曲月，舒啟林

(沈陽(yáng)理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧沈陽(yáng)110159)

隨著世界經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和技術(shù)進(jìn)步，高檔數(shù)控機(jī)床已成為世界各國(guó)裝備制造業(yè)的主要工具，是高精度、大批量、多品種機(jī)械生產(chǎn)的關(guān)鍵技術(shù)裝備，是國(guó)防安全的戰(zhàn)略物資，是汽車和航空航天等工業(yè)發(fā)展的重要支撐，是降低產(chǎn)品制造成本、保證產(chǎn)品質(zhì)量、提高產(chǎn)品加工效率和維護(hù)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力的有效手段，其性能、品質(zhì)和數(shù)量已成為衡量國(guó)家工業(yè)化水平和綜合國(guó)力的重要標(biāo)志。

復(fù)合式鏜銑加工中心是以現(xiàn)有的加工中心技術(shù)基礎(chǔ)為依托，以軍用車輛復(fù)雜的箱體結(jié)構(gòu)零件為加工對(duì)象，通過(guò)組合創(chuàng)新和工藝原理創(chuàng)新，研發(fā)出的擁有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)，具有國(guó)內(nèi)領(lǐng)先、國(guó)際先進(jìn)技術(shù)水平的精密復(fù)合式鏜銑加工中心產(chǎn)品，滿足國(guó)內(nèi)軍工行業(yè)對(duì)于高精密箱體類零件的加工需求。復(fù)合式鏜銑加工中心的總體結(jié)構(gòu)布局是根據(jù)軍用復(fù)雜箱體類零件的結(jié)構(gòu)與精度特點(diǎn)，將龍門式鏜銑加工結(jié)構(gòu)與臥式鏜銑加工中心結(jié)構(gòu)相結(jié)合，創(chuàng)立了電主軸與機(jī)械主軸結(jié)合的雙主軸單龍門同臺(tái)立臥式布局結(jié)構(gòu)，以確保加工件的位置精度與生產(chǎn)效率。隨著加工對(duì)象質(zhì)量要求越來(lái)越高，復(fù)合式鏜銑加工中心的加工精度已成為一個(gè)重要研究問(wèn)題。所以準(zhǔn)確、高效地建立該復(fù)合鏜銑加工中心的空間誤差模型是十分有必要的。當(dāng)今用于建立誤差模型的方法有剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)法、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差建模法［1］、多體系統(tǒng)誤差建模法［2］。其中多體系統(tǒng)誤差建模法具有通式化、系列化、易于理解等優(yōu)點(diǎn)。

1 多體系統(tǒng)理論概述

多體系統(tǒng)理論是研究現(xiàn)代機(jī)械多體系統(tǒng)的一門經(jīng)典理論，尤其是在現(xiàn)代科技高速化發(fā)展的今天，計(jì)算機(jī)算法的多種實(shí)現(xiàn)為多體理論的運(yùn)用創(chuàng)造了更加豐富的條件。多體系統(tǒng)是指以一定的連接方式互相關(guān)聯(lián)起來(lái)的多個(gè)物體所構(gòu)成的系統(tǒng)。

多體系統(tǒng)理論是由多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)原理和多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)原理構(gòu)成，多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)誤差分析是利用多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)原理對(duì)復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)建立并完成其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)間的關(guān)聯(lián)關(guān)系描述。首先需要建立所研究機(jī)械系統(tǒng)的低序體陣列，通過(guò)低序體陣列說(shuō)明該系統(tǒng)中的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)關(guān)系;其次是分別在系統(tǒng)中各部件的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上設(shè)定廣義坐標(biāo)系;最終以4 ×4 階齊次方陣的形式描述各點(diǎn)在廣義坐標(biāo)系中的變換關(guān)系［2］。文中是基于多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，以復(fù)合式鏜銑加工中心銑削部分為研究對(duì)象，描述了銑削部分多體系統(tǒng)的誤差模型建立過(guò)程及所需數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)。

2 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與低序體陣列

采用多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)原理對(duì)該加工中心銑削部分結(jié)構(gòu)進(jìn)行誤差建模，其核心步驟是如何準(zhǔn)確創(chuàng)建出各工作部件之間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。目前可以描述多體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的通用方法是建立結(jié)構(gòu)體部件的低序體陣列，一般是設(shè)基礎(chǔ)坐標(biāo)B 為A0體，任選一體為A1體，然后以遠(yuǎn)離A1體的方向以增長(zhǎng)數(shù)列規(guī)律去標(biāo)定每一個(gè)結(jié)構(gòu)部件的序號(hào)，從該系統(tǒng)的一個(gè)分支到另外一個(gè)分支，直到全部標(biāo)定為止［3］。

通常，多體系統(tǒng)內(nèi)任選體M 的N 階低序體定義［3］為:

式(1)—(4)稱為低序體算子;M 是多體系統(tǒng)中典型體序號(hào);Ln(M)是典型體M 的n 階低序體的序號(hào)。

圖1所示是復(fù)合鏜銑加工中心結(jié)構(gòu)布局示意圖，圖2所示為該復(fù)合鏜銑加工中心銑削部分拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意圖。在建立拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)時(shí)，橫梁視為與左立柱、右立柱、床身為一體結(jié)構(gòu)，按床身定義。表1所示為描述該拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的低序體陣列。

表1 多體系統(tǒng)的低序體陣列

3 特征矩陣

如何建立各部件體之間的特征矩陣是誤差建模中重要關(guān)鍵的步驟，兩個(gè)相鄰部件體間的位置與運(yùn)動(dòng)關(guān)系需要被關(guān)聯(lián)成方程函數(shù)的形式，特征矩陣就準(zhǔn)確地起到了架接關(guān)聯(lián)兩者的作用。在一個(gè)多體系統(tǒng)中，相鄰部件體間的坐標(biāo)分為實(shí)際位置與運(yùn)動(dòng)位置。通常用4 ×4 階方陣表示，它們分別為靜止位置特征變換矩陣、靜止位置誤差特征變換矩陣、運(yùn)動(dòng)特征變換矩陣、運(yùn)動(dòng)誤差特征變換矩陣。相鄰部件體的空間點(diǎn)和空間矢量就是根據(jù)這4 種特征矩陣變換完成不同坐標(biāo)系間的內(nèi)容表示。

在有誤差的多體系統(tǒng)中，任意典型體M 與其相鄰低序體Q 之間的靜止位置特征變換矩陣為:

靜止位置誤差特征變換矩陣為:

運(yùn)動(dòng)特征變換矩陣為:

運(yùn)動(dòng)誤差特征變換矩陣為:

式(5)—(8)中:px、py、pz代表任選典型體M 與其相鄰低序體Q 所處的初始靜止位置;δpx、δpy、δpz、εpx、εpy、εpz分別是靜止位置誤差矢量值在X、Y、Z三向坐標(biāo)軸內(nèi)的線位移平動(dòng)量和繞X、Y、Z 三向坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)量;sx、sy、sz是任選典型體M 與其相鄰低序體Q 在初始坐標(biāo)系原點(diǎn)之間相對(duì)于X、Y、Z 三向坐標(biāo)軸的線位移運(yùn)動(dòng)平動(dòng)量;α、β、γ 為靜止?fàn)顟B(tài)下任選典型體M 相對(duì)低序體Q 的3 個(gè)方位角;α'、β'、γ'為運(yùn)動(dòng)過(guò)程后典型體M 變化了的3 個(gè)方位角;δsx、δsy、δsz、εsx、εsy、εsz分別是運(yùn)動(dòng)誤差矢量值在X、Y、Z 三向坐標(biāo)軸內(nèi)的線位移平動(dòng)量和繞X、Y、Z 三向坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)量［4］。

假如任何相鄰體M、Q 從最初位置靜止?fàn)顟B(tài)下開(kāi)始相對(duì)運(yùn)動(dòng)，那么在理想狀態(tài)下其相應(yīng)的子坐標(biāo)系間的理想特征矩陣和誤差作用下誤差特征矩陣分別為:

對(duì)復(fù)合式鏜銑加工中心銑削部分的運(yùn)動(dòng)部件:X軸滑臺(tái)支座、繞C 軸分度回轉(zhuǎn)的數(shù)控轉(zhuǎn)臺(tái)、Y2軸滑臺(tái)、Z2軸主軸箱等進(jìn)行綜合分析，得出了復(fù)合鏜銑加工中心銑削部分的28 項(xiàng)幾何誤差，具體誤差元素如表2所示。

表2 復(fù)合鏜銑加工中心銑削部分28 項(xiàng)誤差元素

4 建立空間誤差數(shù)學(xué)模型

根據(jù)復(fù)合式鏜銑加工中心銑削部分的結(jié)構(gòu)布局和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析，該銑削部分可分為2 條多體鏈進(jìn)行研究。第一條多體鏈?zhǔn)谴采淼焦ぜ?，包含部件?床身、X 軸滑臺(tái)、數(shù)控轉(zhuǎn)臺(tái)、工件。第二條多體鏈為床身到刀具鏈，包含部件為:床身(橫梁)、Y2軸滑臺(tái)、Z2軸主軸、刀具。

第一條多體鏈分析。在第一條多體鏈上存在4 個(gè)部件體，每個(gè)部件體含有一個(gè)體坐標(biāo)系(與機(jī)床坐標(biāo)系同向)、一個(gè)理想運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系、一個(gè)實(shí)際運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系，兩個(gè)相鄰部件體之間的相對(duì)位置誤差是理想運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系與實(shí)際運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系位置的判定標(biāo)準(zhǔn)。該多體鏈中，床身靜止放置于大地上，假定床身A1體的體坐標(biāo)系與大地慣性體坐標(biāo)系重合;X軸滑臺(tái)A2體中的理想運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系重合于床身A1體的體坐標(biāo)系，又由于X 軸滑臺(tái)A2體可在安裝過(guò)程中對(duì)導(dǎo)軌以及附屬結(jié)構(gòu)精密調(diào)整，則相對(duì)位置誤差不予考慮，所以X 軸滑臺(tái)A2體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系與理想運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系重合;數(shù)控轉(zhuǎn)臺(tái)A3體的理想運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系與X 軸滑臺(tái)A2體的體坐標(biāo)系重合;工件A4體靜止于數(shù)控轉(zhuǎn)臺(tái)A3體上，工件A4體的體坐標(biāo)系、理想運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系、實(shí)際運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系重合，三者相對(duì)于數(shù)控轉(zhuǎn)臺(tái)A3體坐標(biāo)系平移一個(gè)矢量P4= ［p4x，p4y，p4z］T。

第二條多體鏈分析。Y2軸滑臺(tái)A5體的理想運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系相對(duì)于床身A1體的體坐標(biāo)系平移一個(gè)矢量P5= ［p5x，p5y，p5z］T，實(shí)際運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系與理想運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系轉(zhuǎn)過(guò)垂直度誤差ε5x和ε5z;Z2軸主軸箱A6體的理想運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系與Y2軸滑臺(tái)A5體的體坐標(biāo)重合，實(shí)際運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系相對(duì)于理想運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系轉(zhuǎn)過(guò)垂直度誤差ε6x和ε6y;刀具A7體的理想運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系與Z2主軸箱A6體的體坐標(biāo)系重合，實(shí)際運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系與理想運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系相重合［5］。

設(shè)刀尖在刀具體A7體中的位置矢徑t7= ［0、0、－k］T，工件A4體坐標(biāo)系中加工點(diǎn)位置矢徑為w4=［Xw、Yw、Zw］T，由于床身坐標(biāo)系與大地慣性坐標(biāo)系重合，則刀尖位置矢量和加工點(diǎn)在床身A1體中的位置矢量T1和W1分別為［7］:

5 結(jié)束語(yǔ)

基于多體運(yùn)動(dòng)學(xué)理論創(chuàng)建了精密復(fù)合式鏜銑加工中心銑削部分的空間誤差模型，該誤差模型對(duì)此加工中心銑削部分的動(dòng)態(tài)優(yōu)化、精度保障和誤差補(bǔ)償均等后續(xù)研究有著重要作用。

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