龔淼，張濤

(1.中國民航大學(xué)航空自動(dòng)化學(xué)院，天津300300;2.中國民航大學(xué)特種設(shè)備研究基地，天津300300)

航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片工作在溫度和壓力聯(lián)合作用下的復(fù)雜環(huán)境下，葉片經(jīng)常發(fā)生損傷。航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片橫截面積不規(guī)則，在橫向距離相對較寬的地方，修復(fù)焊接過程中一般采用Z 型或S 型曲線焊接，由于葉片的橫向距離較小，在焊接過程中往復(fù)運(yùn)動(dòng)頻繁，為了保證焊接精度，對機(jī)床靈敏性和動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性的要求較高?，F(xiàn)在國內(nèi)民航發(fā)動(dòng)機(jī)葉片受損后，全部是送往國外進(jìn)行修復(fù)焊接，造成這種現(xiàn)象的原因是多方面的，機(jī)床精度不夠是其中一個(gè)原因。機(jī)床傳動(dòng)系統(tǒng)是將電機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，通過絲杠、絲杠副轉(zhuǎn)變成工作臺(tái)的直線運(yùn)動(dòng)。電機(jī)及傳動(dòng)系的機(jī)械零件本身以及它們相互間的匹配對整體機(jī)床的動(dòng)態(tài)性能有著重大關(guān)系。在機(jī)床的動(dòng)態(tài)建模方面，國內(nèi)外研究人員進(jìn)行了大量的研究與實(shí)驗(yàn)。舒志兵等［1］搭建了機(jī)床伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，但在電機(jī)模型的搭建中沒有考慮加載后的變化。董玉紅等［2］為機(jī)床的機(jī)械傳動(dòng)部分建立了簡單數(shù)學(xué)模型。張會(huì)端等［3］利用振型疊加原理對傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行了解析，研究了系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)情況。李為民等［4］在軸承剛度計(jì)算上提出了較為嚴(yán)密的公式。李圣怡等［5］在螺旋副接觸剛度計(jì)算上提出了可借鑒公式。楊曉君等［［6］］為絲杠進(jìn)給系統(tǒng)建立了振動(dòng)模態(tài)模型。針對焊接機(jī)床往復(fù)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，文中綜合考慮了傳動(dòng)系統(tǒng)的影響因素，建立了一個(gè)較為精確的動(dòng)態(tài)模型。該模型在絲杠實(shí)際輸出扭矩的計(jì)算上考慮較為全面，不僅將軸向剛度因素和扭轉(zhuǎn)剛度因素考慮進(jìn)去，而且將剛度隨著工作臺(tái)的運(yùn)動(dòng)的變動(dòng)也考慮了進(jìn)去，這樣就使模型更接近真實(shí)。為了方便利用matlab 軟件對模型進(jìn)行仿真，在工作臺(tái)加速度計(jì)算上進(jìn)行了近似計(jì)算，使模型運(yùn)行更加流暢。為機(jī)床傳動(dòng)系的仿真提供了更加真實(shí)的模型，同時(shí)使電機(jī)與機(jī)械部分匹配有更大的選型空間。

1 傳動(dòng)系總體模型構(gòu)建

如圖1所示，扭矩由電機(jī)輸出，經(jīng)聯(lián)軸器傳給絲杠，然后經(jīng)循環(huán)球傳動(dòng)副轉(zhuǎn)化為工作臺(tái)的水平運(yùn)動(dòng)。這里假設(shè)聯(lián)軸器是剛體連接。絲杠左端采用角接觸軸承相背式固定，右端采用向心軸承支承的形式。絲杠副采用單螺母預(yù)緊式結(jié)構(gòu)。

圖1 傳動(dòng)系結(jié)構(gòu)圖

在圖2所示的動(dòng)力學(xué)模型中:T0為從電機(jī)輸入的轉(zhuǎn)矩;θe為輸入角速度;kz、Xz分別為軸承1 的軸向剛度和受軸向力時(shí)因剛度因素引起的軸向位移;ks1、ks2、Xs1、Xs2分別為絲杠的軸向剛度、扭轉(zhuǎn)剛度、軸向剛度引起的軸向位移、扭轉(zhuǎn)剛度引起的位移;kf、Xf分別為螺旋副的軸向剛度和因剛度引起的軸向位移;C 為軸承和絲杠副的整體轉(zhuǎn)動(dòng)黏性阻尼系數(shù);F 為工作臺(tái)與絲杠副之間的作用力;X 為工作臺(tái)位移。工作臺(tái)的理想位移等于實(shí)際位移與傳動(dòng)系軸向位移的矢量和，即:式中:l 代表絲杠螺距;θ 代表電機(jī)輸入轉(zhuǎn)角;ΔX 代表傳動(dòng)系在外力作用下的軸向位移。

圖2 傳動(dòng)系動(dòng)力學(xué)模型

2 傳動(dòng)系機(jī)械部分動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)建

根據(jù)傳動(dòng)系的動(dòng)力學(xué)建立如下方程:

式中:θ 代表電機(jī)輸出角度;θe代表絲杠有效旋轉(zhuǎn)角度;J、C 分別代表絲杠軸的綜合轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼系數(shù);m 代表工作臺(tái)質(zhì)量;CM代表工作臺(tái)與導(dǎo)軌之間的滑動(dòng)黏性阻尼系數(shù)。

角接觸軸承軸向剛度kz計(jì)算［4］:

式中:Z 代表滾珠個(gè)數(shù)，D 代表滾珠直徑，F(xiàn)z代表軸承預(yù)緊力，α 代表接觸角。

絲杠軸向剛度ks1計(jì)算:

式中:A 為絲杠有效橫截面積;E =210 000 N/mm2;20 為絲杠兩端余量，防止了Simulink 仿真過程中分母出現(xiàn)零。

絲杠扭轉(zhuǎn)剛度ks2計(jì)算:

式中:G 是材料的切變模量，Ip是材料的極慣性矩。

絲杠副軸向剛度kf計(jì)算［6－7］:

式中:R1、R11、R2、R22是兩個(gè)接觸體的主曲率半徑;α 為接觸角;θ1為螺紋升角;P 為預(yù)緊力，一般取絲杠額定動(dòng)載荷的十分之一;n 為滾珠個(gè)數(shù);ν 為泊松比;E 為彈性模量。

3 電機(jī)傳動(dòng)建模

文中電機(jī)采用他勵(lì)直流電機(jī)，其轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)采用輸入電壓控制。根據(jù)基爾霍夫電學(xué)原理，建立電機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程:

式中:U 代表控制電壓;I 代表電機(jī)繞組電流;Le代表電機(jī)繞組電感;Re代表電機(jī)繞組電阻;Ke代表反電勢比例系數(shù);Km代表電機(jī)力矩系數(shù);Jm代表電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Cm代表電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼系數(shù);θ 代表電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角度。

4 仿真

絲杠公稱直徑d =36 mm，A =3 366 mm2，E =2.1 ×105N/mm2，l =6 mm，Z =7，軸承接觸角α =15°，Db= 10.32 mm，F(xiàn)z采用中預(yù)緊500 N，R1=R11=1.98 mm，R2=18.25 mm，R22=－2.25 mm，絲杠接觸角α =45°，利用絲杠螺紋升角θ =9.5，γ =1.668，P =2 700 N，n =75，ν =0.3，G =40 GPa，L=0.652 mH，R =0.07 Ω，Ke=0.017 V/(rad·s)，Km=1.58 N·m/A，Jm=0.005 kg·m2，Cm=0.003 5 N·m·s/rad，J=0.001 4 kg·m2，C=0.05 N·m·s/rad，m=1 000 kg，f=0.002。

根據(jù)上述公式和參數(shù)，搭建Simulink 框圖，在仿真過程中，由于工作臺(tái)加速度計(jì)算量在直接計(jì)算過程中步驟較為繁瑣，仿真速度較慢，采用通過絲杠角加速度間接測量然后進(jìn)行誤差補(bǔ)償。具體方法為:將絲杠、絲杠副、工作臺(tái)的質(zhì)量轉(zhuǎn)化為絲杠的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，根據(jù)電機(jī)輸出扭矩求出總體加速度，然后推導(dǎo)出工作臺(tái)的近似加速度，如下式:

式中:T0為絲杠所受的扭轉(zhuǎn)力矩;C 為工作臺(tái)阻尼系數(shù);v 為工作臺(tái)近似速度;m 為工作臺(tái)質(zhì)量;F 為工作臺(tái)所受外力;J 為絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;p 為螺距。

仿真框圖結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 Simulink 仿真框架圖

5 結(jié)果分析

圖4(a)為該模型在輸入階躍信號(hào)后，20 s 內(nèi)電機(jī)輸出速度變化的曲線。圖4(b)是同狀態(tài)下工作臺(tái)的位移變化曲線。圖4(c)為在將電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減小到0.000 5 kg·m2時(shí)，5 s 時(shí)間內(nèi)的電機(jī)輸出速度變化曲線。圖4(d)為按照文獻(xiàn)［8］所論述的建模方案，參照文中參數(shù)設(shè)定后，電機(jī)輸出速度的變化曲線。從上圖的對比可以得出如下結(jié)論:

(1)從圖4(a)、4(c)中可以得出:文中搭建的模型對電機(jī)與機(jī)械的匹配要求較為寬松，能適量減少對電機(jī)要求的苛刻性。

(2)從圖4(a)、4(d)中可以看出:文中的模型在動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性上表現(xiàn)較為突出，在都沒有PID 控制的情況下，該模型能較快實(shí)現(xiàn)從加速度到穩(wěn)態(tài)的過渡。

(3)從圖4(b)中可以看出:文中搭建的模型在工作臺(tái)位移表現(xiàn)上較為理想。

圖4 仿真結(jié)果及對比圖

【1】舒志兵，劉峻泉，林錦國，等.閉環(huán)伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型研究［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2002，14(12):1612－1613.

【2】董玉紅，張立勛.基于MATLAB/ Simulink 的機(jī)床進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析［J］.機(jī)床與液壓，2008，36(9):68－71.

【3】張會(huì)端，譚慶昌，裴永臣.機(jī)床工作臺(tái)建模仿真［J］.機(jī)床與液壓，2005(3):74－75.

【4】李為民，王海濤.軸向定位預(yù)緊軸承剛度計(jì)算［J］.河北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，30(2):15－19.

【5】李圣怡，戴一帆.精密和超精密機(jī)床精度建模技術(shù)［M］.長沙:國防科技大學(xué)出版社，2007:138－177.

【6】楊曉君，趙萬華，劉輝.絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的振動(dòng)模態(tài)耦合分析［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2012(10):259－261.

【7】MARTIN D L，TABENKIN A N，PARSONS F G.Precision Spindle and Bearing Error Analysis［J］.Int J Mach Tools Manufact，1995，35(2):187－ 192.

【8】劉麗蘭，劉宏昭，吳子英，等.大型數(shù)控車床進(jìn)給伺服系統(tǒng)建模與分析［J］.振動(dòng)與沖擊，2012，31(6):32－36.