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        常數(shù)K值法在微分中值定理證明中的應(yīng)用

        2014-03-22 02:07:24夏軍劍劉俊峰李維偉
        河南科技 2014年6期
        關(guān)鍵詞:羅爾微分等式

        夏軍劍 劉俊峰 李維偉

        (軍事交通學(xué)院基礎(chǔ)部,天津 300161)

        在微積分中有關(guān)微分中值的問題是一個(gè)難點(diǎn),其證明往往要構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù),所以選擇一個(gè)合適的輔助函數(shù)是問題的關(guān)鍵。對(duì)這一類的問題,常數(shù)K值法是比較直觀,同時(shí)也非常簡(jiǎn)便的方法,只需按照一個(gè)固定的套路證明就行了。

        1 常數(shù)K值法概述

        一般待證等式中通過分離,一端是含ξ的抽象函數(shù)(或其低階導(dǎo)函數(shù)),另一端是只與區(qū)間端點(diǎn)a、b及其函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值有關(guān)的常數(shù),常數(shù)值部分是對(duì)稱的或輪換對(duì)稱的,我們可以統(tǒng)一按下述程序證明:

        (1)從結(jié)論中分離出常數(shù)部分,令它等于K,構(gòu)造一個(gè)含K的等式。

        (2)對(duì)含常數(shù)K的等式進(jìn)行適當(dāng)變形,把b換為x,再將右端移于左端,并令左端為F(x),此F(x)即為所構(gòu)造的輔助函數(shù)。

        (3)由 K 的取法及 F(x)的作法可知,F(xiàn)(a)=F(b),對(duì) F(x)使用羅爾定理,可以得到 F′(ξ)=0。

        若原式中含有二階導(dǎo)數(shù),可由F′(ξ)=0解出K后,再用一次中值定理,就可得到欲證的結(jié)果,若含有在中值點(diǎn)處更高階的導(dǎo)數(shù),可仿此繼續(xù),直到所要的結(jié)果。

        2 應(yīng)用舉例

        例1 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),試證明存在,使得

        證明:

        2)令 F(x)=xf(x)-af(a)-K(x-a)

        3)F(a)=F(b)=0,由羅爾定理,

        存在 ξ∈(a,b),使得 F′(ξ)=0

        而 F′(x)=f(x)+xf′(x)-K,所以,F(xiàn)′(ξ)=f(ξ)+ξf′(ξ)-K=0,

        所以 K=f(ξ)+ξf′(ξ),即命題成立。

        例 2 設(shè) f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),試證明存在ξ∈(a,b),使得

        證明:

        3)F(a)=F(b)=0,由羅爾定理,

        存在 ξ∈(a,b),使得 F′(ξ)=0

        所以 K=f(ξ)-ξf′(ξ),即命題成立。

        例 3 設(shè) f″(x)在[a,b]上存在,a

        證明:

        則(b-c)f(a)+(c-a)f(b)+(a-b)f(c)+K(a-b)(b-c)(c-a)=0

        2)令 F(x)=(x-c)f(a)+(c-a)f(x)+(a-x)f(c)+K(a-x)(x-c)(c-a)

        3)F(a)=F(b)=F(c)=0,由羅爾定理,

        存在 ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得 F′(ξ1)=F′(ξ2)=0

        由羅爾定理,存在 ξ∈(ξ1,ξ2) ∩(a,b),使得 F″(ξ)=0。

        而 F″(x)=(c-a)f″(x)-2K (c-a), 所以 F″(ξ)=(c-a)(f″(ξ)-2K)=0

        例 4 設(shè) f″′(x)在[a,b]上存在,試證明存在 ξ∈(a,b),使得

        證明:

        3)F(a)=F(b)=0,由羅爾定理,

        存在 η∈(a,b),使得 F′(η)=0

        所以 F′(η)=F′(a)=0,由羅爾定理,

        存在 ξ∈(a,η) ∩(a,b),使得 F″(ξ)=0

        例 5 若 f(x)∈C(a,b),且 f(x)∈D(2)(a,b),則必存在 ξ∈(a,b),使得

        證明:

        3)F(a)=F(b)=0,由羅爾定理,

        存在 c∈(a,b),使得 F′(c)=0

        例 6 若 a

        證明:

        則(b)-f(a)-(b-a)f′(a)-K(g(b)-g(a)-(b-a)g′(a))=0

        2)令 F(x)=f(x)-f(a)-(x-a)f′(a)-K(g(x)-g(a)-(x-a)g′(a))

        3)F(a)=F(b)=0,由羅爾定理,

        存在 η∈(a,b),使得 F′(η)=0

        而 F′(x)=f′(x)-f′(a)-K(g′(x)-g′(a))

        所以 F′(η)=F′(a)=0,由羅爾定理,

        存在 ξ∈(a,η) ∩(a,b),使得 F″(ξ)=0

        即 F″(ξ)=f″(ξ)-Kg″(ξ)=0,所以 K=,原命題成立。

        [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2001.

        [2] (蘇)菲爾金哥爾茨著,昊新仁等譯.數(shù)學(xué)分析原理(第一卷第一分冊(cè))[M].北京:人民教育出版社,1979.

        [3] 李國(guó)成.淺談利用微分中值定理解題的方法和技巧[J].成都教育學(xué)院學(xué)報(bào),2004(7).

        [4] 朱崇軍,徐侃.微分中值定理應(yīng)用中輔助函數(shù)的構(gòu)造[J].高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2008(2).

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