程麗娟，李建華，彭薇薇

(中國(guó)水電顧問集團(tuán)成都勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，四川 成都 610072)

0 引 言

開挖擾動(dòng)形成的洞周圍巖破損區(qū)根據(jù)擾動(dòng)程度可以分為塑性區(qū)和開挖破裂區(qū)，如圖1所示。與處于彈性區(qū)的巖體相比，破損區(qū)巖體是洞周變形的主要貢獻(xiàn)者：塑性區(qū)巖體是洞室開挖應(yīng)力調(diào)整后的主要承載圈，其短期力學(xué)性質(zhì)尚未發(fā)生明顯弱化，但由于其所處應(yīng)力水平較高，巖體處于長(zhǎng)期高水平的應(yīng)力作用下容易發(fā)生不可忽視的時(shí)效變形，巖體的力學(xué)性質(zhì)也會(huì)隨著時(shí)效變形進(jìn)一步弱化，使得破損區(qū)往深部擴(kuò)展[1]；破裂區(qū)巖體已經(jīng)進(jìn)入不連續(xù)狀態(tài)，其力學(xué)性質(zhì)已然弱化，長(zhǎng)期強(qiáng)度顯著降低，因此即便破裂區(qū)巖體處于部分應(yīng)力已經(jīng)釋放的狀態(tài)，依然容易出現(xiàn)時(shí)效變形現(xiàn)象，它是洞周巖體施工期穩(wěn)定性和長(zhǎng)期穩(wěn)定性的潛在威脅。引起洞室圍巖時(shí)效變形甚至失穩(wěn)的主因是破損區(qū)巖體流變特性中的蠕變性質(zhì)[2-3]，對(duì)巖體流變特性進(jìn)行研究是合理設(shè)計(jì)支護(hù)、保證地下洞室圍巖長(zhǎng)期穩(wěn)定的前提。

針對(duì)巖體的流變特性，國(guó)內(nèi)外學(xué)者先后進(jìn)行過大量力學(xué)試驗(yàn)，分析并提出眾多力學(xué)模型對(duì)其進(jìn)行描述，其中工程應(yīng)用最廣的是元件流變模型[4-6]。元件模型理論將三種基本變形特征用相應(yīng)的元件來描述：描述彈性變形的彈簧(Hooke體)、描述粘性變形的粘壺(Newton體)和描述理想塑性流動(dòng)的摩阻片(St. Venant體)。并用這三種基本元件的各種組合來描述材料的各種復(fù)雜變形特征。但是，理想的塑性流動(dòng)在巖土工程中并不多見，尤其對(duì)于處在單向甚至雙向卸荷狀態(tài)下的洞周巖體而言，隨著塑性變形的積累巖體材料更容易出現(xiàn)應(yīng)變強(qiáng)化和應(yīng)變軟化[7-8]。因此用傳統(tǒng)的St. Venant體描述塑性變形已經(jīng)不能滿足巖土類材料的需求。此外，從三種基本元件的性質(zhì)可以看出，元件模型無(wú)法模擬加速蠕變，也就是說傳統(tǒng)的元件流變模型不能模擬蠕變破壞(即穩(wěn)態(tài)蠕變往加速蠕變過渡)，為此有學(xué)者采用非線性粘性元件代替Newton體來模擬加速蠕變，根據(jù)加速蠕變曲線的特點(diǎn)，一般假定應(yīng)變與時(shí)間成冪律關(guān)系，通過調(diào)整指數(shù)來模擬加速蠕變出現(xiàn)的時(shí)間[9-12]。而實(shí)際上，在不同應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變與時(shí)間的關(guān)系不同，這一點(diǎn)在上述非線性粘性元件中未曾考慮。因此，蠕變破壞準(zhǔn)則一直是元件流變模型未能較好解決的問題。

圖1 地下洞室開挖擾動(dòng)區(qū)分區(qū)示意

本文將塑性位勢(shì)理論[13]引入元件流變模型，基于“不可逆變形難以區(qū)分出塑性部分和不可逆粘性部分”的認(rèn)識(shí)，建立了一種適用于描述圍巖破損區(qū)演化的時(shí)效本構(gòu)模型，該模型統(tǒng)一了蠕變破壞與瞬時(shí)變形破壞的破壞準(zhǔn)則，從破壞準(zhǔn)則的角度找到了穩(wěn)態(tài)蠕變向加速蠕變過渡的起始點(diǎn)，因此可以較好的描述從衰減蠕變、穩(wěn)態(tài)蠕變到加速蠕變的全蠕變階段，更真實(shí)的反映圍巖破損區(qū)巖體的時(shí)效變形特點(diǎn)。

1 圍巖破損區(qū)的時(shí)效模型推導(dǎo)

如上文所述，元件流變模型中，傳統(tǒng)的St.Venant體描述塑性變形不能滿足巖土工程需求，考慮到材料的粘塑性變形(或者稱為不可逆變形)難以區(qū)分出塑性部分和不可逆粘性部分，二者也互相影響，可以將二者統(tǒng)一用粘塑性變形來表示，因此本文提出一種非定常St.Venant體(圖2中圓圈中的元件)，并與傳統(tǒng)St.Venant體和Newton體組合成復(fù)合型粘塑性體(圖2中虛線框中的組合元件)，該模型中塑性變形由非定常St.Venant體的屈服條件控制，不可逆粘性變形則由傳統(tǒng)St.Venant體的長(zhǎng)期強(qiáng)度條件控制。此外，材料的瞬時(shí)彈性性質(zhì)可以由Hooke體表征，粘彈性性質(zhì)由Kelvin體(由Hooke體和Newton體并聯(lián)而成)表征，因此一維剪應(yīng)力條件下的流變模型如圖2所示。

圖2 剪應(yīng)力作用下的一維模型

圖2中描述彈性變形的Hooke體具有如下本構(gòu)方程：

(1)

式中τ——為剪應(yīng)力；

G1——為Hooke體的剪切模量；

γe——為彈性剪應(yīng)變。

描述粘彈性變形為Kelvin體具有如下本構(gòu)關(guān)系：

(2)

式中η2——為Kelvin體的粘滯系數(shù)；

G2——為Kelvin體的剪切模量；

γve——為粘彈性剪應(yīng)變；

粘塑性變形也屬于不可逆塑性變形范疇，假設(shè)粘塑性變形滿足塑性位勢(shì)理論定義的塑性流動(dòng)方式，即：

(3)

α——為粘塑性因子；

Q——為塑性勢(shì)函數(shù)。

塑性變形與應(yīng)力歷史相關(guān)，不能顯式定義全量型本構(gòu)關(guān)系，那么粘塑性變形的增量型本構(gòu)關(guān)系可以定義為：

(4)

式中 Δλ——為塑性因子增量；

η——為圖2中粘塑性體的粘滯系數(shù)；

τs——為屈服強(qiáng)度；

τ1——為長(zhǎng)期強(qiáng)度；

Δt——為時(shí)間增量。

〈*〉為開關(guān)函數(shù)：〈*〉=*/2+|*|/2。當(dāng)〈τ-τs〉>0時(shí)，材料發(fā)生塑性屈服，有塑性變形產(chǎn)生；當(dāng)〈τ-τ1〉>0時(shí)，材料的應(yīng)力狀態(tài)超過長(zhǎng)期強(qiáng)度[1]，發(fā)生不可逆粘性變形。屈服強(qiáng)度τs是塑性變形歷史的函數(shù)，即

(5)

對(duì)于具有強(qiáng)化軟化性質(zhì)的材料來說，屈服強(qiáng)度隨塑性變形的增加先增大再減小直到殘余強(qiáng)度(如圖3所示)，因此從式(4)可以看出：若當(dāng)前應(yīng)力狀態(tài)τ小于當(dāng)前的屈服強(qiáng)度而大于長(zhǎng)期強(qiáng)度，那么在隨后一段時(shí)間里會(huì)出現(xiàn)等速粘塑性蠕變，蠕變速率大小為式(4)的右端第二部分，即粘塑性變形持續(xù)等速增長(zhǎng)，屈服強(qiáng)度τs也隨之先增大到峰值再減小(見圖3)，當(dāng)τs減小到τ-τs>0時(shí)，由屈服引起的塑性變形再次出現(xiàn)，若應(yīng)力狀態(tài)始終保持τ不變，而持續(xù)增長(zhǎng)的粘塑性變形會(huì)使得屈服強(qiáng)度τs持續(xù)下降，〈τ-τs〉逐漸增大，就相當(dāng)于在粘塑性體內(nèi)部對(duì)塑性元件持續(xù)加載，這個(gè)過程的粘塑性變形速率為式(4)，描述加速粘塑性變形過程，即加速蠕變階段，發(fā)生蠕變破壞。因此式(4)對(duì)粘塑性本構(gòu)關(guān)系的定義符合人們對(duì)長(zhǎng)期強(qiáng)度的認(rèn)識(shí)。

在三維條件下，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是一個(gè)二階對(duì)稱張量，應(yīng)力張量可以分解為球應(yīng)力張量和偏應(yīng)力張量，寫成指標(biāo)形式為：

σij=σmδij+sij

(6)

式中σij——為應(yīng)力張量；

σm=σkk/3——為球應(yīng)力；

δij——為Kronecker delta符號(hào)(i=j時(shí)，δij=1；i≠j時(shí)，δij=0)；

sij——為偏應(yīng)力張量。

相同，應(yīng)變張量也可以分解為球應(yīng)變(體積應(yīng)變的1/3)張量與偏應(yīng)變張量之和：

εij=eij+εvolδij/3

(7)

式中εij——為應(yīng)變張量；

eij——為偏應(yīng)變張量。

體積應(yīng)變?chǔ)舦ol=εkk。

考慮到塑性變形不能用顯式的全量關(guān)系表示，將應(yīng)變張量寫成增量型式，根據(jù)圖2所示的各元件之間的關(guān)系，總的球應(yīng)變和偏應(yīng)變張量分別由以下幾部分組成：

(8)

式中 Δeij——為偏應(yīng)變?cè)隽繌埩浚?/p>

將上述一維本構(gòu)關(guān)系映射到三維條件下，可以分別得到如下本構(gòu)關(guān)系：

(9)

式中K——為體積模量；

F——為屈服函數(shù)；

λ〈F〉——為塑性因子增量；

q——為當(dāng)前應(yīng)力狀態(tài)下的廣義剪應(yīng)力：

q1——為當(dāng)前靜水壓力和Lode角對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)期強(qiáng)度。

由于巖石類材料的強(qiáng)度與應(yīng)力狀態(tài)相關(guān)，不是常數(shù)，因此假設(shè)長(zhǎng)期強(qiáng)度也滿足長(zhǎng)期強(qiáng)度參數(shù)(即長(zhǎng)期強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的粘聚力c1和內(nèi)摩擦角φ1)對(duì)應(yīng)的屈服條件(F=0)[1]。僅采用廣義剪應(yīng)力定義穩(wěn)態(tài)粘塑性蠕變的原因是：材料不能被無(wú)限壓縮，因此靜水壓力下巖石材料不可能發(fā)生穩(wěn)態(tài)蠕變。對(duì)于具備強(qiáng)化軟化性質(zhì)的材料，其屈服函數(shù)F是應(yīng)力張量和材料強(qiáng)度參數(shù)的函數(shù)，材料強(qiáng)度參數(shù)是塑性應(yīng)變的函數(shù)，一維情況下為F=τ-τs。式(8)和(9)構(gòu)成三維條件下的流變模型增量型本構(gòu)方程。

圖3 屈服強(qiáng)度τs與粘塑性剪應(yīng)變?chǔ)胿p的關(guān)系

2 模型的驗(yàn)證及測(cè)試

Kelvin體模擬粘彈性蠕變(衰減型蠕變)的效果在眾多文獻(xiàn)中均有驗(yàn)證，本文不再重復(fù)。本節(jié)對(duì)模型的等速和加速蠕變段模擬效果進(jìn)行定性測(cè)試。將材料粘彈性元件中的彈性元件剛度設(shè)為極大值，使其不發(fā)生變形，僅考察模型的彈粘塑性變形模擬效果。

對(duì)模型進(jìn)行圍壓三軸蠕變數(shù)值試驗(yàn)，圍壓恒定為3MPa，施加不同的軸壓并保持壓力不變，隨著時(shí)間推進(jìn)試件從等速蠕變狀態(tài)過渡到加速蠕變狀態(tài)，軸壓越大，穩(wěn)態(tài)蠕變的速率越大、出現(xiàn)加速蠕變的時(shí)間越短，如圖4所示。對(duì)試件進(jìn)行圍壓三軸分級(jí)加載蠕變數(shù)值試驗(yàn)，當(dāng)軸壓小于長(zhǎng)期強(qiáng)度時(shí)，軸向應(yīng)變～時(shí)間關(guān)系為水平直線，如圖5中σ1=20MPa的水

圖4 圍壓三軸蠕變?cè)囼?yàn)的應(yīng)變～時(shí)間曲線(圍壓3MPa)

平直線段，有瞬時(shí)塑性變形發(fā)生但沒有粘塑性變形發(fā)生；當(dāng)軸壓大于長(zhǎng)期強(qiáng)度之后，出現(xiàn)等速蠕變現(xiàn)象，蠕變速率隨軸壓的增大而增大，如圖5中軸壓等于23MPa的蠕變速率低于軸壓等于26MPa的蠕變速率；當(dāng)加速蠕變條件滿足以后，出現(xiàn)加速蠕變現(xiàn)象，試件軸向應(yīng)變迅速增大，試件破壞，如圖5中軸壓等于29MPa時(shí)，等速蠕變發(fā)生一段時(shí)間后出現(xiàn)了加速蠕變現(xiàn)象?？梢?，本文提出的時(shí)效本構(gòu)模型可以有效模擬巖土類材料的完整蠕變?nèi)A段。

圖5 圍壓三軸分級(jí)加載蠕變?cè)囼?yàn)?zāi)M(圍壓3MPa)

3 模型的工程應(yīng)用討論

理論模型應(yīng)用于工程實(shí)際的關(guān)鍵在于模型參數(shù)取值的方法。本文提出的時(shí)效本構(gòu)模型除去瞬時(shí)塑性變形參數(shù)外共有7個(gè)參數(shù)，分別為：K、G1、G2、η、η2、cl、φl(shuí)。其中K、G1、G2、η2為Hooke-Kelvin模型的參數(shù)，參數(shù)的取值可由材料的蠕變?cè)囼?yàn)獲得，具體算法可參考文獻(xiàn)[14]中所述。參數(shù)η為粘塑性粘滯系數(shù)，粘塑性變形在蠕變?cè)囼?yàn)中表現(xiàn)為等速蠕變，因此η是應(yīng)力水平與應(yīng)變率之比。參數(shù)cl、φl(shuí)是與長(zhǎng)期強(qiáng)度q1對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)期強(qiáng)度參數(shù)：

(10)

其取值方法與峰值強(qiáng)度參數(shù)c、φ一致，區(qū)別在于對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度為長(zhǎng)期強(qiáng)度。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文將塑性位勢(shì)理論與元件流變理論結(jié)合，推

導(dǎo)出一個(gè)適用于描述圍巖破損區(qū)演化的時(shí)效本構(gòu)模型，該模型在低應(yīng)力狀態(tài)下反映粘彈性性質(zhì)、高應(yīng)力狀態(tài)下反映粘彈—粘塑性性質(zhì)。與同類型的元件模型相比，本文推導(dǎo)的流變模型只增加了一個(gè)長(zhǎng)期強(qiáng)度參數(shù)(可由力學(xué)試驗(yàn)獲得)，卻可以延用塑性位勢(shì)理論中的屈服條件作為穩(wěn)態(tài)蠕變過渡到加速蠕變的判斷準(zhǔn)則。因此該模型的意義不僅在于可以較好描述蠕變的三個(gè)階段尤其是確定加速蠕變的起點(diǎn)，更在于統(tǒng)一了巖石瞬時(shí)變形破壞與時(shí)效變形破壞的破壞準(zhǔn)則，兩種類型的變形破壞采用同一準(zhǔn)則更符合人們對(duì)材料破壞準(zhǔn)則的定義。

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