宋榮榮 陳滋利

0 引 言

磁浮系統(tǒng)本身具有非線性和不穩(wěn)定性特點(diǎn)，這增加了系統(tǒng)的控制難度和復(fù)雜度，系統(tǒng)容易出現(xiàn)安全隱患。尤其是當(dāng)電磁鐵垂直向上跟蹤階躍信號時，系統(tǒng)的超調(diào)量過大而撞擊甚至吸死軌道，造成磁浮列車安全方面的嚴(yán)重后果[1]。目前的控制算法大多是采用以懸浮間隙作為位置信號并結(jié)合電磁鐵的加速度和線圈的電流等信號進(jìn)行傳統(tǒng)的 PID控制[2,3]。然而，由于控制系統(tǒng)和參數(shù)的固定，傳統(tǒng)的PID控制器無法完全兼顧系統(tǒng)的靜態(tài)和動態(tài)性能，即無法獲得最佳的控制效果。目前，很多國內(nèi)外專家學(xué)者采用復(fù)合PID控制器提高磁浮系統(tǒng)的控制性能[4-10]。

在眾多的控制器中，專家PID控制器是近年來發(fā)展起來的一種新型控制器[4-6]。其原理是不受被控系統(tǒng)精確模型的影響，而根據(jù)受控對象的特點(diǎn)和控制規(guī)律的效果，以專家的經(jīng)驗來制定控制規(guī)則在線調(diào)整PID參數(shù)，形成專家PID控制器。文獻(xiàn)[4]結(jié)合了常規(guī)PID控制器和專家控制器的優(yōu)點(diǎn)，在保留常規(guī)PID精度高的基礎(chǔ)上，可以實現(xiàn)小超調(diào)或無超調(diào)控制器，并且，基于專家經(jīng)驗使控制器系統(tǒng)具有接近于人類操作經(jīng)驗的控制性能；文獻(xiàn)[5]在慣性、時滯、數(shù)學(xué)模型不確定的情況下，基于PID閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線分析受控系統(tǒng)穩(wěn)定的內(nèi)在原因，制定了專家模糊控制規(guī)則，減少了超調(diào)量，縮短了延遲時間，從而提高了系統(tǒng)的控制性能；文獻(xiàn)[6]結(jié)合了嵌入式系統(tǒng)高效、實時的控制性能和專家-模糊自適應(yīng)控制器的快、穩(wěn)、準(zhǔn)的控制效果，提出了一種嵌入式專家-模糊PID控制器，驗證了該控制器與單一的專家PID控制器和模糊PID控制器相比具有適用性較好、超調(diào)量較小、穩(wěn)定速度較快的優(yōu)點(diǎn)。但是，文獻(xiàn)中并未提及如何獲得專家 PID控制器中的參數(shù)和如何正確分辨專家規(guī)則中的不同誤差變化情況。這將是本文要解決的主要問題?，F(xiàn)將專家PID控制器、免疫PID控制器和粒子群優(yōu)化算法結(jié)合起來，揚(yáng)長避短，設(shè)計一種復(fù)合的PID控制器。這種復(fù)合型控制器既具有專家控制器的智能性，免疫控制器的適應(yīng)性，PSO算法的優(yōu)化速度快等特點(diǎn)，又具有PID控制器精度高的特點(diǎn)。因此，該控制器對磁浮系統(tǒng)具有良好的控制效果，這也是近年來十分熱門的研究課題[7-10]。

本文主要研究中低速磁浮系統(tǒng)的控制器改進(jìn)問題。先建立磁浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后利用分段的思想，設(shè)計基于PSO算法的分段免疫專家-PID復(fù)合型控制器。其主要過程是以誤差和誤差變化率作為輸入，利用免疫PID控制器得到的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線，根據(jù)誤差變化情況劃分為五個不同階段，利用專家控制器和PSO算法對不同階段的PID參數(shù)進(jìn)行自調(diào)整。最后，基于 Matlab軟件的仿真結(jié)果表明該復(fù)合控制器與單一的專家 PID控制器相比對階躍響應(yīng)具有更好的跟蹤效果。

1 磁浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

假設(shè)電磁鐵不僅在垂直方向運(yùn)動，還沿軌道以速度V運(yùn)行，磁浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 磁浮系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of the magnetic suspension system

圖1 中，絕對氣隙 z ( t)為磁極表面與絕對參考平面的距離； h ( t)為軌道面與絕對參考平面的距離；相對氣隙 c ( t)為磁極表面與軌道面的氣隙。加速度計所測得的輸出為加速度˙z˙(t)；氣隙傳感器測得的輸出為相對氣隙 c ( t)； i( t )為電流互感器測得的控制線圈電流； u ( t)為繞組回路的電壓。

設(shè)N為電磁鐵線圈的匝數(shù)，A為磁極面積，R為線圈的電阻，μ0為空氣磁導(dǎo)率，mg為電磁鐵重力，F(xiàn)( i, c)為懸浮電磁力， fd(t)為外界干擾力。

在分析單電磁鐵懸浮系統(tǒng)的動力學(xué)模型時，假設(shè)[9]：

①忽略漏磁的影響；

②忽略磁鐵芯和導(dǎo)軌中的磁阻，磁勢均勻降落在氣隙 c ( t)上。

③電磁鐵僅有垂直方向上的移動，其他方向受限無運(yùn)動。

根據(jù)電磁學(xué)和動力學(xué)理論，得到基于絕對參考平面的單電磁鐵動態(tài)模型方程：

式中，平衡點(diǎn)的邊界條件為：

在平衡點(diǎn)(i0, c0)附近進(jìn)行線性化處理，可以得到狀態(tài)方程：

令Δu( t)和fd(t)均為零，通過拉氏變換可分別得到相當(dāng)氣隙和絕對氣隙與軌道變化的開環(huán)傳遞函數(shù)。

磁浮系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

由系統(tǒng)的極點(diǎn)判定知[12]，這是一個三階不穩(wěn)定系統(tǒng)，為使電磁鐵穩(wěn)定懸浮必須采取反饋控制。

2 基于PSO算法的分段免疫專家PID控制器的設(shè)計

現(xiàn)將專家PID控制器、免疫PID控制器和PSO優(yōu)化算法結(jié)合起來，揚(yáng)長避短，設(shè)計一種復(fù)合PID控制器。這種EI-PID-PSO復(fù)合型控制器既具有專家控制器的智能性，免疫控制器的適應(yīng)性，PSO算法優(yōu)化速度快等的特點(diǎn)，又具有PID控制器精度高的特點(diǎn)，其控制器結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 PIEPID-PSO控制器結(jié)構(gòu)Fig.2 The controller structure of PIEPID-PSO

2.1 分段免疫PID控制器設(shè)計

免疫 PID控制器的原理是借鑒生物系統(tǒng)的免疫機(jī)理而設(shè)計出的一種非線性控制器。生物體的免疫系統(tǒng)對外界侵入的抗原產(chǎn)生抗體，通過吞噬作用或特殊酶的作用而毀壞抗原[13]。

基于免疫原理提出如下假設(shè)：若第k代的抗原數(shù)量為ε(k)，則輔助細(xì)胞TH的數(shù)量為TH(k)=k1ε（k），k1為正的激勵因子。將抑制細(xì)胞 TS的數(shù)量作為反饋控制，即 TS( k ) = k2f( S( k ) ,Δ S ( k ))，其中 k2為正的抑制因子， f(·)是一個非線性函數(shù)，表示抑制細(xì)胞的抑制量，輸出范圍為[0,1]， S ( k ) = TH(k ) ? TS( k )是免疫反饋控制器，表示B細(xì)胞的總刺激。

反饋控制器規(guī)律如式（7）所示：

式中， ()e k為誤差e的第k個值； ()u k為第k次控制器的輸出， ( 1)u k? 為第 1k?次控制器的輸出；kp、ki和kd分別為 PID控制器的比例、積分和微分系數(shù)；，K為控制反應(yīng)速度，η 為控制穩(wěn)定效果，f(·)為一個選定的非線性函數(shù)，表示細(xì)胞抑制刺激能力的大小。

2.2 專家PID控制器設(shè)計

令 ()e k表示離散化的當(dāng)前采樣時刻的誤差值，( 1)e k? 、( 2)e k? 分別表示前一個和前兩個采樣時刻的誤差，則有

根據(jù)誤差及誤差變化，令 M1，M2為設(shè)定的誤差界限，M1＞M2，可設(shè)計專家規(guī)則如下：

1）當(dāng)e( k)＞M1時，即誤差變化很大。此時無論誤差變化趨勢怎樣，控制器都按最大(或最小)輸出，以達(dá)到迅速調(diào)整誤差，使誤差絕對值以最大速度減少。

2）當(dāng) e( k)Δ e( k)≥ 0時，即誤差朝增大方向變化或誤差沒變化。當(dāng)e( k)＞M2時，即誤差較大，此時，控制器可實施較強(qiáng)的控制作用，以達(dá)到扭轉(zhuǎn)誤差朝減小方向變化，并迅速減小誤差的絕對值，控制器輸出為：

式中， k1為增益放大系數(shù)， k1＞ 1 。反之，當(dāng)e( k ) ＜M2時，即盡管誤差朝增大方向變化，但誤差本身并不很大，此時，控制器可實施一般的控制作用，只要扭轉(zhuǎn)誤差的變化趨勢，使誤差朝減少方向變化即可，其控制器輸出為：

3）當(dāng) e( k)Δ e( k) ＞ 0，或者e( k)=0時，即誤差朝減少的方向變化或已經(jīng)達(dá)到平衡狀態(tài)。此時，控制器可保持輸出不變。

4）當(dāng) e( k)Δ e( k) ＜ 0時，即誤差處于極值狀態(tài)。當(dāng)e( k)≥M2時，控制器可實施較強(qiáng)的控制作用：

5） 當(dāng)e( k)＜δ時，說明誤差很小，此時加入積分，減少穩(wěn)態(tài)誤差。其中，δ為任意小的正實數(shù)。

《教育信息化2.0行動計劃》提出,2022年基本實現(xiàn)“三全兩高一大”的發(fā)展目標(biāo)。其中，“一大”指建成“互聯(lián)網(wǎng)+教育”大平臺,推動從教育專用資源向教育大資源轉(zhuǎn)變。教育信息化從1.0時代進(jìn)入2.0時代[1]。教育信息化2.0將更注重經(jīng)濟(jì)地從廣泛可獲取的、大容量的、不同結(jié)構(gòu)和類型的數(shù)據(jù)中獲取教育價值。其突出優(yōu)勢就是分析事物注重“量化證據(jù)”，不僅僅揭示因果關(guān)系，而且揭示相關(guān)關(guān)系。同時，數(shù)據(jù)也是實現(xiàn)“人本”、“生態(tài)”、“智能”三要素協(xié)同發(fā)展的前提[2]。隨著智能手機(jī)、平板等設(shè)備的興起，移動學(xué)習(xí)愈發(fā)得到研究者的關(guān)注和重視。

2.3 基于PSO算法的PID控制器參數(shù)整定

上述免疫 PID控制器實際上是一個非線性的 P控制器，它可以在線整定PID控制器的參數(shù)，但是，由于存在非線性項，解析參數(shù)的值比較困難，因此需要利用優(yōu)化方法求出參數(shù)的值。目前的尋優(yōu)方法很多，例如單純形法、專家整定法和遺傳算法等。雖然這些方法都具有良好的尋優(yōu)特性，但是，單純形法對初值比較敏感，容易陷入局部最優(yōu)解，造成全局尋優(yōu)的失??；專家整定法需要大量的專家經(jīng)驗，整理經(jīng)驗需要大量的計算時間；遺傳算法需要交叉、變異操作，因此，需要調(diào)整的參數(shù)過多。而粒子群 PSO算法保留了基于種群的全局搜索機(jī)制，更適合于全局優(yōu)化，算法更簡單，更易于實現(xiàn)[15]。

假設(shè)種群P中的粒子數(shù)為S，每個粒子的位置矢量由PID控制器的三個控制參數(shù)組成，即粒子位置矢量的維 3D=。該種群用矩陣表示為：

具體步驟如下：

（1）初始化 設(shè)定PSO算法中涉及的各類參數(shù):搜索空間的下限 Ld和上限 Ud，學(xué)習(xí)因子 c1和 c2，算法最大迭代次數(shù) Tmax或收斂精度ξ，粒子速度范圍[vmin,vmax]；隨機(jī)初始化搜索點(diǎn)的位置 xi及其速度 vi，設(shè)當(dāng)前位置為每個粒子的位置 pi，從個體極值找出全局極值，記錄該最好值的粒子序號q及其位置 pq。

（2）評價每一個粒子 設(shè)粒子i在t時刻的速度和位置為

為了獲取滿意的過渡過程動態(tài)特性和避免超調(diào)，采用了懲罰控制，即一旦產(chǎn)生超調(diào)，將超調(diào)量作為最優(yōu)指標(biāo)的一項，選擇適應(yīng)度函數(shù)為:

式中，e( t) ＜ 0 ，w3為權(quán)值，且 w4＞＞w1。通常w1= 0 .999，w2= 0 .001， w3= 2 ,w4= 1 00。

計算粒子的適應(yīng)值，如果好于該粒子當(dāng)前的個體極值，則將 pi設(shè)置為該粒子的位置，且更新個體極值。如果某個粒子的個體極值好于當(dāng)前的全局極值，則將pq設(shè)置為該粒子的位置，且更新全局極值及其序號q。

（3）粒子的狀態(tài)更新 粒子在 t + 1時刻的速度和位置分別為

式中，1≤i≤M，1≤ d ≤ D ，r1、r2為均勻分布在(0,1)區(qū)間的隨機(jī)數(shù)，w為慣性權(quán)重，其表達(dá)式為

它的大小決定了粒子對當(dāng)前速度繼承的多少，選擇一個合適的w，有助于 PSO均衡它的探索能力與開發(fā)能力。

如果 vi＞vmax，則將vi設(shè)置為vmax；如果vi＜vmin，則將 vi設(shè)置為 vmin。

（4）檢驗是否符合結(jié)束條件 如果當(dāng)前的迭代次數(shù)達(dá)到了預(yù)先設(shè)定的最大次數(shù) Tmax或最終結(jié)果小于預(yù)定收斂精度ξ要求，則停止迭代，輸出最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)到步驟（2）。

在這種控制方法中，PSO算法首先進(jìn)行離線學(xué)習(xí)，然后再接入到控制系統(tǒng)中?；赑SO算法的PID參數(shù)優(yōu)化整定算法關(guān)鍵問題是：如何解決參數(shù)的編碼及適應(yīng)度函數(shù)的選擇。

根據(jù)上述優(yōu)化過程，可以對不同誤差變化下求得預(yù)整定值： k′p， kI′， kD′，則不同階段的PID控制器參數(shù)為 kp= k ′p+Δkp， ki= ki′+Δki， kd= kd′ +Δkd。

3 Matlab仿真分析

計算機(jī)仿真軟件采用Matlab中的M函數(shù)進(jìn)行仿真[16]，驗證PIEPID-PSO控制器的性能。采樣時間為1ms，采樣點(diǎn)為1000個。磁浮系統(tǒng)的參數(shù)、免疫PID控制器的參數(shù)和PSO算法的參數(shù)如表1、表2和表3所示：

表1 懸浮系統(tǒng)的參數(shù)Tab.1 Parameters of the maglev transportation system

表2 免疫控制器的參數(shù)Tab.2 Parameters of the immune controller

表3 PSO優(yōu)化算法的參數(shù)Tab.3 Parameters of PSO scheme

將單一的免疫 PID控制器仿真的階躍響應(yīng)曲線劃分為 5個誤差變化階段，利用 PSO算法設(shè)置PID控制器參數(shù)，將參數(shù)代入專家PID控制器進(jìn)行輸出，對單一的免疫PID控制器和基于PSO算法的分段免疫專家PID控制器的仿真效果進(jìn)行比較。

根據(jù)誤差和誤差變化率的5種情況，對單一的免疫PID控制器后的階躍響應(yīng)劃分為五個階段。分階段圖如圖3所示。

結(jié)合PID參數(shù)的性質(zhì)、專家控制規(guī)則和PSO優(yōu)化參數(shù)算法對系統(tǒng)實際情況作出以下分析：

圖3 單一免疫PID控制器的階躍響應(yīng)曲線Fig.3 Step response of single immune PID controller

1）a~b段，即懸浮系統(tǒng)處于快速跟蹤信號狀態(tài)，此時誤差會很大，相當(dāng)于系統(tǒng)處于e( k)＞M1階段，控制器按最大輸出，使誤差以最大速度減少，因此，為避免系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)較大超調(diào)，應(yīng)增加 kp，減少 kd，限制 ki。此時，利用PSO算法預(yù)整定PID參數(shù)。

2）b~c段，此時 e( k)Δ e( k)＜0，即誤差的絕對值朝減小的方向變化，系統(tǒng)較慢接近預(yù)定值，為抑制超調(diào)，應(yīng)減小 kp，增大 ki和 kd。此時，利用PSO算法預(yù)整定PID參數(shù)。

3）c~d段，此時 e( k)Δ e( k)＞0，即系統(tǒng)處于超調(diào)狀態(tài)，將到達(dá)偏離預(yù)定的最遠(yuǎn)位置。根據(jù)誤差的大小可以對系統(tǒng)實施強(qiáng)弱不同的控制方式，即誤差偏大時選取較大 kp；反之，選取較小的 kp，同時應(yīng)該增加 kd，減小 ki。此時，利用PSO算法預(yù)整定PID參數(shù)。

4）d~e段，此時 e( k)Δ e( k)＜0，e( k)Δe( k?1)＞0，即系統(tǒng)由最遠(yuǎn)位置又回到預(yù)定位置。根據(jù)誤差變化，應(yīng)保持 kp，減少 kd，增大 ki。此時，利用PSO算法預(yù)整定PID參數(shù)。

5）e~f段，e( k)＜ε，即系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，系統(tǒng)已經(jīng)沒有靜差或靜差已經(jīng)小到允許范圍內(nèi)，并且對響應(yīng)曲線已經(jīng)滿意。只需要比例和積分調(diào)節(jié)器提高系統(tǒng)抗干擾能力和系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。此時，利用 PSO算法預(yù)整定PID參數(shù)。

下面，利用PSO算法將上面5個不同階段的PID參數(shù)預(yù)整定結(jié)果如表4所示：

表4 5個不同階段的PID控制器整定參數(shù)Tab 4 The tuning parameters of the 5 different stages of the PID controller

運(yùn)行Matlab程序，PIEPID-PSO的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖4所示。

圖4 PIEPID-PSO控制器的階躍響應(yīng)曲線Fig.4 The step response of PIEPID-PSO controller

兩種控制器的仿真結(jié)果如表5所示：

表5 PIEPID-PSO控制器和IPID控制器的時域分析Tab.5 The time domain analysis of PIEPID-PSO and IPID controller

5 結(jié) 論

本文先建立三階懸浮系統(tǒng)，然后，利用免疫PID控制器給出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線并劃分為 5個不同階段，根據(jù)不同階段的誤差變化，利用專家控制規(guī)則和PSO算法在線調(diào)整PID控制器的參數(shù)。最后，基于Matlab中的M函數(shù)形式進(jìn)行跟蹤研究，結(jié)果表明:

（1）基于PSO算法的分段免疫專家PID控制器比單一的免疫 PID 控制器提高了懸浮系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間，減少了超調(diào)量，加快了系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)速度。從而，在系統(tǒng)精度相同的情況下，該控制器使懸浮系統(tǒng)調(diào)節(jié)精度提高，穩(wěn)態(tài)性能變好，幾乎沒有超調(diào)和振蕩，具有較強(qiáng)的魯棒性。

（2）分段思想為控制器分析誤差的不同變化提供了準(zhǔn)確、快速而有效的幫助。這在實際懸浮系統(tǒng)控制器中有著重大的意義。

（3）一個理論必須在實踐中得到成功的應(yīng)用才能推動其不斷完善和向前發(fā)展，專家控制器理論也是一樣，今后將考慮如何將其和其它智能控制器結(jié)合，更好地應(yīng)用到磁懸浮控制器中去，這是我們孜孜探求理論的最終目的。

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