安其昌，張景旭，楊 飛，郭 鵬

(1．中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春130033;2．中國科學院大學，北京100049)

1 引言

激光點光源由于相干性好、能量強在各種光學系統(tǒng)的檢測與裝調(diào)中，都有較為廣泛的應用。大多數(shù)波前檢測元件，使用前，都需要點光源作為初始的標定工具，同時，如果在點光源之前加上特定的補償光學元件，就可以將其發(fā)出的球面波轉(zhuǎn)化為需要的波前。如在一代哈特曼傳感器之前，附加分光棱鏡與點光源，就可以檢測球面鏡的低階面形誤差;將上述裝置應用于主動光學的定標之中，也有較好的效果［1－15］。

由于激光點光源常常作為光學系統(tǒng)的標校工具，故對于其本身的誤差需要嚴格的控制。傳統(tǒng)上，一般使用精度較高的波前探測元件直接測量，通過波前的均方根來評價點光源發(fā)光的均勻性，這樣的方法將所有的誤差源都作為隨機誤差，難以對于系統(tǒng)誤差的水平做出合理的判斷［16－19］。

方差分析是英國統(tǒng)計學家費歇爾在上個世紀所提出的，最初用于分析農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)量的變化是由于隨機誤差還是因為品種改良，后來逐漸應用于其他各個領(lǐng)域。其核心思想是:在重復以及隨機化的前提下，將采集到的數(shù)據(jù)看作由理想值與隨機誤差相加合成得到，之后利用假設(shè)檢驗來權(quán)衡分析其變異情況。對于點光源發(fā)光質(zhì)量評價，將多次測量得到的數(shù)據(jù)合理的排布，就會出現(xiàn)和麥田類似的情況，每一個像元得到的數(shù)據(jù)，相當于一株麥子的產(chǎn)量，利用方差分析，就可以得到激光點光源波前的系統(tǒng)誤差以及隨機誤差情況。

本文類比農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)量分析的方法，引入方差分析來研究激光點光源的系統(tǒng)誤差以及隨機誤差。利用維納過程理論推導了理想激光點光源的統(tǒng)計學模型為高斯分布;之后，針對一種檢驗激光點光源發(fā)光均勻性的檢測方法并進行了實驗驗證。本文的工作對于點光源的發(fā)光質(zhì)量評價有著一定指導意義;同時，對于光電系統(tǒng)的誤差分析也有很好的幫助作用。

2 基本推導

對于點光源所產(chǎn)生的絕對理想的波前，測量儀器不可避免的檢測誤差，也會對數(shù)據(jù)產(chǎn)生不規(guī)則的影響;另一方面，由于在實際的操作過程中的不可控因素(比如大氣湍流的擾動以及隔振效果不理想)，實際得到的波前數(shù)據(jù)也是由各種不規(guī)則的起伏構(gòu)成。系統(tǒng)經(jīng)過去除掉低階波像差之后，分析其波前信息的過程與分析隨機過程的方法類似。

維納(Wiener)過程是愛因斯坦(Einstein)對于布朗運動進行分析時，建立的數(shù)學模型。其本質(zhì)在于針對不規(guī)則運動內(nèi)部的數(shù)學規(guī)律進行了提煉，下面將參考維納(Wiener)過程對于點光源波前誤差進行分析。

首先考慮無系統(tǒng)誤差的情況，按照維納過程的基本假設(shè)，在測量范圍內(nèi)，假定起始點的波前誤差為零，同時點光源波像差具有下述性質(zhì):

(1)波像差各坐標分量都是獨立的，考慮其中一個分量，記為w(l)，對于任意相互不相交的區(qū)域，

有:w(d1)－ w(u1)，w(d2)－ w(u2)，…，w(dn)－w(un)，都相互獨立。

(2)理想的誤差應為對稱分布，因而E{(w(l)}=0。

(3)w(l+Δ)－w(l)的分布與l無關(guān)，并且σ2(Δ)=E{(w(l+Δ)－w(l))2}存在且是Δ的連續(xù)函數(shù)。

設(shè)w(l)的分布密度函數(shù)為f(l，x)其特征函數(shù):

那么:

連續(xù)性可得:

又:

令s→0

由式(1)可得較為理想的點光源波像差應服從高斯(Gauss)分布，由于系統(tǒng)帶有系統(tǒng)誤差，假設(shè)檢測得到的數(shù)據(jù)為 Φij=i+ δij，(j=1，…，n;i=1，…，k)，其中i表示水平i的理論平均值，稱為水平i的效應，即像素i的系統(tǒng)波像差;而δij表示隨機誤差，服從式(1)所表示的分布。

對于點光源光源質(zhì)量評價，關(guān)心的是i是否相同，如果相同通過去除低階piston可以得到完全理想的波前，即點光源的系統(tǒng)誤差不顯著;在實際的應用中，“顯著”指的是與隨機誤差比較，系統(tǒng)誤差達到了一定程度，而對于程度的定量分析，需要進行假設(shè)檢驗。

所要檢驗的假設(shè)為:H0:1=2=… =n

設(shè)總平方和為:

將總平方和分為兩部分，一部分表示由隨機誤差帶來的影響記為SSe，另一部分為各個水平的理論平均值之間的差異所造成的影響，即系統(tǒng)誤差，記為SSA。對于SSe做進一步的分析:固定一個i，考慮其一切觀察值，他們之間的差異完全是由隨機誤差所造成，故可以將 SSe表示為:SSe=，通過兩者之差可以得到:

通過以上分析可得:對于較為理想的點光源，系統(tǒng)隨機波像差服從高斯(Gauss)分布，同時各個像元對應的波像差，應該有相近的系統(tǒng)波像差，即造成測量差異的主要是隨機誤差。

下面一節(jié)將結(jié)合理論分析，利用假設(shè)檢驗的方法，提出一種對于實際點光源發(fā)光質(zhì)量的評價方案。

3 方案設(shè)計、驗證與應用

對于口徑較小的系統(tǒng)，該方法可以作為復檢檢具精度或者高精度測量時的方法，而對于大口徑系統(tǒng)，由于光學器件的尺寸以及光路的長度增加的原因，該方法成為了誤差分配與分析時需要考慮的問題。

首先考慮小口徑系統(tǒng)直接測量的情況，對于實際的點光源，需要進行多次測量，每次測量時都需要微量移動點光源，并重新校準一次。八鄰位是圖形處理中經(jīng)常使用的位置關(guān)系，一般來說得到像素點周圍八個點的信息，就可以較為全面的評價該像元，故為了盡量完整全面地分析點光源的發(fā)光質(zhì)量，需要至少進行九次測量，對應原點、四個象限及其角平分線。下面對于本文得到方法進行實驗驗證。

本文使用PHASICS公司所生產(chǎn)的剪切干涉儀作為波前探測元件，其原理不同于使用微透鏡陣

由于δij服從高斯分布，故利用假設(shè)檢驗，得到接受H0時，有:列進行波前斜率測量的一代哈特曼波前傳感器，而是利用可以分離四個相位的衍波板，可以做到多像元，大視場測量快速測量;在測量之前，首先將點光源調(diào)節(jié)至剪切干涉儀的測量光軸，并進行一次數(shù)據(jù)采集，結(jié)果如圖1所示，根據(jù)之前的方法，所有數(shù)據(jù)的平均值以及像素方差數(shù)據(jù)如圖2和圖3所示。

圖1 波前測量數(shù)據(jù)Fig．1 data ofwave － frontmeasurement

圖2 所有數(shù)據(jù)平均Fig．2 Average of all the data

圖3 各個像素點標準差數(shù)據(jù)Fig．3 Data of standard variance of piexl

將以上數(shù)據(jù)代入式(2)可得:

由以上分析可得，在置信概率0．99下，可以接受激光點光源的系統(tǒng)誤差是均勻的，而對于隨機誤差的評價需要結(jié)合具體的誤差分配來討論。

對于下一代大口徑光電系統(tǒng)，30米望遠鏡(TMT)計劃由美國加州理工學院(Caltech)、加州大學系統(tǒng)(UC)和加拿大大學天文研究聯(lián)盟聯(lián)合發(fā)起。其中中國承擔的三鏡系統(tǒng)主鏡為橢圓形平面鏡，長軸為3．594 m，短軸為2．536 m。對于如此巨大的平面鏡反射系統(tǒng)，傳統(tǒng)上使用的檢測技術(shù)以及誤差分配標準已經(jīng)不再適用，需要利用子孔徑拼接與掃描技術(shù)。對于不同的檢測方案，都需要一個標準而理想的光源，對于如此巨大口徑的系統(tǒng)的放大作用，對于檢測系統(tǒng)標準光源的隨機特性的要求會大幅升高。將符合前文分布的隨機誤差疊加到TMT三鏡仿真面形數(shù)據(jù)之上，如圖4所示，可以看出對于系統(tǒng)波像差造成了明顯影響，而小口徑系統(tǒng)(如鏡面上的一個小的子孔徑)，影響就比較小。具體的定量誤差分配需要進一步的分析與分配。這將是之后工作的重點。

圖4 TMT三鏡波前Fig．4 Wave front of TMTM3

4 總結(jié)

本文引入方差分析來研究激光點光源的系統(tǒng)誤差以及隨機誤差。利用維納過程理論推導了理想激光點光源的統(tǒng)計學模型為高斯分布;之后，對于小口徑系統(tǒng)，提出了一種檢驗激光點光源發(fā)光均勻性的檢測方法。對于大口徑系統(tǒng)(如TMT)，具體的定量誤差分配需要進一步的分析與分配。這將是之后工作的重點。本文的工作對于光電系統(tǒng)的誤差分析與分配有很好的指導作用。

［1］ WANG J，WANG Z F，SUIQ M．Study of FBG stain distribution based on improved genetic algorithm dual constraint［J］．Chinese Journal of Lasers，2012，39(3)03050041 －0．050046．(in Chinese)王靜，王正方，隋青美．基于改進遺傳算法雙重約束的應變分布重構(gòu)研究［J］．中國激光，2012，39(3)03050041 －0．050046．

［2］ ZHANG LM，ZHANG B，YANG F．Design and test of force actuator in active optical system［J］．Opt．Precision Engineering，2012，20(1):38 －44．(in Chinese)張麗敏，張斌，楊飛．主動光學系統(tǒng)力促動器得設(shè)計和測試［J］．光學 精密工程，2012，20(1):38 －44．

［3］ BIY，ZHAI J，WU JH，et al．Onemethod formirror surface figure treatment in optical instrument［J］．Optical Technique，2009，35(1):10 －17．(in Chinese)畢勇，翟嘉，吳金虎，等．一種光學儀器鏡面面形的處理方法［J］．光學技術(shù)，2009，35(1):10－17．

［4］ WANG D，YANG H B，CHEN C ZH．Computer simulation of the optical surface［J］．Computer Simulation，2007，24(2):298 －301．(in Chinese)王棟，楊洪波，陳長征．光學表面面形的計算機仿真［J］．計算機仿真．2007，24(2):298 －301．

［5］ ZHANGW，LIU JF，LING FN，et al．Study on wavefront fitting using Zernike polynomials［J］．Optical Technique，2005，31(5):675 －678．(in Chinese)張偉，劉劍峰，龍夫年，等．基于Zernike多項式進行波面擬合研究［J］．光學技術(shù)，2005，31(5):675 －678．

［6］ LIN X D，LIU X Y，WANG JL，et al．Performent of correction capability of 137－element deformablemirror Opt［J］．Precision Engineering，2013，21(2):267 － 273．(in Chinese)林旭東，劉欣悅，王建立，等．137單元變形鏡的性能測試即校正能力實驗［J］．光學 精密工程，2013，21(2):267－273．

［7］ ZHANGJX．Overview of structure of technologies of large aperture ground based telescope［J］．Chinese Optics，2012，5(4):327 －336．(in Chinese)張景旭．地基大口徑望遠鏡系統(tǒng)結(jié)構(gòu)技術(shù)綜述［J］．中國光學，2012，5(4):327 －336．

［8］ NIM Y，GONG Y．Design and analysis of kinematic lens positioningstructure in lithographic projection objective［J］．Chinese Optics，2012，5(5):476 － 483．(in Chinese)倪明陽．鞏巖光刻投影物鏡光學元件運動學支撐結(jié)構(gòu)的設(shè)計與分析［J］．中國光學，2012，5(5):476－483．

［9］ SHAO L，YANG F，WANG FG，WU X X．Design and optimization of supporting system for1．2m lightweight SiC primarymirror［J］．Chinese Optics，2012，5(3):229 －234．(in Chinese)邵亮，楊飛，王富國，吳小霞．1．2 m輕量化SiC主鏡支撐系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計［J］．中國光學，2012，5(3):229－232．

［10］ A novel predictive controller in the adaptive optics control system based on parallelization method［J］．Acta Optica Sinica，2012，32(8):080100501 － 081001511．(in Chi-nese)史曉雨，馮勇，陳穎．一種基于并行化方法的自適應光學閉環(huán)預測控制器［J］．光學學報，2012，32(8):080100501－081001511．

［11］ WANG R D，WANG P，TIAN W．Design and analysis of compensation of large aperture optical element for gravity deformation［J］．Chinese Optics，2011，4(3):259 － 263．(in Chinese)王汝冬，王平，田偉，等．大口徑光學元件重力變形補償?shù)脑O(shè)計分析［J］．中國光學，2011，4(3):259－263．

［12］ WU Xiaoxia，WANG Minghao，MING Ming，et al．Calibration of thermal distortion for large aperture SiC lightweight mirror［J］．Opt．Precision Engineering，2012，20(6):1243 －1249．(in Chinese)吳小霞，王明浩，明銘，等．大口徑SiC輕量化主鏡熱變形得定標［J］．光學 精密工程，2012，20(6):1243－1249．

［13］ LIN X D，XUE C，LIU X Y Current Status and research development ofwave front correctors for adaptive telescope［J］．Chinese Optics，2012，5(6):337 － 351．(in Chinese)林旭東，薛陳，劉欣悅，等．自適應光學波前矯正器技術(shù)發(fā)展現(xiàn)狀［J］．中國光學2012．5(6):337 －351．

［14］ ZHAO H C，ZHANG JX，YANG Fetal．Preloading eight－van spider for supporting structure of secondary mirror［J］．Opt．Precision Engineering，2013，21(5):1199 －1204．(in Chinese)趙宏超，張景旭，楊飛，等．預緊式八翼梁次鏡支撐結(jié)構(gòu)動力學分析［J］．光學 精密工程，2013，21(5):1199－1204．

［15］ Wolfgang Dierking．RMS slope of exponentially correlated surface roughnessfor radar applications［J］．IEEE Transactions on Geoscience and remote sensing，2000，38(3):1451－1454．

［16］ Ross Zhelem．Specificationof Optical Surface Accuracy U-sing the Structure Function［J］．SPIE，2011，8083:808310－1～808310－10．

［17］Description of Free－form Optical Curved Surface Using Two_variable orthogonal Polynomials［J］．Acta Optica Sinica，2012，32(9):092200201 － 092200210．(in Chinese)王慶豐，程德文，王涌天．雙變量正交多項式描述光學自由曲面［J］．光學學報，2012，32(9):0．9220021 －092200210．

［18］ WANG Xu．Fabrication of SiCmirror in full aperture with optimized fixed abrasive polishing pad［J］．Opt．Precision Engineering，2013，21(2):267 －273．(in Chinese)王旭．使用優(yōu)化的固著磨料磨盤全口徑加工碳化硅反射鏡［J］．光學 精密工程，2012，20(10):2123 －2131．

［19］ CHENG JQ．Principles of astronomical telescope design［M］．Beijing:China Science ＆ Technology Press，2003．程景全．天文望遠鏡原理和設(shè)計［M］．北京:中國科學技術(shù)出版社，2003．