k0，k2在10-6量級附近變化；k1在10-7量級附近變化。對于當前的校準要求，如果模型系數(shù)的測量不確定度在10-6量級或更大，這些差異是可以忽略不計的。如果測量不確定度進一步減小，則需要考慮到各項系數(shù)的這種差異。在實際校準中，就有必要選擇合理的校準點序列，來實現(xiàn)更高精度的校準。

3　結(jié)論

從理論推導看，條件數(shù)小的校準組，被校準加速度計測量信號噪聲的影響相對較小，得到的加速度計校準結(jié)果更為可信。經(jīng)過實驗驗證表明，在對稱取點的特殊要求下，本文實驗得到的校準序列所形成的條件數(shù)都在同一量級，對校準結(jié)構(gòu)的影響是很相近的。對于高精度的慣性加速度計而言，條件數(shù)的影響對常數(shù)項較為明顯。當測量不確定度和條件數(shù)的影響在同一量級時，可以不考慮條件數(shù)的影響；當校準裝置、校準技術(shù)繼續(xù)提高，對校準結(jié)果的不確定要求進一步提高時，可以把條件數(shù)作為優(yōu)選實驗方案的指標。

[1]GJB 1037A—2004單軸擺式伺服線加速度計試驗方法[S]

[2]JJF 1116—2004線加速度計的精密離心機校準規(guī)范[S]

[3]IEEE 836-2009, Recommended Practice for Precision Centrifuge Testing of Linear Accelerometers[S]

[4]刑志棟，曹建榮.矩陣數(shù)值分析[M].西安: 陜西科學技術(shù)出版社，2005: 57-61

[5]里德.數(shù)值分析與科學計算[M].北京: 清華大學出版社，2008: 144-149

[6]鮑特雷弗騰.數(shù)值線性代數(shù)[M].北京: 人民郵電出版社，2006: 78-82