金哲植+李兆玲

摘 要 隨著信息技術的發(fā)展，對中學數(shù)學教育引入信息技術的應用尤其重要。在中學數(shù)學概率統(tǒng)計方面，概率的理解需要從隨機的角度考慮，通過Excel產(chǎn)生大量隨機數(shù)來代替重復進行隨機試驗得到的結果，使學生更容易接受頻率與概率的聯(lián)系。并且Excel能夠計算事件發(fā)生的概率，比常規(guī)的計算更簡單。另外Excel還可以對數(shù)據(jù)進行描述性統(tǒng)計分析，抽樣以及回歸擬合等，加上其強大的作圖功能使Excel在中學數(shù)學概率統(tǒng)計方面有著極廣泛的應用。

關鍵詞 Excel 概率 描述統(tǒng)計 抽樣 數(shù)據(jù)擬合

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

The Application of Excel in Probability and

Statistics of Middle School Mathematics

JIN Zhezhi， LI Zhaoling

（Department of Mathematics， College of Science， Yanbian University， Yanji， Jilin 133002）

Abstract With the development of information technology， the introduction of secondary mathematics education is particularly important application of information technology.In the study of probability and statistics of middle school mathematics， the understanding of probability starts from the angle of random. Random numbers generated by Excel can replace the results of repeated random experiences， making the relationship between the frequency and probability more easily to be understood. And Excel also can calculate probability events， it is much simpler than the conventional calculation. Excel also can carry out descriptive statistical analysis， sampling and regression fitting operation on data. Coupled with its practical mapping function， Excel has wide application space in the field of mathematics statistics and probability of middle school.

Key words Excel； probability； descriptive； statistics； sampling； regression

0 引言

在高等教育概率統(tǒng)計的教學中，我們使用較多的專業(yè)型的統(tǒng)計分析軟件，比如說SAS、R、SPSS等。而在中學數(shù)學的教育中，關于概率統(tǒng)計的學習，我們采用較為普遍的軟件Excel來進行。①電子表格 Excel對于我們來說并不陌生，這里著重針對中學數(shù)學教材必修三概率統(tǒng)計知識說明Excel在概率統(tǒng)計教學中的應用。

1 概率和頻率的關系

新課標中明確指出，在概率的學習中，重點是讓學生理解什么是隨機試驗什么是概率以及試驗頻率是如何穩(wěn)定與實際概率的。②如果通過人為地打量重復地進行隨機試驗，既費時又費力，這里通過計算機模擬出大量的隨機試驗，來理解概率的意義。這里，我們選用經(jīng)典款——投硬幣的試驗進行說明。

試驗具體步驟如下：

（1）啟動Excel（這里使用的是2010版Excel）

（2）在A1單元格里輸入“隨機投擲10000次”，在A2單元格里輸入“=int（rand（）*2）”。

說明：① int（）是取整函數(shù)。表示取小于該數(shù)字且最接近該數(shù)字的整數(shù)。比如int（2.1）=2，int（-2.1）=-3。

②rand（）表示產(chǎn)生（0，1）之間的隨機數(shù)。如果產(chǎn)生的隨機數(shù)小于0.5，乘以2則小于1，取整后為0；如果產(chǎn)生的隨機數(shù)大于等于0.5，乘以2后大于等于1，取整后為1。我們假設投擲硬幣正面朝上為1，反面朝上為0。

（3）通過Excel的自動填充選項，將A2單元格的公式復制到A3-A10001單元格。該過程相當于投擲硬幣10000次。

（4）在B1-B5單元格分別輸入“投擲次數(shù)”、“正面朝上的次數(shù)”、“反面朝上的次數(shù)”、“正面朝上的頻率”、“反面朝上的頻率”。

說明：這里分別選取投擲次數(shù)為100、1000、4000、7000、10000（C1-C5）以便進行比較。

（5）在C2單元格輸入“=countif（A2：A101，1）”，C3單元格輸入“=countif（A2：A101，0）”，C4單元格輸入“=C2/C1”，C5單元格輸入“=C3/C1”。同樣，對D2-D5，E2-E5，F(xiàn)2-F5，G2-G5單元格進行相應的公式輸入。得到結果如圖1所示：

圖1

從圖1中數(shù)據(jù)可以看出，隨著投擲次數(shù)的增加，正面朝上的頻率和反面朝上的頻率越來越接近于0.5。endprint

一個事件發(fā)生的頻率是波動的，但是多次試驗的頻率接近于頻率。因此可以通過多次試驗用頻率估計概率。

2 一些常見概率的計算

關于概率計算，這里介紹服從二項分布的計算。

二項分布的試驗背景是重貝努里試驗（試驗由次基本試驗構成），服從二項分布的隨機變量，其概率 （ = ） = 。其中，表示試驗次數(shù)，為一次試驗中某種結果發(fā)生的概率。

案例：甲乙兩人比賽，每次比賽中甲勝出的概率為0.4，求5次比賽中甲勝出2次的概率。

具體操作如下：

（1）打開Excel，輸入如圖2，然后選定單元格B5。

圖2

（2）在“開始”選項卡的“編輯”部分，單擊自動求和右邊的倒三角符號，選擇“其他函數(shù)”，選擇類別“統(tǒng)計”，選擇函數(shù)“BINOM.DIST”，單擊“確定”。

（3）根據(jù)已知條件填入相應的對話框，如圖3。

圖3

可得概率為0.3456。

3 抽樣簡介

當總體數(shù)據(jù)過大時，可以從總體中按一定方法抽取出一定數(shù)量的樣本數(shù)據(jù)來代替總體。

案例：已知某班68名學生的平均成績?nèi)缦拢堖M行抽樣分析。

67.12 77.44 89.33 81.05 65.14 80.74 82.97 69.23 75.82

69.08 79.23 75.72 82.59 77.77 73.26 74.23 93.36 55.69

72.62 84.62 74.59 89.33 69.74 66.14 66.74 75.85 81.05

66.14 62.46 93.36 71.56 84.54 66.14 64.87 71.56 75.72

67.12 70.62 81.03 70.62 79.23 63.62 64.87 77.44 80.74

93.36 74.23 76.49 62.46 76.87 75.54 65.65 56.79 71.62

67.12 66.05 82.59 77.77 66.62 59.15 81.05 74.59 71.56

66.05 73.15 82.59 81.03 93.36

圖4

具體操作如下：

（1）將68個數(shù)據(jù)輸入到Excel工作簿A2-A6。A1單元格輸入“平均成績”。然后單擊“數(shù)據(jù)”選項下的“分析”區(qū)域下的“數(shù)據(jù)分析”，得到對話框。（沒有“數(shù)據(jù)分析”時需要加載：文件—選項—加載項—分析工具庫—轉到分析工具庫—確定）

（2）選擇分析工具下的“抽樣”。然后確定。

（3）在“抽樣”對話框分別輸入如圖4所示。這里采用隨機抽樣方法，樣本量為20。

（4）單擊“確定”，得到結果如圖5。B2-B21為抽樣所得的樣本。

圖5

4 描述統(tǒng)計樣本估計總體

用3中抽取的樣本數(shù)據(jù)，用樣本估計總體。

具體具體步驟如下：

（1）數(shù)據(jù)—分析—數(shù)據(jù)分析。

（2）在“數(shù)據(jù)分析”對話框，選擇描述統(tǒng)計，單擊確定，得到“描述統(tǒng)計”對話框。

（3）按圖6所示輸入。

圖6

（4）確定后，得到結果如圖7。

圖7

結果給出的描述統(tǒng)計量較多，在中學數(shù)學中，我們只選擇平均（均值），方差，中位數(shù)，眾數(shù)等。

通過頻率直方圖直觀地看出成績分布的情況。繪制頻率直方圖具體步驟如下：

①將上面得到的B2-B21數(shù)據(jù)復制到新建Excel工作簿的A1-A20單元格（也可以在原工作簿上進行）。

②在C1-C4單元格分別輸入“接受組距”“65”“75”“85”。這里是設置各組的上限。

③數(shù)據(jù)—分析——數(shù)據(jù)分析，在數(shù)據(jù)分析對話框中選擇分析工具“直方圖”。出現(xiàn)對話框如圖8填寫：

圖8

④點擊確定后結果如圖9：

圖9

另外，還可以函數(shù)求均值，中位數(shù)等。均值函數(shù)（average）、眾數(shù)函數(shù)（mode）、中位數(shù)函數(shù)（median）、方差函數(shù)（var.p）。

比如說在B1單元格輸入“均值”，C1單元格輸入“=average（A1：A20）”回車后即得到20名學生成績的平均成績。結果如下：

圖10

5 數(shù)據(jù)擬合回歸分析③

在數(shù)據(jù)分析中，數(shù)據(jù)的擬合及回歸可以很好地描述數(shù)據(jù)間的對應關系。就是將一組數(shù)據(jù)用函數(shù)的形式描述出來，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，得到數(shù)學模型，并能夠用模型刻畫已知數(shù)據(jù)和預測。④

案例：假定某一保險公司希望確定居民住宅區(qū)火災造成的損失數(shù)額與該住戶到最近的消防站的距離之間的相關關系，以便準確地定出保險金額。Excel表中A列和D列給出了15起火災事故的損失y及火災發(fā)生地與最近的消防站的距離x。

操作步驟：

（1）將數(shù)據(jù)輸入到Excel工作表中，單擊“插入”選項下的“圖表”區(qū)域下的“散點圖”。

（2）通過觀察散點圖發(fā)現(xiàn)，散點可以認為近似在一條直線上，所以用直線來擬合。鼠標右鍵單擊任意圖上的散點，單擊“添加趨勢線”，在“趨勢線選項”中選擇“線性”“顯示公式”“顯示R平方值”，得到擬合直線方程為y = 4.9193x + 10.278。R2的值越接近1，表明回歸擬合的效果越好。

（3）我們可以預測估計當x的范圍在5至7的時候y的值，如C列和D列（可以通過自動填充和公式來實現(xiàn)數(shù)值的計算）。

圖11

說明：①對直線擬合的公式是利用“最小二乘法”，，具體的計算過程參考教科書。

②若散點不近似在一條直線上，可以通過在“趨勢線選項”中選擇其他近似的線性，通過多重比較R2的值可得到更好的模型。

6 結論

本文針對中學數(shù)學中概率統(tǒng)計的內(nèi)容，演示了Excel產(chǎn)生大量隨機數(shù)模擬試驗，并且能夠對已知數(shù)據(jù)進行描述性統(tǒng)計分析，抽樣以及回歸擬合等。通過得到一系列相應的計算結果和操作方便的作圖分析功能，大大地方便了老師對繁雜過程的教學演示，使學生更容易理解頻率與概率的聯(lián)系，加深對概念的理解和在實際問題中的應用。在經(jīng)過熟練的操作練習后，可以方便地得到其他相關問題的結果及分析。

注釋

① 王惠春.EXCEL的共享功能在《概率和統(tǒng)計》教學中的應用兩例[J].赤峰學院學報，2006.8.

② 唐國強.EXCEL在概率計算中的應用[J].安陽大學學報，2003.3.

③ 何曉群，劉文卿.應用回歸分析（第三版）.北京：中國人民大學出版社，2011.

④ 徐稼紅.信息技術與數(shù)學課程整合[J]——Excel篇（3）.中學數(shù)學月刊，2009（5）.endprint

一個事件發(fā)生的頻率是波動的，但是多次試驗的頻率接近于頻率。因此可以通過多次試驗用頻率估計概率。

2 一些常見概率的計算

關于概率計算，這里介紹服從二項分布的計算。

二項分布的試驗背景是重貝努里試驗（試驗由次基本試驗構成），服從二項分布的隨機變量，其概率 （ = ） = 。其中，表示試驗次數(shù)，為一次試驗中某種結果發(fā)生的概率。

案例：甲乙兩人比賽，每次比賽中甲勝出的概率為0.4，求5次比賽中甲勝出2次的概率。

具體操作如下：

（1）打開Excel，輸入如圖2，然后選定單元格B5。

圖2

（2）在“開始”選項卡的“編輯”部分，單擊自動求和右邊的倒三角符號，選擇“其他函數(shù)”，選擇類別“統(tǒng)計”，選擇函數(shù)“BINOM.DIST”，單擊“確定”。

（3）根據(jù)已知條件填入相應的對話框，如圖3。

圖3

可得概率為0.3456。

3 抽樣簡介

當總體數(shù)據(jù)過大時，可以從總體中按一定方法抽取出一定數(shù)量的樣本數(shù)據(jù)來代替總體。

案例：已知某班68名學生的平均成績?nèi)缦拢堖M行抽樣分析。

67.12 77.44 89.33 81.05 65.14 80.74 82.97 69.23 75.82

69.08 79.23 75.72 82.59 77.77 73.26 74.23 93.36 55.69

72.62 84.62 74.59 89.33 69.74 66.14 66.74 75.85 81.05

66.14 62.46 93.36 71.56 84.54 66.14 64.87 71.56 75.72

67.12 70.62 81.03 70.62 79.23 63.62 64.87 77.44 80.74

93.36 74.23 76.49 62.46 76.87 75.54 65.65 56.79 71.62

67.12 66.05 82.59 77.77 66.62 59.15 81.05 74.59 71.56

66.05 73.15 82.59 81.03 93.36

圖4

具體操作如下：

（1）將68個數(shù)據(jù)輸入到Excel工作簿A2-A6。A1單元格輸入“平均成績”。然后單擊“數(shù)據(jù)”選項下的“分析”區(qū)域下的“數(shù)據(jù)分析”，得到對話框。（沒有“數(shù)據(jù)分析”時需要加載：文件—選項—加載項—分析工具庫—轉到分析工具庫—確定）

（2）選擇分析工具下的“抽樣”。然后確定。

（3）在“抽樣”對話框分別輸入如圖4所示。這里采用隨機抽樣方法，樣本量為20。

（4）單擊“確定”，得到結果如圖5。B2-B21為抽樣所得的樣本。

圖5

4 描述統(tǒng)計樣本估計總體

用3中抽取的樣本數(shù)據(jù)，用樣本估計總體。

具體具體步驟如下：

（1）數(shù)據(jù)—分析—數(shù)據(jù)分析。

（2）在“數(shù)據(jù)分析”對話框，選擇描述統(tǒng)計，單擊確定，得到“描述統(tǒng)計”對話框。

（3）按圖6所示輸入。

圖6

（4）確定后，得到結果如圖7。

圖7

結果給出的描述統(tǒng)計量較多，在中學數(shù)學中，我們只選擇平均（均值），方差，中位數(shù)，眾數(shù)等。

通過頻率直方圖直觀地看出成績分布的情況。繪制頻率直方圖具體步驟如下：

①將上面得到的B2-B21數(shù)據(jù)復制到新建Excel工作簿的A1-A20單元格（也可以在原工作簿上進行）。

②在C1-C4單元格分別輸入“接受組距”“65”“75”“85”。這里是設置各組的上限。

③數(shù)據(jù)—分析——數(shù)據(jù)分析，在數(shù)據(jù)分析對話框中選擇分析工具“直方圖”。出現(xiàn)對話框如圖8填寫：

圖8

④點擊確定后結果如圖9：

圖9

另外，還可以函數(shù)求均值，中位數(shù)等。均值函數(shù)（average）、眾數(shù)函數(shù)（mode）、中位數(shù)函數(shù)（median）、方差函數(shù)（var.p）。

比如說在B1單元格輸入“均值”，C1單元格輸入“=average（A1：A20）”回車后即得到20名學生成績的平均成績。結果如下：

圖10

5 數(shù)據(jù)擬合回歸分析③

在數(shù)據(jù)分析中，數(shù)據(jù)的擬合及回歸可以很好地描述數(shù)據(jù)間的對應關系。就是將一組數(shù)據(jù)用函數(shù)的形式描述出來，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，得到數(shù)學模型，并能夠用模型刻畫已知數(shù)據(jù)和預測。④

案例：假定某一保險公司希望確定居民住宅區(qū)火災造成的損失數(shù)額與該住戶到最近的消防站的距離之間的相關關系，以便準確地定出保險金額。Excel表中A列和D列給出了15起火災事故的損失y及火災發(fā)生地與最近的消防站的距離x。

操作步驟：

（1）將數(shù)據(jù)輸入到Excel工作表中，單擊“插入”選項下的“圖表”區(qū)域下的“散點圖”。

（2）通過觀察散點圖發(fā)現(xiàn)，散點可以認為近似在一條直線上，所以用直線來擬合。鼠標右鍵單擊任意圖上的散點，單擊“添加趨勢線”，在“趨勢線選項”中選擇“線性”“顯示公式”“顯示R平方值”，得到擬合直線方程為y = 4.9193x + 10.278。R2的值越接近1，表明回歸擬合的效果越好。

（3）我們可以預測估計當x的范圍在5至7的時候y的值，如C列和D列（可以通過自動填充和公式來實現(xiàn)數(shù)值的計算）。

圖11

說明：①對直線擬合的公式是利用“最小二乘法”，，具體的計算過程參考教科書。

②若散點不近似在一條直線上，可以通過在“趨勢線選項”中選擇其他近似的線性，通過多重比較R2的值可得到更好的模型。

6 結論

本文針對中學數(shù)學中概率統(tǒng)計的內(nèi)容，演示了Excel產(chǎn)生大量隨機數(shù)模擬試驗，并且能夠對已知數(shù)據(jù)進行描述性統(tǒng)計分析，抽樣以及回歸擬合等。通過得到一系列相應的計算結果和操作方便的作圖分析功能，大大地方便了老師對繁雜過程的教學演示，使學生更容易理解頻率與概率的聯(lián)系，加深對概念的理解和在實際問題中的應用。在經(jīng)過熟練的操作練習后，可以方便地得到其他相關問題的結果及分析。

注釋

① 王惠春.EXCEL的共享功能在《概率和統(tǒng)計》教學中的應用兩例[J].赤峰學院學報，2006.8.

② 唐國強.EXCEL在概率計算中的應用[J].安陽大學學報，2003.3.

③ 何曉群，劉文卿.應用回歸分析（第三版）.北京：中國人民大學出版社，2011.

④ 徐稼紅.信息技術與數(shù)學課程整合[J]——Excel篇（3）.中學數(shù)學月刊，2009（5）.endprint

一個事件發(fā)生的頻率是波動的，但是多次試驗的頻率接近于頻率。因此可以通過多次試驗用頻率估計概率。

2 一些常見概率的計算

關于概率計算，這里介紹服從二項分布的計算。

二項分布的試驗背景是重貝努里試驗（試驗由次基本試驗構成），服從二項分布的隨機變量，其概率 （ = ） = 。其中，表示試驗次數(shù)，為一次試驗中某種結果發(fā)生的概率。

案例：甲乙兩人比賽，每次比賽中甲勝出的概率為0.4，求5次比賽中甲勝出2次的概率。

具體操作如下：

（1）打開Excel，輸入如圖2，然后選定單元格B5。

圖2

（2）在“開始”選項卡的“編輯”部分，單擊自動求和右邊的倒三角符號，選擇“其他函數(shù)”，選擇類別“統(tǒng)計”，選擇函數(shù)“BINOM.DIST”，單擊“確定”。

（3）根據(jù)已知條件填入相應的對話框，如圖3。

圖3

可得概率為0.3456。

3 抽樣簡介

當總體數(shù)據(jù)過大時，可以從總體中按一定方法抽取出一定數(shù)量的樣本數(shù)據(jù)來代替總體。

案例：已知某班68名學生的平均成績?nèi)缦?，請進行抽樣分析。

67.12 77.44 89.33 81.05 65.14 80.74 82.97 69.23 75.82

69.08 79.23 75.72 82.59 77.77 73.26 74.23 93.36 55.69

72.62 84.62 74.59 89.33 69.74 66.14 66.74 75.85 81.05

66.14 62.46 93.36 71.56 84.54 66.14 64.87 71.56 75.72

67.12 70.62 81.03 70.62 79.23 63.62 64.87 77.44 80.74

93.36 74.23 76.49 62.46 76.87 75.54 65.65 56.79 71.62

67.12 66.05 82.59 77.77 66.62 59.15 81.05 74.59 71.56

66.05 73.15 82.59 81.03 93.36

圖4

具體操作如下：

（1）將68個數(shù)據(jù)輸入到Excel工作簿A2-A6。A1單元格輸入“平均成績”。然后單擊“數(shù)據(jù)”選項下的“分析”區(qū)域下的“數(shù)據(jù)分析”，得到對話框。（沒有“數(shù)據(jù)分析”時需要加載：文件—選項—加載項—分析工具庫—轉到分析工具庫—確定）

（2）選擇分析工具下的“抽樣”。然后確定。

（3）在“抽樣”對話框分別輸入如圖4所示。這里采用隨機抽樣方法，樣本量為20。

（4）單擊“確定”，得到結果如圖5。B2-B21為抽樣所得的樣本。

圖5

4 描述統(tǒng)計樣本估計總體

用3中抽取的樣本數(shù)據(jù)，用樣本估計總體。

具體具體步驟如下：

（1）數(shù)據(jù)—分析—數(shù)據(jù)分析。

（2）在“數(shù)據(jù)分析”對話框，選擇描述統(tǒng)計，單擊確定，得到“描述統(tǒng)計”對話框。

（3）按圖6所示輸入。

圖6

（4）確定后，得到結果如圖7。

圖7

結果給出的描述統(tǒng)計量較多，在中學數(shù)學中，我們只選擇平均（均值），方差，中位數(shù)，眾數(shù)等。

通過頻率直方圖直觀地看出成績分布的情況。繪制頻率直方圖具體步驟如下：

①將上面得到的B2-B21數(shù)據(jù)復制到新建Excel工作簿的A1-A20單元格（也可以在原工作簿上進行）。

②在C1-C4單元格分別輸入“接受組距”“65”“75”“85”。這里是設置各組的上限。

③數(shù)據(jù)—分析——數(shù)據(jù)分析，在數(shù)據(jù)分析對話框中選擇分析工具“直方圖”。出現(xiàn)對話框如圖8填寫：

圖8

④點擊確定后結果如圖9：

圖9

另外，還可以函數(shù)求均值，中位數(shù)等。均值函數(shù)（average）、眾數(shù)函數(shù)（mode）、中位數(shù)函數(shù)（median）、方差函數(shù)（var.p）。

比如說在B1單元格輸入“均值”，C1單元格輸入“=average（A1：A20）”回車后即得到20名學生成績的平均成績。結果如下：

圖10

5 數(shù)據(jù)擬合回歸分析③

在數(shù)據(jù)分析中，數(shù)據(jù)的擬合及回歸可以很好地描述數(shù)據(jù)間的對應關系。就是將一組數(shù)據(jù)用函數(shù)的形式描述出來，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，得到數(shù)學模型，并能夠用模型刻畫已知數(shù)據(jù)和預測。④

案例：假定某一保險公司希望確定居民住宅區(qū)火災造成的損失數(shù)額與該住戶到最近的消防站的距離之間的相關關系，以便準確地定出保險金額。Excel表中A列和D列給出了15起火災事故的損失y及火災發(fā)生地與最近的消防站的距離x。

操作步驟：

（1）將數(shù)據(jù)輸入到Excel工作表中，單擊“插入”選項下的“圖表”區(qū)域下的“散點圖”。

（2）通過觀察散點圖發(fā)現(xiàn)，散點可以認為近似在一條直線上，所以用直線來擬合。鼠標右鍵單擊任意圖上的散點，單擊“添加趨勢線”，在“趨勢線選項”中選擇“線性”“顯示公式”“顯示R平方值”，得到擬合直線方程為y = 4.9193x + 10.278。R2的值越接近1，表明回歸擬合的效果越好。

（3）我們可以預測估計當x的范圍在5至7的時候y的值，如C列和D列（可以通過自動填充和公式來實現(xiàn)數(shù)值的計算）。

圖11

說明：①對直線擬合的公式是利用“最小二乘法”，，具體的計算過程參考教科書。

②若散點不近似在一條直線上，可以通過在“趨勢線選項”中選擇其他近似的線性，通過多重比較R2的值可得到更好的模型。

6 結論

本文針對中學數(shù)學中概率統(tǒng)計的內(nèi)容，演示了Excel產(chǎn)生大量隨機數(shù)模擬試驗，并且能夠對已知數(shù)據(jù)進行描述性統(tǒng)計分析，抽樣以及回歸擬合等。通過得到一系列相應的計算結果和操作方便的作圖分析功能，大大地方便了老師對繁雜過程的教學演示，使學生更容易理解頻率與概率的聯(lián)系，加深對概念的理解和在實際問題中的應用。在經(jīng)過熟練的操作練習后，可以方便地得到其他相關問題的結果及分析。

注釋

① 王惠春.EXCEL的共享功能在《概率和統(tǒng)計》教學中的應用兩例[J].赤峰學院學報，2006.8.

② 唐國強.EXCEL在概率計算中的應用[J].安陽大學學報，2003.3.

③ 何曉群，劉文卿.應用回歸分析（第三版）.北京：中國人民大學出版社，2011.

④ 徐稼紅.信息技術與數(shù)學課程整合[J]——Excel篇（3）.中學數(shù)學月刊，2009（5）.endprint