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(1.國(guó)網(wǎng)四川省電力公司，四川 成都 610041；2.國(guó)家電網(wǎng)公司，北京 100031)

0 引 言

大區(qū)電網(wǎng)互聯(lián)的形勢(shì)下，低頻振蕩問(wèn)題已成為限制省間和區(qū)間功率傳輸極限的瓶頸，即使安裝了大量傳統(tǒng)的勵(lì)磁附加阻尼控制器(power stability stabilizer，PSS)，區(qū)間低頻振蕩問(wèn)題仍然沒(méi)有得到有效解決[1]。廣域測(cè)量技術(shù)的發(fā)展和普及使得采用廣域信號(hào)作為阻尼控制的輸入信號(hào)成為可能，研究表明[1]，對(duì)于抑制區(qū)間低頻振蕩，廣域阻尼控制與本地阻尼控制相比具有明顯優(yōu)勢(shì)。

在廣域阻尼控制中，傳統(tǒng)PSS設(shè)計(jì)中所采用的單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)的假設(shè)已經(jīng)不再適用。學(xué)者們陸續(xù)提出了基于極點(diǎn)配置、最優(yōu)控制及魯棒控制等現(xiàn)代控制理論的廣域阻尼控制器設(shè)計(jì)方法，然而這些方法都要基于系統(tǒng)模型，因此系統(tǒng)模型的獲取是設(shè)計(jì)廣域阻尼控制器的關(guān)鍵。降階辨識(shí)方法為獲取電力系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)可用的模型提供了一種有效手段。

系統(tǒng)辨識(shí)的方法眾多，基于模型的方法主要有預(yù)報(bào)誤差法(prediction error method, PEM)和子空間辨識(shí)法兩種，對(duì)于系統(tǒng)辨識(shí)的算法實(shí)現(xiàn)、辨識(shí)的收斂性和一致性、辨識(shí)誤差的分布、模型的定階方法以及辨識(shí)實(shí)驗(yàn)的最優(yōu)激勵(lì)信號(hào)和最優(yōu)預(yù)濾波器設(shè)計(jì)方法，L. Ljung在其經(jīng)典巨著[2]中做了系統(tǒng)的總結(jié)。相比之下電力系統(tǒng)中面向控制的辨識(shí)研究開(kāi)展的較少，I. Kamwa在這方面做了很多先驅(qū)性的工作，他采用子空間辨識(shí)等方法為電力系統(tǒng)MIMO控制器設(shè)計(jì)提供模型，獲得了很好的仿真效果[3]。文獻(xiàn)[4]采用PEM辨識(shí)方法獲得了系統(tǒng)模型，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了MIMO最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)。系統(tǒng)辨識(shí)方法在電力系統(tǒng)中應(yīng)用的同時(shí)，在降階原理及方法體系方面還有待研究，包括：① 電力系統(tǒng)面向阻尼控制器設(shè)計(jì)的可降階原理：電力系統(tǒng)的階數(shù)有成千上萬(wàn)階，可以用幾階到十幾階的模型來(lái)表示的原因；降階的誤差分析；降階模型階數(shù)的確定等等； ② 電力系統(tǒng)的降階辨識(shí)方法體系：電力系統(tǒng)辨識(shí)可用的方法；面向廣域阻尼控制誤差度量；辨識(shí)實(shí)驗(yàn)的激勵(lì)信號(hào)、預(yù)濾波器設(shè)計(jì)等等。

1 電力系統(tǒng)的可降階原理與降階誤差分析

1.1 模式可控可觀性與系統(tǒng)降階

電力系統(tǒng)線性模型可以表示成解耦狀態(tài)方程[6]為

(1)

y=C′z

(2)

此時(shí)系統(tǒng)可表示成

(3)

(4)

經(jīng)過(guò)矩陣行變換，式(4)與式(5)的特征值相同為

(5)

其中，P為行變換矩陣。注意到，式(5)所示矩陣即式(6)所示系統(tǒng)的閉環(huán)狀態(tài)矩陣。

(6)

式(6)所示系統(tǒng)由不受控和受控兩解耦的子系統(tǒng)構(gòu)成，其中受控的子系統(tǒng)不含有與不可控模式相關(guān)的狀態(tài)變量，因此其階數(shù)是原系統(tǒng)的階數(shù)減去不可控的模式數(shù)?？刂破髟O(shè)計(jì)可針對(duì)該受控子系統(tǒng)進(jìn)行，與在原系統(tǒng)上設(shè)計(jì)控制器是等同的。

由上述分析可知，當(dāng)系統(tǒng)存在不可控的模式時(shí)，對(duì)于控制器設(shè)計(jì)而言，可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行降階，降階后的系統(tǒng)不含有不可控的模式。由對(duì)偶原理可知，當(dāng)存在不可觀的模式時(shí)，系統(tǒng)同樣也可以被降階。上述證明是在控制器為比例環(huán)節(jié)的假設(shè)下完成的，對(duì)于一般情況，通過(guò)將控制器表述成狀態(tài)方程形式與系統(tǒng)的解耦狀態(tài)方程聯(lián)立，通過(guò)類似的證明過(guò)程可以得到相同的結(jié)論，此處從略。

當(dāng)存在不可控或不可觀的模式時(shí)，對(duì)于控制器設(shè)計(jì)而言，被控系統(tǒng)可以被降階而不損失有用的信息。由此可以推想，當(dāng)存在可控可觀性相對(duì)很弱的模式時(shí)，在承受一定的誤差的前提下，也可以對(duì)被控系統(tǒng)進(jìn)行降階。后一種情形在電力系統(tǒng)中更為常見(jiàn)。對(duì)于阻尼控制器設(shè)計(jì)而言，以PSS設(shè)計(jì)為例，雖然電力系統(tǒng)階數(shù)很高，但是單臺(tái)發(fā)電機(jī)參與的模式有限，且本地反饋信號(hào)也只對(duì)本地模式和部分區(qū)間模式可觀性較強(qiáng)，因此對(duì)于PSS的設(shè)計(jì)而言，其對(duì)于系統(tǒng)的大部分模式是不可控不可觀或者極弱可控、可觀的，因此可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行大規(guī)模的降階。

引入廣域信號(hào)作反饋后，由于信號(hào)的選擇不受限制，可以挑選對(duì)區(qū)間模式具有強(qiáng)可觀性的信號(hào)，且由于控制點(diǎn)和反饋信號(hào)的選擇可以分離，對(duì)控制點(diǎn)可控的本地模式，可以選擇反饋信號(hào)使之不可觀，使得控制器既可控又可觀的模式集中在區(qū)間振蕩模式，從而可以進(jìn)一步降低系統(tǒng)的階數(shù)。

1.2 降階模型的誤差

考慮單輸入單輸出系統(tǒng)G(s)。G(s)的傳遞函數(shù)可寫成如下形式(假設(shè)特征方程無(wú)重根)。

(7)

(8)

當(dāng)Rr+1=Rr+2=…=Rn=0，自然有Gr(s)=G(s)。

如果Rr+1≠0，降階會(huì)帶來(lái)誤差。該誤差為

(9)

該誤差是被舍去的模式所引入的誤差之和。模型誤差可以用H∞范數(shù)和H2范數(shù)來(lái)評(píng)估。

用H∞范數(shù)來(lái)評(píng)估模型誤差，可以考察模型誤差的幅頻響應(yīng)的峰值。模式λi在G(s)中對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為Ri/(s-λi)，該項(xiàng)在頻域上的最大幅值為|Ri|/|αi|，舍去該模式所帶來(lái)誤差的H∞范數(shù)即為|Ri|/|αi|。由于各模式對(duì)應(yīng)幅頻上的峰值不出現(xiàn)在同一頻率，因此式(9)所示誤差范數(shù)的上限和近似的下限為

(10)

該上限保守性太強(qiáng)，下限更接近誤差的真實(shí)值。用H2范數(shù)來(lái)評(píng)估模型誤差，可以反映在整個(gè)頻譜范圍內(nèi)誤差的總體大小，同時(shí)也對(duì)應(yīng)模型與實(shí)際系統(tǒng)間單位沖激響應(yīng)之差的能量。

模式λi對(duì)應(yīng)項(xiàng)Ri/(s-λi)的H2范數(shù)平方為[5]

(11)

由于單位沖激脈沖響應(yīng)的總能量近似等于各模式能量的和，式(9)所示誤差的H2范數(shù)可近似由式(12)表示。

(12)

無(wú)論是范數(shù)還是范數(shù)下的誤差表示都反映出，舍去留數(shù)小且阻尼大的模式所帶來(lái)的模型誤差較小。誤差的大小是相對(duì)的，誤差范數(shù)相對(duì)于系統(tǒng)范數(shù)的相對(duì)大小更能準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)模型的質(zhì)量。

1.3 基于降階原理和BIC準(zhǔn)則的模型定階方法

模型定階是辨識(shí)過(guò)程中非常重要的一環(huán)。令辨識(shí)的相對(duì)誤差小于ε0，由降階原理做出的模型階數(shù)估計(jì)由式(13)給出。

‖ΔGr(s)‖≤ε0‖G(s)‖≤‖ΔGr+1(s)‖

(13)

其中，‖·‖可以是H∞范數(shù)或H2范數(shù)，‖ΔGr(s)‖的計(jì)算公式由式(9)、(10)和(11)給出，隨著階數(shù)的增加單調(diào)遞減?！珿(s)‖為系統(tǒng)的總范數(shù)。

采用降階理論給出了階數(shù)的估計(jì)后，在辨識(shí)過(guò)程中再采用傳統(tǒng)的定階準(zhǔn)則來(lái)做調(diào)整和校核。傳統(tǒng)的BIC定階準(zhǔn)則[87]為

BIC(p)=NlnVN+plnN

(14)

其中，p為模型階數(shù)；N為采樣點(diǎn)數(shù)；VN為預(yù)報(bào)誤差的方差。該準(zhǔn)則包含了對(duì)擬合精度的評(píng)價(jià)和對(duì)模型階數(shù)的懲罰兩部分。降階原理與BIC準(zhǔn)則的結(jié)合，賦予了定階方法清晰的物理意義，改變了傳統(tǒng)BIC等方法依賴辨識(shí)擬合程度大量試算的局面。

2 電力系統(tǒng)的降階辨識(shí)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

降階的可行性是用低階模型來(lái)辨識(shí)系統(tǒng)的基礎(chǔ)。系統(tǒng)辨識(shí)常用方法主要有預(yù)報(bào)誤差法和子空間辨識(shí)法兩大類[2]，其中預(yù)報(bào)誤差法使用最為廣泛，并可用于閉環(huán)辨識(shí)。這里以預(yù)報(bào)誤差法為例討論辨識(shí)實(shí)驗(yàn)中的激勵(lì)信號(hào)和預(yù)濾波器設(shè)計(jì)。

待辨識(shí)的系統(tǒng)如下表示。

y(t)=G0(q)u(t)+H0(q)e(t)

(15)

其中，q是移位算子；G0是被控系統(tǒng)；u是激勵(lì)信號(hào)輸入；y是測(cè)量輸出；e是方差為λ0的白噪聲；H0是噪聲模型。辨識(shí)模型與實(shí)際系統(tǒng)間總會(huì)存在誤差，其大小可以用模型與實(shí)際系統(tǒng)之差的方差和偏差來(lái)評(píng)價(jià)，定義模型品質(zhì)度量的準(zhǔn)則函數(shù)[2]為

(16)

其中，G(ejω,θ)為辨識(shí)模型的頻域表示；C(ω)為品質(zhì)加權(quán)函數(shù)，對(duì)應(yīng)在不同頻率段對(duì)辨識(shí)精度的不同要求。J(θ)近似可分解為“方差貢獻(xiàn)”JV(θ)與“偏差貢獻(xiàn)”JB(θ)之和。對(duì)于開(kāi)環(huán)辨識(shí)情況，JV(θ)可表示為[2]

(17)

其中，n是模型階數(shù)；N是采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)；Φv(ω)為辨識(shí)中噪聲的功率譜，有Φv(ω)=λ0|H0(ejω)|2Φu(ω)為激勵(lì)信號(hào)的功率譜。

為使得JV(θ)最小，最優(yōu)激勵(lì)信號(hào)設(shè)計(jì)[2]為

(18)

其中，μ是可調(diào)常數(shù)。為使得偏差貢獻(xiàn)項(xiàng)JB(θ)最小，應(yīng)滿足式(19)[2]。

Φu(ω)|L(ejω)|2/|H(ejω,θ*)|2=kC(ω)

(19)

其中，H(ejω,θ*)為N趨于無(wú)窮時(shí)噪聲模型的收斂值；k是可調(diào)常數(shù)。

對(duì)于以廣域阻尼控制器設(shè)計(jì)為目的的電力系統(tǒng)降階辨識(shí)，推導(dǎo)相應(yīng)的品質(zhì)加權(quán)函數(shù)C(ω)如下。

廣域阻尼控制器的參考信號(hào)一般為零，系統(tǒng)的輸入和輸出滿足如下方程。

u(t)=-K(q)y(t)

y(t)=G0(q)u(t)+v

(20)

其中，K為反饋控制器；v代表外部擾動(dòng)。系統(tǒng)只受外部擾動(dòng)激勵(lì)；y=S0v,S0為輸出靈敏度函數(shù)，S0=1/(1+G0K)。令R(q)為

R(q)=G(q,θ)/〔1+G(q,θ)K(q)〕

(21)

(22)

為使得設(shè)計(jì)系統(tǒng)輸出逼近實(shí)際系統(tǒng)輸出，必須極小化目標(biāo)函數(shù)為

J(G)=

(23)

對(duì)比式(16)，可知此時(shí)的C(ω)為

(24)

(25)

(26)

以上激勵(lì)信號(hào)和預(yù)濾波器的設(shè)計(jì)方法在實(shí)際應(yīng)用中顯得非常復(fù)雜，式(18)和(26)給出了一個(gè)結(jié)論：在辨識(shí)精度要求高的頻率段，激勵(lì)信號(hào)譜和預(yù)濾波器幅頻響應(yīng)都應(yīng)該具有更大值。由于辨識(shí)出的模型會(huì)用于設(shè)計(jì)控制器以阻尼低頻振蕩，C(ω)在低頻段會(huì)有更大的值，一種實(shí)用的簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)方法是把激勵(lì)信號(hào)譜和預(yù)濾波器設(shè)計(jì)成低通的形式，將截止頻率設(shè)置在一般振蕩的最高頻率2 Hz左右。

設(shè)計(jì)出激勵(lì)信號(hào)的譜后，濾波后的高斯白噪聲是一種頻域和時(shí)域特性都較為理想的激勵(lì)信號(hào)實(shí)現(xiàn)方式，此外還需要結(jié)合對(duì)激勵(lì)信號(hào)的幅值和能量的限制來(lái)確定可調(diào)系數(shù)μ[2]。

3 仿真算例分析

仿真算例在四機(jī)兩區(qū)系統(tǒng)上進(jìn)行，仿真工具為Matlab，系統(tǒng)如圖1所示，各元件參數(shù)與文獻(xiàn)[6]相同。

圖1 四機(jī)兩區(qū)系統(tǒng)示意圖

每臺(tái)發(fā)電機(jī)都配備勵(lì)磁和調(diào)速系統(tǒng)，系統(tǒng)共54階。以發(fā)電機(jī)4的勵(lì)磁參考電壓為控制點(diǎn)，分別以機(jī)端功率和區(qū)域1與區(qū)域2間的交換功率作為反饋信號(hào)，考查面向本地控制和廣域控制的電力系統(tǒng)可降階情況。分析的結(jié)果見(jiàn)表1，為簡(jiǎn)化篇幅，省略了大量無(wú)關(guān)緊要的左半平面實(shí)軸上的非振蕩模式。

由表1可知，系統(tǒng)有3個(gè)弱阻尼的機(jī)電振蕩模式，其中0.557 7 Hz模式為區(qū)間振蕩模式，1.104 9 Hz模式為G3/G4間的本地振蕩模式，1.131 6 Hz模式為G1/G2間的本地振蕩模式；其他模式為阻尼情況很好的控制器及磁鏈模式。G4對(duì)于G3/G4本地模式及區(qū)間模式的可控性較強(qiáng)，對(duì)于G1/G2的本地振蕩模式可控性很差，且對(duì)于大量與G4不相關(guān)的控制器/磁鏈模式不具有很強(qiáng)的可控性；同樣G4機(jī)端功率信號(hào)對(duì)于G1/G2模式的可觀性很差，且對(duì)于大部分控制器/磁鏈模式基本不具有可觀性；相比本地信號(hào)，廣域的區(qū)域交換功率信號(hào)的模式可觀性基本集中在區(qū)間振蕩模式，對(duì)于其他本地模式及控制器/磁鏈模式的都基本不可觀。

結(jié)合前述基于模式可控可觀性的可降階原理可知，此系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)大規(guī)模的降階來(lái)簡(jiǎn)化控制器的設(shè)計(jì)。以模型誤差10%為限，用H2范數(shù)來(lái)評(píng)估誤差，本地控制需要保留的模型階數(shù)為8階，廣域控制為3階；用范數(shù)評(píng)估誤差，本地控制需要保留的模型階數(shù)為10階，廣域控制為4階。該分析結(jié)果表明，降階的程度與控制點(diǎn)和反饋信號(hào)的選擇相關(guān)，而對(duì)電力系統(tǒng)的大規(guī)模降階是可行的。

表1 四機(jī)兩區(qū)系統(tǒng)模式可控可觀性分析

采用PEM的方法辨識(shí)從控制點(diǎn)到廣域反饋信號(hào)的被控系統(tǒng)模型，采樣率為10 Hz，仿真時(shí)長(zhǎng)為40 s。由于實(shí)際系統(tǒng)模型未知，因此首先將激勵(lì)信號(hào)譜和預(yù)濾波器設(shè)計(jì)成低通的形式，截止頻率為2 Hz，激勵(lì)信號(hào)選用濾波后的高斯白噪聲，濾波器為二階巴特沃茲低通濾波器，衰減率取為0.707。辨識(shí)得到的各階模型擬合度如表2所示。

由上述基于降階原理的估計(jì)可知，采用3階模型已能較好地?cái)M合系統(tǒng)。從表2可以看出，隨著模型階數(shù)從3階上升到11階，模型的擬合精度并沒(méi)有顯著提高，這反映了降階理論對(duì)模型階數(shù)做出的估計(jì)是合理的。辨識(shí)出的3階模型含有一對(duì)頻率為0.58 Hz、阻尼比為5.47%的極點(diǎn)，與表1的小干擾分析結(jié)果基本相同。根據(jù)BIC準(zhǔn)則進(jìn)行最后的校驗(yàn)，確定模型的階數(shù)為3階。

表2 不同模型階數(shù)下的擬合度

根據(jù)辨識(shí)的3階模型采用極點(diǎn)配置的方法[6]設(shè)計(jì)出廣域阻尼控制器，與本地PSS控制相比較，控制效果如圖2所示，其中PSS參數(shù)由文獻(xiàn)[6]給定?？梢?jiàn)，與本地PSS控制相比，廣域阻尼控制對(duì)于區(qū)間低頻振蕩的阻尼更強(qiáng)，該算例同時(shí)也表明廣域阻尼控制器的設(shè)計(jì)可以基于降階辨識(shí)模型進(jìn)行。

圖2 根據(jù)辨識(shí)模型設(shè)計(jì)廣域阻尼控制器的控制效果

根據(jù)辨識(shí)出的系統(tǒng)模型和噪聲模型，以及所設(shè)計(jì)的控制器，按照式(25)和式(26)重新設(shè)計(jì)得到如圖3所示最優(yōu)輸入信號(hào)譜和最優(yōu)預(yù)濾波器幅頻特性。

兩者都具有明顯的低通特性，在主導(dǎo)振蕩頻率0.58 Hz及以下頻率有較大值，截止頻率在0.8 Hz左右，比本辨識(shí)實(shí)驗(yàn)中采用的截止頻率2 Hz略低?？梢?jiàn)，由于電力系統(tǒng)呈低通特性，且低頻振蕩頻率小于2 Hz，因此將輸入信號(hào)譜和預(yù)濾波器設(shè)計(jì)為低通特性，截止頻率取為高于低頻振蕩頻率，是一種適用性較強(qiáng)的設(shè)計(jì)方案。

4 結(jié) 論

電力系統(tǒng)降階的可行性是能夠用低階模型來(lái)辨識(shí)系統(tǒng)的基礎(chǔ)?；谀Ｊ娇煽乜捎^性分析，提出了面向廣域阻尼控制器設(shè)計(jì)的電力系統(tǒng)可降階原理，并提出了H∞/H2范數(shù)下的降階誤差分析方法，以及降階原理估計(jì)和BIC準(zhǔn)則結(jié)合的模型定階方法。進(jìn)一步地，針對(duì)廣域阻尼控制器設(shè)計(jì)，提出了辨識(shí)實(shí)驗(yàn)中的最優(yōu)激勵(lì)信號(hào)和最優(yōu)預(yù)濾波器設(shè)計(jì)方法，并指出采用具有低通特性的激勵(lì)信號(hào)譜和預(yù)濾波器是一種實(shí)用的設(shè)計(jì)方案。四機(jī)兩區(qū)系統(tǒng)上進(jìn)行的仿真表明了上述方法和理論的有效性。

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