王續(xù)明，邢華璐

(1.華北科技學院機電工程學院，北京東燕郊 101601;2.西北工業(yè)大學航空學院，陜西西安 710072)

0 引言

空間一條直線的投影較簡單，比如直線AB的長度和它在某一面的投影ab之間的關系符合AB=ab·cosθ，其中θ為直線與投影面之間的夾角，顯然AB＞ab。當θ=0°時，直線AB平行于投影面，在該面的投影反應實長?？臻g兩直線的平面角的投影不同于直線段，它可能大于或等于或小于角度本身，它們的內在關系比較復雜，再加上空間位置變化多端，給角度投影的理解和應用帶來很大困惑。空間角度的投影分為線面型和線線型，本文所討論的問題主要針對空間兩相交直線的線型。在工程制圖的教學中，沒有給出解決任意平面角的圖解問題，空間兩直線的夾角是工程實際中經常碰到的問題，學生在學習過程中對平面角與其投影之間的關系理解不夠深刻。筆者在總結前人工作的基礎上，應用三射線定理，分類討論了它們之間的變化規(guī)律，以期強化工程制圖的教學工作，深化空間角在工程實際中的應用。

1 三射線定理及其在角度投影中的應用

如圖1所示，從空間一點P任意引出三條不共面的射線 PA、PB、PC，設∠APC =α，∠BPC=β，∠APB=θ，且二面角A－PCB為ω，則:

圖1 三射線定理空間示意圖

式(1)反應空間角∠APB與其在H面上投影角∠ACB的關系，當然通過三角函數也不難推導出此公式。三射線定理也稱為三面角的余弦定理，常被記作:

2 討論

1)直線PC同時垂直于PA與PB，即α=β= 90°

如圖2所示，此時兩直線PA、PB都與H面平行，那么在H面上的投影角反應空間角度的實際大小，即θ=ω。把上述條件帶入公式(2)中，也很容易得出cosω=cosθ，θ=ω的情況。

圖2 α=β=90°的空間示意圖

2)PC垂直于PA和PB其中的一條邊，不妨設β=90°，α≠90°

把以上條件帶入公式(2)得到:cosω=cosθ/ sinα。由于符合β=90°，α≠90°的所有情況，可以總結為直線PA繞PB做360°的旋轉運動，那么PA在空間經過的軌跡是在一個以PB為軸線、錐頂角為2θ的圓錐面，其中θ是直線PA與PB的平面角。當θ為銳角時，cosθ＞0，由上式得到ω＜θ。如圖3所示，A點的投影軌跡與圓錐底面的投影aa'重合，顯然投影角ω在0°到θ之間變化，小于空間實際的平面角。

當夾角θ為直角時，在sinα≠0的情況下代入公式cosω=cosθ/sinα得到ω=90°。此情況其實就是工程制圖中的直角投影定理，即“互相垂直的兩直線，若其中一條平行于某一投影面，則兩直線在該投影面上的投影也是直角”。

圖3 α≠90°且β=90°的空間示意圖

圖4 θ=90°的空間示意圖

如圖4所示，PA⊥PB，則bc⊥aa'，那么ω恒等于90°。在PA旋轉的過程中，當直線PA與PC共線時，會出現sinα=0的情況，由于sinα在分母上，所以表達式沒有意義，此時空間實際情況是PA的投影積聚在c點上，ω可以看作等于0°。

當直線PA與PB所成的角θ為鈍角時，cosθ＜0，由公式cosω=cosθ/sinα得出ω＞θ?？臻g投影情況如圖5所示，A點的投影仍在線段aa'上變化，但此時投影角ω在0°和180°之間變化，大于實際的平面角。

圖5 θ＞90°的空間示意圖

3)直線PC與兩條邊都不垂直，即α≠90°且β≠90°

此條件下有一種情況比較特殊，即當PC與PA和PB共面的情況，如圖6所示，此時投影比較簡單。如果C點在AB之間變化，顯然θ=α+ β，則cosθ=cos(α+β)=cosα·cosβ

－sinα·sinβ，帶入得到公式(2)得到ω= 180°，這說明不管PA、PB怎么改變，投影角恒等于180°。

圖6 C點在AB之間的空間示意圖

當C點在AB之外時，如圖7所示，θ=β－α (或θ=α－β)，cosθ=cos(β－α)=cos(β－α) =cosα·cosβ+sinα·sinβ，帶入公式(2)得到ω =0°，說明投影角恒等于0°，不隨α、β的變化而改變。

圖7 C點在AB之外空間的示意圖

除了上述的這種共面情況外，其他情況就相對比較復雜，通常工程制圖的解題思路是利用換面法把空間平面角的一條邊變換成投影面的平行線，然后運用相應的投影規(guī)律進行解題。這里不用投影變換，先假定投影角ω為一定值(不妨設ω=90°)，然后研究α、β與θ之間的變化關系。把ω=90°帶入公式(2)得到:

顯然θ是α、β的二元連續(xù)函數，θ在［0°，90°］內取值時，都會找到一組α、β值與之相對應。具體變化情況是怎么樣的呢?先假定PA、PB都在P點的下側，那么α和β都在［0°，90°］變化，筆者用matlab軟件繪制出了θ=0、π/6、π/3、π/2時的曲線見圖9所示?？梢钥闯?，每一個θ值都對應一條曲線，只要適當調整α、β的大小，讓它們落在相應的曲線上，就能滿足給定的θ值，而且滿足此條件的空間位置有很多個。

圖8 兩直線在P點下側的空間示意圖

圖9 平面角θ為銳角時的曲線簇

θ在［90°，180°］取值時，cosθ的值為負數，此時PA與PB應該分別位于P點的上下兩側，不妨設PA在P點下側，PB在P點上側，即α在［0°，90°］變化，β在［90°，180°］變化。同理繪制出θ=π/2、5π/6、2π/3、π時的曲線見圖11所示，這組曲線與上面那組曲線是以β=π這條線對稱分布的。θ取最小值0°的情況是α=β= 90°，即PA、PB都與PC重合;θ取最大值180°的情況是α=90°，β=0°，則PA與PC重合，PB與PC的反方向重合。

圖10 兩直線在P點上下兩側空間的示意圖

綜上所述，對于任意給定的投影角ω，可以在空間中找到任意大小的平面角θ，并且滿足此平面角θ的位置有很多個，只需讓α和β沿著相應的曲線變化即可?？偠灾@種情況空間平面角可以大于、等于或小于其投影角，它們之間的關系不確定。

圖11 平面角θ為鈍角時的曲線簇

3 結論

1)兩直線PA、PB都與H面平行，那么在H面上的投影角反應空間角的實際大小，即ω=θ。

2)如果兩直線PA、PB中的一條平行于H面，當θ為銳角時，0°＜ω＜θ;當θ為直角時，ω= 90°，特殊情況 ω=0°;當 θ為鈍角時，θ＜ω＜180°。

3)當兩邊都不平行于投影面時，對于任意給定的投影角度值，可以在空間中找到［0°，180°］任意大小的平面角，而且每個平面角所對應的位置也存在很多個，只要讓α和β的關系沿著曲線變化即可。這種情況空間平面角可以大于、等于或小于其投影角，它們之間的關系不確定。

4)本文只是針對平面角的水平投影行了分析，實際三面投影中，還需要分析其他兩投影面的情況，運用三面角余弦定理，再結合三面角的正弦定理，就可以解決空間角度的解析計算問題。將所求空間角度的關系分析清楚，然后把相應的計算方法編寫成程序，這對工程實際來說是非常便捷和實用的。

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