任天榮， 馬建敏

(1.復(fù)旦大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)系，上海 200433；2.上海機(jī)電工程研究所，上海 201109)

0 引言

旋轉(zhuǎn)彈(包括旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈、旋轉(zhuǎn)火箭彈)的主動(dòng)段飛行中，在沒(méi)有操縱指令的情況下，時(shí)常也會(huì)產(chǎn)生明顯的錐形運(yùn)動(dòng)，此運(yùn)動(dòng)又具體有擺幅收斂、擺幅穩(wěn)定和擺幅發(fā)散(即發(fā)生"掉彈")3種現(xiàn)象。后2種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)會(huì)導(dǎo)致飛行姿態(tài)的改變，進(jìn)而影響增加脫靶量、降低射程。對(duì)于錐形運(yùn)動(dòng)的發(fā)生原因國(guó)內(nèi)外已有一些研究，Thomson指出了旋轉(zhuǎn)彈體的自旋軸為其最小主慣性軸時(shí)，因彈體系統(tǒng)總是存在不可避免的能量耗散，這就使得彈體存在錐形運(yùn)動(dòng)的發(fā)散趨勢(shì)[1]；后來(lái)Likins在其N(xiāo)ASA 報(bào)告[2]中也給出結(jié)論：A spacecraft spinning about its minor axis in the presence of energy dissipation is directionally unstable。彈體的錐形運(yùn)動(dòng)可看作是彈軸相對(duì)速度矢量的章動(dòng)和進(jìn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的合成，Platus認(rèn)為彈體的滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)實(shí)際上包含彈體繞自身縱軸的滾轉(zhuǎn)和彈軸繞速度矢量的進(jìn)動(dòng)，進(jìn)動(dòng)角速率與彈體的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和赤道轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之比有關(guān)，并且當(dāng)內(nèi)部質(zhì)量存在輕微不對(duì)稱(chēng)時(shí)，彈體繞縱軸的滾轉(zhuǎn)軸將與彈體最小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸不重合，這一現(xiàn)象會(huì)導(dǎo)致章動(dòng)角的產(chǎn)生，也是誘發(fā)彈體姿態(tài)發(fā)散的一個(gè)因素[3]。Morote和Liano分析了140 mm火箭的卷弧翼的氣動(dòng)特性，尤其是展長(zhǎng)和弦長(zhǎng)對(duì)飛行動(dòng)穩(wěn)定的影響，發(fā)現(xiàn)減小卷弧翼弦長(zhǎng)可使面外力和面外力矩加大，使火箭彈動(dòng)穩(wěn)定性變差，易導(dǎo)致錐形運(yùn)動(dòng)發(fā)生，而減小展長(zhǎng)不利于彈體的靜穩(wěn)定性，卻有助于改善飛行器的動(dòng)穩(wěn)定性[4]。Murphy針對(duì)無(wú)控彈體，采取一階線性化方法，得出了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性區(qū)域，給出了旋轉(zhuǎn)彈體動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性必須滿足的條件，說(shuō)明了面外力矩在引起一個(gè)圓運(yùn)動(dòng)收斂的同時(shí)造成另外一圓運(yùn)動(dòng)的發(fā)散[5-6]。張涵信等研究了飛船返回艙俯仰振蕩的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定形態(tài)隨來(lái)流馬赫數(shù)的變化，指出當(dāng)來(lái)流馬赫數(shù)等于某一臨界馬赫數(shù)時(shí)，開(kāi)始發(fā)生動(dòng)態(tài)Hopf分叉，產(chǎn)生周期振蕩的極限環(huán)[7]。洪金森和洪詩(shī)權(quán)應(yīng)用多尺度法獲得了再入飛行器運(yùn)動(dòng)方程的極限環(huán)振幅和頻率的漸近表達(dá)式，并指出系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于阻尼線性項(xiàng)的符號(hào)變化[8]。毛雪瑞基于彈體的短周期運(yùn)動(dòng)建立了彈體的章動(dòng)角運(yùn)動(dòng)模型，并得出了錐形運(yùn)動(dòng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性判據(jù)和有界穩(wěn)定性判據(jù)，指出了增大靜穩(wěn)定力矩系數(shù)、減小側(cè)向力矩系數(shù)有利于改善錐形運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，并指出了彈體處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)彈體將存在穩(wěn)定的進(jìn)動(dòng)角速率[9]。上述相關(guān)結(jié)果均是基于飛行器質(zhì)量不變的前提。在文獻(xiàn)[10]中給出了基于變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方程，關(guān)于錐形運(yùn)動(dòng)(極限環(huán))存在的理論證明，但沒(méi)有對(duì)其產(chǎn)生的條件加以說(shuō)明。實(shí)際上，正常穩(wěn)定的飛行相當(dāng)于彈體軸線關(guān)于來(lái)流夾角的定常解，錐形運(yùn)動(dòng)則為彈體軸線關(guān)于來(lái)流夾角的周期解，這一現(xiàn)象正對(duì)應(yīng)于數(shù)學(xué)中的常微分方程的極限環(huán)。

本文將從變質(zhì)量陀螺方程出發(fā)，分析關(guān)于旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈姿態(tài)運(yùn)動(dòng)極限環(huán)的發(fā)生的區(qū)間范圍，對(duì)旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈產(chǎn)生錐形運(yùn)動(dòng)的條件進(jìn)行探討，并基于微分方程定性理論中關(guān)于極限環(huán)的理論成果[11-12]，研究分析關(guān)于旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的極限環(huán)存在發(fā)生的區(qū)間范圍，對(duì)旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈產(chǎn)生錐形運(yùn)動(dòng)的條件進(jìn)行探討，并基于矩陣代數(shù)的理論成果，給出一個(gè)分析錐擺頻率的公式。

1 基于變質(zhì)量陀螺運(yùn)動(dòng)方程的旋轉(zhuǎn)彈姿態(tài)方程

因?yàn)橹鲃?dòng)段飛行過(guò)程即導(dǎo)彈變質(zhì)量過(guò)程，故下面先給出變質(zhì)量陀螺的普遍方程，推導(dǎo)見(jiàn)文獻(xiàn)[13-14]：

(1)

其中：

Mi=(Mix,Miy,Miz)

這里將附加質(zhì)量的結(jié)合過(guò)程看作是絕對(duì)的非彈性碰撞。隨后，采用文獻(xiàn)[10]中使用的端面燃燒旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈變質(zhì)量陀螺運(yùn)動(dòng)方程。即設(shè)一圓柱體旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈做靜穩(wěn)定水平飛行，則其速度坐標(biāo)系近似為慣性坐標(biāo)系，設(shè)原點(diǎn)即為彈體質(zhì)心；而取彈體的半彈體坐標(biāo)系為相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)坐標(biāo)系。將慣性坐標(biāo)系中動(dòng)量矩定理的微分過(guò)程改在動(dòng)坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行，則有

(2)

其中，帶“～”的微分符號(hào)表示動(dòng)坐標(biāo)系的局部導(dǎo)數(shù)；ω為相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系的瞬時(shí)角速度。則有

(3)

(4)

考慮到在半彈體坐標(biāo)系中，全彈體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是由彈體和將要離去的燃?xì)赓|(zhì)量組成的，則式(4)為

ω×(J·ω)=M

(5)

式中R為燃燒室半徑；l為彈體長(zhǎng)度。

為方便計(jì)算，下面令Jx=J1。再與方程(1)綜合之，得端面燃燒旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈變質(zhì)量陀螺運(yùn)動(dòng)姿態(tài)方程：

(6a)

(6b)

(6c)

2 彈體運(yùn)動(dòng)動(dòng)態(tài)判據(jù)分析

(7a)

(7b)

化方程(7a)、(7b)為

(8a)

(8b)

(9a)

(9b)

(9c)

(9d)

顯然，方程組(9)是一線性系統(tǒng)，原點(diǎn)為其平衡點(diǎn)。由一次近似穩(wěn)定理論知，當(dāng)系統(tǒng)(9)的Jacobi矩陣所有特征值的實(shí)部均為負(fù)時(shí)，該系統(tǒng)是零解漸近穩(wěn)定的[15]。其Jacobi矩陣為

(10)

其Jacobi矩陣行列式為

λ4+2Bλ3+(A2+B2-(my+Δ′+mz))λ2-

B(my+Δ′+mz)λ+(my+Δ′)mz=0

(11)

下面再引用2個(gè)定理[12,16]:

定理1實(shí)系數(shù)代數(shù)方程

λn+a1(μ)λn-1+…+an-1(μ)λ+an(μ)=0

(12)

所有根均具有負(fù)實(shí)部的充分必要條件是所有的Hurwitz行列式均大于零，即

Δi>0(i=1,2,…,n)

定理2若實(shí)系數(shù)代數(shù)方程(12)具有一對(duì)純虛根±ωi，其余n-2個(gè)根均具有負(fù)實(shí)部，則

(13)

于是對(duì)于系統(tǒng)(9)可得

Δ1=a1=2B>0

a2=A2+B2-(my+Δ′+mz)>0

a3=-B(my+Δ′+mz)>0

a4=(my+Δ′)mz>0

=B(2(A2+B2)-(my+Δ′+mz))

=B2((my+Δ′-mz)2-2(A2+B2)(my+Δ′+mz))

=a4Δ3=B2((my+Δ′-mz)2-2(A2+B2)(my+Δ′+mz))(my+Δ′)mz

由前面靜穩(wěn)定假設(shè)可知，my<0，mz<0，而干擾力矩系數(shù)Δ′>0，當(dāng)my+Δ′<0時(shí)，可確保Δ1>0，Δ2>0，Δ3>0，Δ4>0，此時(shí)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。由此知，靜穩(wěn)定設(shè)計(jì)的旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈，微小擾動(dòng)Δ′<-my，所造成的彈體姿態(tài)擺動(dòng)會(huì)迅速收斂，但當(dāng)擾動(dòng)較大，使得系統(tǒng)(9)關(guān)于零點(diǎn)不穩(wěn)定。其實(shí)，由上面看出，對(duì)系統(tǒng)(9)總有Δ1>0；又因?qū)τ谕ǔ５男D(zhuǎn)導(dǎo)彈，有A2+B2?|my+mz|，故而系統(tǒng)也總有Δ2>0；又由Δ4=a4Δ3，知當(dāng)mt+Δ′<0時(shí)，均有Δ3>0，Δ4>0；而當(dāng)my+Δ′+mz>0時(shí)，因一般對(duì)旋轉(zhuǎn)彈箭A2+B2?my+Δ′+mz，故此時(shí)Δ3<0，a4<0，從而Δ4>0，根據(jù)定理1所述，知此時(shí)系統(tǒng)必有一特征根實(shí)部大于零，即系統(tǒng)發(fā)散。因此，當(dāng)Δ′<-my時(shí)，系統(tǒng)(9)肯定關(guān)于零點(diǎn)漸近穩(wěn)定；當(dāng)Δ′>-my-mz時(shí)，系統(tǒng)(9)肯定發(fā)散，即彈體姿態(tài)會(huì)不可回復(fù)到原有的飛行方向，若將操縱力也視為干擾力，則此時(shí)也可視彈體處于操縱機(jī)動(dòng)狀態(tài)；由此分析知，僅當(dāng)-my≤Δ′≤-my-mz時(shí)，系統(tǒng)(9)才有可能發(fā)生錐形振蕩運(yùn)動(dòng)，即干擾力矩導(dǎo)致系統(tǒng)分叉發(fā)生的臨界點(diǎn)必在區(qū)間[-my,-my,-mz]上。實(shí)際飛行中，彈體可能遇到的干擾有“3秒跳”、舵翼分離流動(dòng)的干擾、發(fā)動(dòng)機(jī)熄火、發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)流場(chǎng)激擾、推力偏心及氣動(dòng)力偏差等。

3 旋轉(zhuǎn)彈體振蕩頻率的分析

(14)

圖1 旋轉(zhuǎn)彈體錐形運(yùn)動(dòng)發(fā)生區(qū)域示意圖

(1)當(dāng)系統(tǒng)沒(méi)有受到干擾，且不計(jì)其陀螺穩(wěn)定項(xiàng)與尾噴流章動(dòng)阻尼項(xiàng)，即Δ′=0，A=0，B=0，則其振蕩頻率為

(2)當(dāng)系統(tǒng)沒(méi)有受到干擾，但考慮其陀螺穩(wěn)定項(xiàng)與尾噴流章動(dòng)阻尼項(xiàng)，即Δ′=0，A≠0，B≠0，則彈體有阻尼振蕩頻率表示為

為方便計(jì)算，仍令mz=my，則有

(3)當(dāng)彈體系統(tǒng)處于小舵偏控制的機(jī)動(dòng)狀態(tài)(即將舵面偏打當(dāng)成干擾力，且干擾力矩系數(shù)滿足-my≤Δ′≤-my-mz)，又考慮其陀螺穩(wěn)定項(xiàng)與尾噴流章動(dòng)阻尼項(xiàng)，即Δ′≠0，A≠0，B≠0，則此時(shí)彈體錐形運(yùn)動(dòng)的振蕩頻率，可稱(chēng)為小舵偏機(jī)動(dòng)頻率，其頻率可表示為

4 關(guān)于錐形運(yùn)動(dòng)的進(jìn)一步討論

這里的分析是建立在線性系統(tǒng)之上的，由于實(shí)際飛行中系統(tǒng)應(yīng)是非線性狀態(tài)的，故而上面的分析是有局限性的，也就難以對(duì)彈體發(fā)生振蕩運(yùn)動(dòng)的臨界點(diǎn)，給出準(zhǔn)確的結(jié)果，而僅能給出一個(gè)區(qū)間。旋轉(zhuǎn)彈箭穩(wěn)定的錐形運(yùn)動(dòng)，可視為一種在氣動(dòng)力非線性條件下的極限環(huán)運(yùn)動(dòng)，在文獻(xiàn)[9]中，基于微分方程定性理論中的Bendixson-Dulac定理[18]，從理論上說(shuō)明了彈體穩(wěn)定錐形運(yùn)動(dòng)存在性，但那是在阻尼力矩線性條件下得出的結(jié)論，相對(duì)于真正飛行環(huán)境差異較大，也就沒(méi)有多少對(duì)實(shí)際飛行現(xiàn)象的指導(dǎo)意義。下面討論一下，當(dāng)阻尼力矩非線性時(shí)的情形。

Bendixson-Dulac定理,給定微分方程組：

(15a)

(15b)

其中，Y、Z∈C1(D)；D是環(huán)域，D中無(wú)奇點(diǎn)。若存在函數(shù)B(y,z) 、M(y,z)∈C1(D)，B(y,z)>0且在環(huán)域D上有

(16)

而等號(hào)不能在整條軌線上成立，則在D上至多有一個(gè)極限環(huán)。若此極限環(huán)存在，則是穩(wěn)定的。

=Y(y,z)-c1y3=Y1(y,z)

(17a)

=Z(y,z)-c4z3=Z1(y,z)

(17b)

再分別計(jì)算易得

(18)

(19)

(20)

(21)

則由

3z2(c1y2+c4z2)≤0

則當(dāng)極限環(huán)存在判別式：

(22)

成立時(shí)，Bendixson-Dulac定理中的條件成立，可以確保此時(shí)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，如果不收斂到零點(diǎn)，則系統(tǒng)必存在一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)。由以前的分析有

又由于c1、c4可以為負(fù)值，且故僅當(dāng)彈體振蕩角度非常小或阻尼力矩的非線性系數(shù)很小時(shí)，才能確保系統(tǒng)極限環(huán)存在判別式(22)的成立。

5 結(jié)論

(1)在外力條件穩(wěn)定彈體自旋轉(zhuǎn)速不變時(shí)，主動(dòng)段飛行的旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈，當(dāng)干擾力矩系數(shù)小于氣動(dòng)靜穩(wěn)定力矩系數(shù)時(shí)，系統(tǒng)關(guān)于原點(diǎn)漸近穩(wěn)定；當(dāng)干擾力矩系數(shù)大于氣動(dòng)靜穩(wěn)定力矩系數(shù)的2倍時(shí)，系統(tǒng)發(fā)散；當(dāng)干擾力矩系數(shù)介于氣動(dòng)靜穩(wěn)定力矩系數(shù)的1～2倍之間時(shí)，系統(tǒng)才會(huì)有錐形運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象發(fā)生。

(2)旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈采用氣動(dòng)靜穩(wěn)定設(shè)計(jì)，較小的振蕩幅度和較低阻尼非線性，使得旋轉(zhuǎn)彈體一旦進(jìn)入錐形運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，就一定是穩(wěn)定的錐形運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的充分條件。

(3)旋轉(zhuǎn)火箭彈較大的氣動(dòng)靜穩(wěn)定度設(shè)計(jì)，是促使 “掉彈”現(xiàn)象發(fā)生的原因之一。

(4)主動(dòng)段飛行的旋轉(zhuǎn)導(dǎo)彈，其阻尼與干擾力矩對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期是有影響的；彈體無(wú)阻尼振蕩頻率高于其主動(dòng)段振蕩頻率；彈體主動(dòng)段自由飛行振蕩頻率高于其小舵偏機(jī)動(dòng)飛行的振蕩頻率。

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