趙錦劍，楊光永，2，周安然，項敏敏

(1．云南民族大學電氣信息工程學院，云南昆明　650504；2．華南理工大學機械工程學院，廣東廣州　510640)

0　引言

機械系統(tǒng)振動信號處理及故障診斷方法包括自適應濾波[1]、高階譜分析[2]以及獨立分量分析(ICA)[3]等。自適應濾波適用于較復雜的機械振動信號處理，它具有很強的自學習和自跟蹤能力，能夠通過系統(tǒng)辨識來對某一未知的動態(tài)系統(tǒng)進行逼近。高階譜是分析非平穩(wěn)信號和非高斯信號的有力工具，可以定量地描述信號中與故障密切聯(lián)系的非線性相位耦合。Yang[4]等研究了利用雙譜分析定量地描述信號中與機械故障密切聯(lián)系的二次相位耦合的方法，進而對轉子故障進行診斷。但常規(guī)的雙譜分析只以單通道信息為研究對象，不能完全地反映旋轉系統(tǒng)的非線性特征，從而影響了故障診斷的準確性。ICA是盲源信號分離方法之一，能夠在無正交限制下抽取信號的統(tǒng)計獨立分量，并且對微弱機械振動信號的特征提取有較好的效果。如文獻[5]對齒輪箱的振動信號進行分離，使微弱故障信息明顯增強。但ICA存在收斂速度較慢以及誤差累積等不足。

旋轉機械系統(tǒng)穩(wěn)定運行過程產(chǎn)生的振動響應信號可以由AR模型來描述，常用的AR模型參數(shù)估計方法有最小均方(LMS)算法和遞推最小二乘(RLS)算法。LMS算法的特點是運算簡單，無需計算相關函數(shù)，但收斂速度較慢；RLS算法雖然具有較快的收斂速度，但其得到的數(shù)據(jù)自適應濾波器是對每一組輸入數(shù)據(jù)而言的，未能體現(xiàn)信息的完整性[6]。文中提出了一種基于Kalman濾波原理的旋轉機械振動信號處理方法，并將其應用于旋轉機械系統(tǒng)故障診斷。

1　Kalman濾波原理

Kalman濾波器是一種高效率的遞歸濾波器，它能夠從一系列的不完全及包含噪聲的測量中，估計動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。其算法簡述如下[7]：

1．1狀態(tài)方程和觀測方程

狀態(tài)方程：

X(n+1)=F(n+1，n)X(n)+W(n)

(1)

觀測方程：

Y(n)=C(n)X(n)+V(n)

(2)

式中：X(n+1)為系統(tǒng)在離散時刻n+1的狀態(tài)向量；Y(n)為時刻n的觀測向量；矩陣F(n+1，n)和C(n)分別為狀態(tài)轉移矩陣和觀測矩陣；向量W(n)和V(n)為互不相關的零均值高斯白噪聲，它們的相關矩陣分別為Q1和Q2(n)。

1．2Kalman遞推公式

根據(jù)Kalman濾波算法原理，其遞推公式如下：

狀態(tài)向量預報方程：

(3)

狀態(tài)預報相關陣：

P(n+1，n)=F(n+1，n)P(n)FT(n+1，n)+Q1(n)

(4)

Kalman增益：

G(n)=P(n，n-1)CT(n)[C(n)P(n，n-1)CT(n)+Q2(n)]-1

(5)

新息過程：

(6)

一步預報：

(7)

狀態(tài)濾波誤差相關陣：

P(n)=P(n，n-1)-G(n)C(n)P(n，n-1)

(8)

Kalman濾波預估計就是用前面兩個時間更新方程(式(3)～式(4))獲得先驗估計，然后通過后面4個狀態(tài)更新方程(式(5)～式(8))對先驗估計矯正獲得最優(yōu)估計。根據(jù)這6個遞推公式，便可以連續(xù)地求出各個時刻的濾波值以及相應的估計誤差。

2　旋轉機械振動信號Kalman濾波模型的建立

Kalman濾波最初是為了解決工程控制問題而提出來的，但它的思想完全可用于對旋轉機械振動信號進行濾波處理。文中根據(jù)旋轉機械振動信號的特點，利用Kalman濾波算法對振動響應信號的AR模型參數(shù)進行估計，然后利用AR模型建立穩(wěn)定機械系統(tǒng)振動響應信號對應的狀態(tài)空間方程，并結合Kalman濾波遞推方程組對旋轉機械振動信號進行降噪濾波處理。

2．1旋轉機械振動響應AR模型參數(shù)估計

通過數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)得到的旋轉機械系統(tǒng)振動信號數(shù)據(jù)屬于時間序列數(shù)據(jù)，因此可以建立旋轉機械系統(tǒng)振動響應信號的AR模型并進行狀態(tài)預測。

如果把AR模型看成一步線性最小方差預報，已知的輸入向量由x(n-1)，x(n-2)，…，x(n-p)構成，將這些輸入向量和p個參數(shù)ak進行加權運算，便可求出下一步預測向量x(n)的估計，希望輸出為x(n)。其方程式可以表示如下：

(9)

(10)

式中ε0(n)為期望輸出x(n)的最優(yōu)估計誤差。

AR模型的階數(shù)p一般事先是未知的，可以根據(jù)信息論準則和最終預測誤差準則來確定。

利用自適應Kalman濾波算法對AR(p)參數(shù)進行在線估計時，考慮到最優(yōu)參數(shù)是隨時間變化的，因此把參數(shù)估計過程看作非平穩(wěn)過程，引入過程噪聲ε1(n)，則有：

A(n)=A(n-1)+ε1(n)

(11)

根據(jù)Kalman濾波原理，由式(10)和式(11)可得Kalman濾波器的狀態(tài)方程和觀測方程：

狀態(tài)方程：

A(n)=A(n-1)+w(n)

(12)

觀測方程：

x(n)=X(n)A(n)+v(n)

(13)

式中w(n)和v(n)是相互獨立的零均值平穩(wěn)隨機過程。

利用Kalman濾波算法獲得旋轉機械振動響應信號的p階AR模型的參數(shù)a1，a2，…，ap和最優(yōu)估計誤差ε0(n)，便可建立式(9)所示的AR模型。

2．2基于AR模型的狀態(tài)空間方程的建立

設穩(wěn)定旋轉機械系統(tǒng)振動響應信號的時間序列數(shù)據(jù)為x(t)，t=1，2，…，n，利用前面所述的Kalman算法獲得穩(wěn)定旋轉機械系統(tǒng)振動響應信號的p階AR模型的參數(shù)a1，a2，…，ap以及e(t)，建立AR模型方程。則有：

(14)

式(14)可以改寫為：

(15)

若取狀態(tài)向量X(t)=[x(t)，x(t-1)，x(t-2)，……，x(t-p+1)]T，則可得到如式(1)形式的狀態(tài)方程：

X(t)=FX(t-1)+W(t)

(16)

若觀測數(shù)據(jù)為y(t)，則得到如式(2)的觀測方程：

y(t)=CX(t)+v(t)

(17)

3　基于Kalman濾波算法的故障診斷原理

4　仿真實驗

根據(jù)旋轉機械振動特點，構造仿真信號：

x(t)=20[sin(100πt)+sin(180πt+π/6)]t

=[0，T]

(18)

y(t)=x(t)+n(t)

(19)

式中：x(t)為旋轉機械系統(tǒng)穩(wěn)定運行時的振動響應原始信號；y(t)為疊加了噪聲的觀測信號；n(t)為干擾噪聲；T為原始信號的取樣長度。

4．1利用Kalman算法對旋轉機械振動信號進行濾波

對x(t)進行仿真取樣，采樣頻率為1 kHz，取樣200個點，即T=0.2 s．當p=6時，AR(6)模型波形與原始波形x(t)可以達到很好的擬合度，如圖1所示。此時AR(6)模型參數(shù)為：a1=-0．140 0，a2=-0．431 9，a3=1．629 4，a4=-0．786 6，a5=-1．986 9，a6=2．652 7。AR模型參數(shù)的收斂速度與RLS算法以及LMS算法的進行比較，結果如圖2所示?？煽闯觯珹R參數(shù)具有很好的收斂速度且優(yōu)于RLS算法和LMS算法。

圖1　原始信號波形與AR(6)模型波形

圖2　3種算法AR(6)模型參數(shù)的收斂速度

利用所求的AR(6)模型構建狀態(tài)空間方程，結合Kalman濾波遞推方程組對觀測信號y(t)進行濾波。由于機械結構的復雜性，往往機械振動信號中疊加了多種類型的噪聲，因此在文中給原始信號x(t)同時疊加均值為0、方差為15的高斯白噪聲，λ=15的泊松噪聲，以及σ=15的瑞利噪聲進行濾波仿真實驗，結果如圖3所示?？煽闯鯧alman濾波算法能夠有效地濾除觀測信號中的噪聲，在剛開始時估計值與實際值相差較大，但隨著Kalman迭代過程的進行，估計值與實際值將不斷縮小，最終兩者的差值將趨于系統(tǒng)狀態(tài)噪聲值。

(a)疊加3種噪聲后波形

(b)原始波形和估計波形

4．2利用Kalman濾波算法對旋轉機械系統(tǒng)進行故障診斷

對x(t)進行仿真取樣，采樣頻率為1 kHz，取樣1 000個點，即T=1 s；設高斯白噪聲n(t)的均值為0、方差為5。在x(t)的1 000個取樣點中包含微弱突變，圖4為對應的Kalman濾波估計誤差，可以明顯的看到大約在第850個取樣點處信號發(fā)生了突變。由此可判斷在第850個取樣點，設備運行異常。

圖4　帶突變點原始信號的Kalman濾波估計誤差

5　結束語

文中為旋轉機械系統(tǒng)振動信號的處理及故障診斷提供了一種有效可行的方法。該方法能夠有效地濾除旋轉機械振動信號中的噪聲，為后續(xù)的機械振動響應信號的分析處理和運行狀態(tài)的特征提取提供有效的數(shù)據(jù)保障，而且能夠有效地檢測出機械振動信號中的微弱突變信息，對機械故障進行診斷。同時，其收斂速度方面優(yōu)于RLS算法和LMS算法。

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