喬 興，王宏力，王永勝，崔祥祥，陸敬輝

(第二炮兵工程大學(xué)303教研室，陜西西安710025)

1 引言

星敏感器是天文導(dǎo)航系統(tǒng)(Celestial Navigation System，CNS)中重要的姿態(tài)測量元件，是當(dāng)前姿態(tài)輸出精度最高、得以廣泛應(yīng)用的光學(xué)姿態(tài)敏感器［1］。星敏感器雖為高精度儀器，但星敏感器的多種參數(shù)誤差極大的影響了姿態(tài)矢量的獲取精度。因此，為提高星敏感器的測量精度和可靠性，獲得高測角精度，必須要對星敏感器參數(shù)誤差進行標(biāo)定補償。

國內(nèi)外許多學(xué)者對星敏感器的參數(shù)標(biāo)定算法已有大量研究，目前，常用的標(biāo)定算法有最小二乘算法、卡爾曼濾波算法及改進的濾波算法、遺傳算法等，以上各種算法都能夠滿足不同條件的指標(biāo)要求，但也存在標(biāo)定精度過低、對標(biāo)定初始值依賴性強等問題。其中最小二乘算法存在占用存儲空間大、計算量過大、對于非線性、多目標(biāo)問題精度較低，且受到初始值影響較大等問題，濾波算法主要存在計算量大、收斂時間長、精度受復(fù)雜環(huán)境影響較大，遺傳算法主要存在不易精確收斂到全局最優(yōu)解［2－4］。

基于以上問題本文提出一種基于GA－LM(Genetic Algorith算法與Levenberg－Marquardt算法)融合的星敏感器參數(shù)標(biāo)定算法，充分利用了GA算法的全局搜索以及LM算法的局部尋優(yōu)能力，解決了最小二乘算法依賴初值、易陷入局部收斂以及GA算法標(biāo)定效率低、標(biāo)定結(jié)果差的問題，對提高制導(dǎo)精度具有重要意義。

2 系統(tǒng)誤差對星點坐標(biāo)的影響

星敏感器在使用中由于工作環(huán)境的改變以及長期工作帶來的老化和磨損都會造成系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)變化，從而引入系統(tǒng)誤差。在實際測量使用中，星敏感器系統(tǒng)誤差的存在會直接導(dǎo)致星敏感器星點坐標(biāo)的測量誤差，對于具體的誤差影響因數(shù)和數(shù)值關(guān)系還需要更加具體。因此，要準(zhǔn)確描述星點成像的幾何關(guān)系，主要考慮以下誤差因素:1)視軸交點的不準(zhǔn)確，也就是視軸的指向發(fā)生偏移，記為(x0，y0);2)焦距f的不確定;3)CCD焦平面傾斜，假設(shè)焦平面相對理想情況X軸正向轉(zhuǎn)動了x角度、Y繞軸轉(zhuǎn)動了y;4)CCD焦平面繞視軸旋轉(zhuǎn)了β角，記為旋轉(zhuǎn)角β;5)光學(xué)鏡頭的畸變:鏡頭畸變包括徑向和切向畸變，徑向畸變會引起圖像點沿徑向移動，離中心點越遠(yuǎn)其變形越大;切向畸變引起的誤差比較小，可以忽略不計，一般情況下，徑向畸變是影響星敏感器標(biāo)定因素的主要因素［5］，因此只考慮徑向畸變。如圖1所示。則以上的誤差項對星敏感器星像位置坐標(biāo)影響為［5－7］:

圖1 星敏感器誤差傳遞圖

其中，X、Y表示標(biāo)準(zhǔn)星像位置坐標(biāo)中，星敏器系統(tǒng)誤差對星像位置坐標(biāo)的影響量，即為實測星像坐標(biāo)與理想成像點的誤差校正公式。(x，y)表示標(biāo)準(zhǔn)星像位置坐標(biāo);(Δx，Δy)表示主點偏移;x、y、β 分別表示CCD焦平面旋轉(zhuǎn)角以及CCD焦平面繞視軸旋轉(zhuǎn)角。

3 星敏感器參數(shù)標(biāo)定算法設(shè)計

3．1 融合標(biāo)定算法設(shè)計

星敏感器標(biāo)定是一個多參數(shù)、大范圍、非線性的復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問題，在利用最小二乘法進行參數(shù)標(biāo)定時，會有三個缺陷:一是強烈依賴初值;二是容易陷入局部收斂;三是對于非線性、多目標(biāo)問題精度較低。對于GA算法標(biāo)定參數(shù)，其收斂速度慢，不容易得到最優(yōu)解，局部搜索能力較弱。

利用改進的最小二乘法——LM算法對參數(shù)進行標(biāo)定，可以擴大收斂范圍，使標(biāo)定過程不易很快陷入局部最優(yōu)解，但是沒有解決強烈依賴初值的問題。

LM算法的迭代公式為:

LM算法迭代公式通過引入非負(fù)參數(shù)λk，克服了滿秩要求及壞條件下的迭代缺陷，選擇合適的非負(fù)參數(shù)λk可以確保矩陣J(xk)TJ(xk)+λkI為非奇異。而且能避免出現(xiàn)過大的dk值。此外，當(dāng)J(xk)奇異時，dk=－(J(xk)TJ(xk))－1J(xk)TF(xk)沒有定義，而LM算法是有意義的。而GA算法是以群體搜索特性為最突出特點的一種優(yōu)化方法，全局搜索能力較強，但標(biāo)定效率不夠高，標(biāo)定結(jié)果不是最優(yōu)解，只能近似于最優(yōu)解。

為了充分利用GA算法的全局搜索以及LM算法的局部尋優(yōu)能力，并解決LM算法依賴初值以及GA算法標(biāo)定效率低、標(biāo)定結(jié)果差的問題，基于此問題，本文將兩種算法進行融合處理，提出一種基于GA－LM融合的星敏感器參數(shù)標(biāo)定算法。

通過理想成像與實際成像坐標(biāo)的關(guān)系可以看出，星敏感器參數(shù)存在未修正誤差時，將對視場內(nèi)恒星的成像矢量的計算造成誤差，導(dǎo)致工作性能大大降低。所以在使用前必須加以標(biāo)定校正。對星敏感器參數(shù)進行綜合標(biāo)定，最常用的方法是最小二乘法，但其有較多局限性。

3．2 融合算法需要解決的幾個問題

(1)GA算法與LM算法的銜接點

本文的融合算法需要解決的問題是GA算法與LM算法的銜接點。本文將通過設(shè)定判定準(zhǔn)則來解決這一問題，即適應(yīng)度差值計算法。

連續(xù)若干代個體的平均適應(yīng)度值的差值小于一極小值ε。例如:設(shè)目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)度函數(shù)為fitness(x)，第 k代個體適應(yīng)度的平均值為fitness(xk)，GA算法終止的條件需滿足:

其中，n表示連續(xù)n代個體。

第k代的代數(shù)確定可以根據(jù)收斂過程觀察計算法進行確定，即:運用GA算法得到多次優(yōu)化過程，比較幾次收斂圖的走勢，通過觀察收斂過程的方法初步判斷趨于穩(wěn)定或者優(yōu)化效果不明顯的迭代數(shù)，如果優(yōu)化過程各不相同，可以增加優(yōu)化的次數(shù)，或者取幾次迭代數(shù)的平均值。

(2)適應(yīng)度函數(shù)

本文將根據(jù)實驗室的相關(guān)設(shè)備對提出的融合算法進行實驗驗證。星敏感器參數(shù)標(biāo)定的原理就是要使星敏感器成像模型獲得的像點坐標(biāo)值(x'j，y'j)(j=1，2，…，M)與實際圖像的測量值 (xj，yj)(j=1，2，…，M)之間均方根距離的平均值最小。因此，定義適應(yīng)度函數(shù)為:f(θj)=

其中，f(θj)是第j個個體的適應(yīng)度函數(shù)值;(x(θj)，y(θj))為對應(yīng)于染色體θj和第i幅圖像的第j個個體的實際圖像測量值;(x'(θj)，y'(θj))為對應(yīng)于染色體θj和第i幅圖像的第j個個體利用星敏感器成像模型獲得的像素坐標(biāo)。

(3)終止條件

在融合算法標(biāo)定過程中，有兩個終止條件需要判定，GA算法的終止條件1利用適應(yīng)度差值計算法進行計算，連續(xù)若干代個體的平均適應(yīng)度值的差值小于極小正值ε。設(shè)目標(biāo)函數(shù)的適應(yīng)度函數(shù)為fitness(x)，第 k代個體適應(yīng)度的平均值為fitness(xk)，GA算法終止的條件1需滿足:

當(dāng)GA算法達到終止代數(shù)后，利用LM算法進行二次尋優(yōu)，直到達到終止條件2:f(θj)=

即星敏感器成像模型獲得的像點坐標(biāo)值(x'j，y'j)(j=1，2，…，M)與實際圖像的測量值 (xj，yj)(j=1，2，…，M)之間均方根距離的平均值最小。

運用GA－LM融合算法進行星敏感器系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定的流程框圖如圖2所示。

圖2 GA－LM融合算法標(biāo)定星敏感器系統(tǒng)參數(shù)的流程圖

4 半實物仿真系統(tǒng)的實驗驗證

為驗證融合算法思想的科學(xué)性，體現(xiàn)其優(yōu)越性，將通過半實物系統(tǒng)進行實驗驗證。

本實驗采用的實驗室設(shè)備包括:多星模擬器硬件、星敏感器模擬器等。

星敏感器模擬器和星模擬器對準(zhǔn)，如圖3(a)所示是星模擬器中顯示的9×7的點陣標(biāo)準(zhǔn)圖像，圖3(b)是星敏感器中采集的9×7的點陣平面實際成像星圖。

圖3 標(biāo)準(zhǔn)圖像與實際成像

4．1 基于灰度加權(quán)法獲取星圖的質(zhì)心坐標(biāo)

灰度值加權(quán)法計算質(zhì)心坐標(biāo)能充分利用每一點的灰度值信息，而且計算量要比傳統(tǒng)的質(zhì)心計算方法小的多，同時可以滿足星圖中的精度和實時性要求。本實驗中，將運用此方法進行質(zhì)心的提取。得到標(biāo)準(zhǔn)星圖和實際成像中星點的圖像坐標(biāo)值如表1所示。

表1 星點的圖像坐標(biāo)值

4．2 初始參數(shù)設(shè)置

參數(shù)誤差根據(jù)不同型號的星敏感器實際加工、裝配、測量及經(jīng)驗進行設(shè)計，具體如下:焦距誤差一般應(yīng)在2%以內(nèi)，即|Δf|≤0．02f;主點偏移根據(jù)經(jīng)驗通常比焦距誤差小一個數(shù)量級，即一般不會超過10個像素，取|x0|≤0．15mm;根據(jù)各種不同型號的星敏感器情況，鏡頭一階畸變系數(shù)取為:|k1|≤5×10－5;CCD平面的傾斜角α及旋轉(zhuǎn)角β實際中均為比較小的量，取誤差最大的情況:|α|≤0．05°，|β|≤0．05°。

用本文方法進行參數(shù)標(biāo)定時，根據(jù)提供的設(shè)備技術(shù)指標(biāo)，GA算法的初始種群生成范圍設(shè)置如下:焦距 f=44．8 mm，且 dx=dy=6．5 μm，則［fx，fy］= ［6892，6892］，所以設(shè)定 fx，fy∈［6750，7000］;圖像的大小為670像素×520像素，所以得到中心圖像坐標(biāo)為(x0，y0)=(335，260)，設(shè)定 x0∈［325，345］;y0∈ ［250，270］;徑向畸變系數(shù) k1，k2∈［－ 5 × 10－5，5 × 10－5］;傾斜角 αx，αy∈［－ 0．05°，0．05°］;繞光軸 zs軸的旋轉(zhuǎn)角 β ∈ ［－ 0．05°，0．05°］;在該范圍內(nèi)得到初始種群后，利用GA算法開始搜索，GA算法的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如表2所示，傳統(tǒng)最小二乘算法的初始值設(shè)置:歸一化焦距［fx，fy］=［6892，6892］，中心圖像坐標(biāo)為(x0，y0)=(335，260)，徑向畸變系數(shù)k1=k2=0．00005，α =β =0．05°。

4．3 實驗結(jié)果

采用實驗設(shè)備對模擬星圖利用傳統(tǒng)最小二乘算法和GA－LM融合兩種算法進行優(yōu)化，得到優(yōu)化結(jié)果，如表3所示。

表2 GA算法的參數(shù)設(shè)置

表3 采用模擬星圖的標(biāo)定結(jié)果

運用傳統(tǒng)最小二乘算法、LM算法、GA算法及融合算法的標(biāo)定過程如圖4所示，

圖4 星敏感器參數(shù)標(biāo)定的收斂過程

由圖4可知:

(1)最小二乘法標(biāo)定星敏感器參數(shù)受初始參數(shù)的取值影響較大，易陷入局部收斂，標(biāo)定結(jié)果穩(wěn)定性較差;

(2)LM算法改善了最小二乘法易陷入局部收斂以及標(biāo)定結(jié)果不穩(wěn)定的問題，但強烈依賴初值的問題并沒有得到根本解決。

(3)融合算法在140代后利用LM算法二次尋優(yōu)，局部搜索能力明顯加強，標(biāo)定結(jié)果更接近最優(yōu)解。表明:融合算法充分利用了GA算法的全局搜索以及LM算法局部尋優(yōu)的能力，GA算法進行大范圍搜索為LM算法提供一個合適的初值，解決了LM算法依賴初值以及GA算法標(biāo)定效率低、標(biāo)定結(jié)果差的問題，與提出融合算法的思路是一致的。

4．4 誤差分析

定義圖像坐標(biāo)系的平均誤差為星敏感器成像模型投影得到的模擬星點圖像坐標(biāo)(x'i，y'i)(i=1，2，…，m)和模擬星點的實際測量值(xi，yi)(i=1，2，…，m)之間均方根的平均值，以像素為單位，它反映的是求得的星敏感器模型的投影精度。對于N個測試點，其圖像坐標(biāo)的平均絕對誤差為:

可利用上節(jié)中標(biāo)定的結(jié)果計算63個未參與標(biāo)定測試點的投影誤差，如表4所示。

表4 63個未參與標(biāo)定測試點的投影誤差數(shù)據(jù)

得到63個未參與標(biāo)定測試點的投影誤差如圖5所示。

圖5 63個測試點的投影誤差

綜上所述，傳統(tǒng)的最小二乘算法相比于優(yōu)化前的相對誤差為0．37207，GA－LM融合算法相比于優(yōu)化前的相對誤差為0．1190。所以得到本文提出的融合算法相比于優(yōu)化前標(biāo)定精度提高了88．099%，相比于傳統(tǒng)最小二乘法的標(biāo)定精度提高了68．015%。

5 結(jié)論

本文建立了星敏感器的誤差模型，并推導(dǎo)了星敏感器誤差校正公式;在分析常用參數(shù)標(biāo)定方法的基礎(chǔ)上，提出了一種基于GA－LM融合的參數(shù)標(biāo)定算法，通過設(shè)計半實物仿真實驗，結(jié)合實驗室相關(guān)設(shè)備，對融合算法進行了實驗驗證，結(jié)果表明:GALM融合算法相比于優(yōu)化前的相對誤差為0．1190。所以得到本文提出的融合算法相比于優(yōu)化前標(biāo)定精度提高了88．099%，相比于傳統(tǒng)最小二乘法的標(biāo)定精度提高了68．015%，對于提高星敏感器的測量精度具有重要應(yīng)用。

［1］ Mortari D，Junkins，JL．Lost－ in － pace pyramid algorithm for robust star pattern recognition［C］∥24th Annual AAS Guidance and Control Conference，Breckenridge CO，2001，AAS:1 －4．

［2］ Haibo Liu，Xiujian Li，Jichun Tan，et al．Novel approach for laboratory calibration of star tracker［J］．Opt．Engng，2010，49(7):073601．

［3］ LIDe － liang，Ruan Jin．Method adapting to the star sensor’s star extraction［J］．Laser ＆ Infrared，2009，12(39):1348 －1350．(in Chinese)李德良，阮錦．一種適用于星敏感器的星點提取方法［J］．激光與紅外，2009，12(39):1348 －1350．

［4］ WANG Cheng，WANG Hongqiang，CHEN Minghua，et al．The analysis and disposal of imaging circuit noise effect on star sensor［J］．Laser ＆ Infrared，2008，38(7):692 －696．(in Chinese)王辰，王宏強，陳明華，等．星敏感器成像電路噪聲分析及降噪處理［J］．激光與紅外，2008，38(7):692－696．

［5］ WANG Hongtao，LUO Changzhou，WANG Yu，et al．Star sensormodel parametric analysis and calibration method study［J］．J．University of Electronic and Technology of China，2010，39(6):880 －885．(in Chinese)王洪濤，羅長洲，王渝，等．星敏感器模型參數(shù)分析及校準(zhǔn)方法研究［J］．電子科技大學(xué)學(xué)報，2010，39(6):880－885．

［6］ PENG Yuan．Study Base on GA camera calibration method［D］．Changsha:National University of Defense Technology，2009．(in Chinese)彭媛．基于遺傳算法的攝像機標(biāo)定方法研究［D］．長沙:國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2009．

［7］ Carl Christian LIEBE．Accuracy Performance of Star Trackers—A Tutorial［J］．IEEE Trans．On Aerospace and Electronics Systems，2002，38(2):587 －599．