楊 敏, 俞建寧, 張建剛, 安新磊, 杜文舉, 李耀偉

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

近年來,人們不僅力求深入分析非線性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響,而且開始探索利用分岔、混沌等非線性現(xiàn)象造福人類,對(duì)創(chuàng)建新的混沌系統(tǒng)的需求明顯增加.目前,設(shè)計(jì)和建造新的人工混沌系統(tǒng)已經(jīng)成為一個(gè)活躍的話題[1-5].文獻(xiàn)[6]提出一個(gè)新的名詞混沌糾纏,它是一種新的產(chǎn)生混沌的方法，基本原理是通過糾纏函數(shù)糾纏兩個(gè)或多個(gè)穩(wěn)定的線性子系統(tǒng)來產(chǎn)生一個(gè)人造的混沌系統(tǒng).混沌糾纏提供了一個(gè)更簡(jiǎn)單的方法來設(shè)計(jì)和構(gòu)建新的混沌吸引子.在實(shí)際中混沌糾纏可以被用來作為一個(gè)指導(dǎo)原則,以有效地構(gòu)造人工混沌系統(tǒng).

本文利用混沌糾纏的方法構(gòu)造出一個(gè)新的超混沌系統(tǒng),通過一系列動(dòng)力學(xué)分析[7-9],驗(yàn)證了這個(gè)系統(tǒng)是混沌的.

1 新混沌系統(tǒng)的構(gòu)造

通過一些非線性函數(shù)進(jìn)行糾纏時(shí),如果兩個(gè)或多個(gè)線性子系統(tǒng)能產(chǎn)生混沌行為,這種現(xiàn)象就叫混沌糾纏.其中非線性函數(shù)叫做糾纏函數(shù).

考慮兩個(gè)線性子系統(tǒng).一個(gè)是二維的,另一個(gè)是一維的,分別如下所示

(1)

(2)

其中(x,y,z)是狀態(tài)變量.當(dāng)a<0,c<0,兩個(gè)子系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

通過正弦函數(shù)糾纏(1)和(2)三個(gè)子系統(tǒng),我們就得到下面的系統(tǒng)

(3)

其中(a,b,c,d,e)是糾纏系數(shù),(sinx,siny,sinz)是糾纏函數(shù).

當(dāng)a=-1,b=10,c=-1,d=3,e=18時(shí),系統(tǒng)(3)有一個(gè)混沌吸引子,如圖1所示.

圖1 當(dāng)a=-1,b=10,c=-1,d=3,e=18時(shí)系統(tǒng)(4)的相圖

2 新系統(tǒng)的混沌驗(yàn)證

2.1 對(duì)稱性和不變性

2.2 耗散性與吸引子的存在

由于系統(tǒng)(3)的向量場(chǎng)散度

(4)

所以,當(dāng)a+b+d<0時(shí)系統(tǒng)(3)是耗散的,并且以指數(shù)形式收斂

即體積元V0在時(shí)刻t時(shí)收縮為體積元V0e(a+c-d)t,且當(dāng)t→∞時(shí)包含系統(tǒng)軌線的每個(gè)小體積元以指數(shù)率(a+c-d)收縮到零, 所有系統(tǒng)的軌線最終會(huì)被限制在一個(gè)體積為零的極限子集上，且漸近運(yùn)動(dòng)將被固定到一個(gè)吸引子上.

2.3 有界性分析

通常,如果一個(gè)系統(tǒng)是有界的,且有一個(gè)正Lyapunov指數(shù),那么這個(gè)系統(tǒng)是混沌的.

定理1 當(dāng)a<0,c<0時(shí),系統(tǒng)(3)是有界的.

證明為了計(jì)算方便,我們將系統(tǒng)(3)寫成如下形式

其中,

定義V=XTX,于是有

XT(AT+A)X+2FTBTX≤

于是

Ω0={X|‖X‖=M},Ω1={X|‖X‖≤M}

當(dāng)‖X‖>M時(shí)，有

這表明系統(tǒng)(3)有界于Ω0.

2.4 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

要分析新系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性,首先是要找出它的平衡點(diǎn),通常平衡點(diǎn)與系統(tǒng)的參數(shù)有關(guān).由于系統(tǒng)(3)是一個(gè)超越方程組,有很多個(gè)平衡點(diǎn),通常,不容易找到其精確的解,所以這里只考慮一個(gè)平衡點(diǎn)E0=(0,0,0).

定理2[10]多項(xiàng)式L(λ)=λ3+p1λ2+p2λ+p3(pi為實(shí)數(shù))的所有的根都有負(fù)實(shí)部的充分且必要條件為p1,p2,p3都為正數(shù),且滿足不等式p1p2>p3.

定理3 當(dāng)a<0,b<0,c<0,d>0,b+e>0,b2d+e3<0時(shí)，平衡點(diǎn)E0是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

證明系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)E0=(0，0，0)處的Jacobian矩陣為

可得系統(tǒng)(3)在E0=(0,0,0)處的Jacobian矩陣的特征多項(xiàng)式為

p(λ)=λ3+(d-a-c)λ2+

(ac-b2-ad-cd-be)λ+

acd-b2d-be2-bde-e3

(5)

根據(jù)引理2知,要使式(5)有負(fù)實(shí)部的特征根,即平衡點(diǎn)E0是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是不等式

(6)

成立.所以當(dāng)滿足條件(6)時(shí),平衡點(diǎn)E0=(0,0,0)漸進(jìn)穩(wěn)定.

3 數(shù)值模擬

取參數(shù)a=-1,b=10,c=-1,d=3,e=18,計(jì)算得λ1=1.754358,λ2=0.001866,λ3=-6.756883.系統(tǒng)(3)有兩個(gè)大于零的Lyapunov指數(shù),所以系統(tǒng)(3)此時(shí)處于超混沌狀態(tài).圖2、3給出了系統(tǒng)(3)隨分岔參數(shù)e變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜.從圖2、3可以看出系統(tǒng)(3)隨分岔參數(shù)e變化運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性,隨著參數(shù)e的逐漸增大,系統(tǒng)(3)經(jīng)歷由一周期倍化為二周期,四周期,…,的倍周期分岔的運(yùn)動(dòng)形式,從穩(wěn)定的周期1軌道通過倍周期分岔的形式走向混沌.在混沌域內(nèi)夾雜著許多長(zhǎng)度不同的周期窗口,在這些窗口中,有的發(fā)生了倍周期分岔,有的鑲嵌較寬的3周期窗口(圖4(a)),說明系統(tǒng)(3)的運(yùn)動(dòng)比較穩(wěn)定,有的窗口出現(xiàn)混沌危機(jī)(圖4(b)).

4 結(jié)束語

本文構(gòu)造了一個(gè)新的混沌系統(tǒng),通過一系列動(dòng)力學(xué)分析,驗(yàn)證了該系統(tǒng)是混沌的.數(shù)值計(jì)算顯示這個(gè)系統(tǒng)有兩個(gè)正的Lyapunov指數(shù),這表明是超混沌的.最后畫出了全局分岔圖,可以看到該系統(tǒng)通過倍周期分岔通向混沌.

圖2 系統(tǒng)(3)超混沌狀態(tài)下e關(guān)于x的分岔圖

圖3 Lyapunov指數(shù)譜

圖4 系統(tǒng)(3)混沌狀態(tài)下e關(guān)于x的分岔圖

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