雷 剛，田海鵬，鮮 勇，胡偉華

(1.西北工業(yè)大學 航天學院，西安 710072；2.第二炮兵工程大學，西安 710025； 3.96271部隊，宜陽 471600；4.第二炮兵駐航天四院軍代室，西安 710025)

0 引言

博弈論是研究決策主體行為發(fā)生直接相互作用時的決策及這種決策的均衡問題，即當一個主體的選擇受其他個體選擇的影響，而且反過來影響其他個體選擇時的決策問題和均衡問題，是研究決策問題的重要理論。

將導彈突防研究中攔截方的攔截策略作為己知，來研究突防的最優(yōu)控制問題，稱之為最優(yōu)突防。在突防策略研究中，通常構建系統(tǒng)數學模型考慮指令與加速度間的動態(tài)特性、機動載荷的限制，定義脫靶量并把它和指標函數聯(lián)系起來[1]。然而，用最優(yōu)控制方法和微分對策來研究突防策略時，如系統(tǒng)模型過于復雜，即使問題的最優(yōu)解存在，但在限定時間內通常求不到解。

矩陣博弈方法是將研究對象的狀態(tài)變量和控制策略分別在時間和控制性質上離散化后的一種研究方法，其解是次最優(yōu)的[2]。該方法需要進行大量數據分析，得到的結果即為最優(yōu)策略集，突防方可根據支付函數采取相應的策略，即突防方自主完成突防任務，從而使導彈突防趨于智能化。

1 基于博弈論的導彈突防問題分析

制定導彈機動策略的過程需要對雙方攔截狀態(tài)進行大量仿真計算。由于彈上計算能力有限，因此彈上實時生成實時突防策略的能力有限?；诖?，本文針對導彈和EKV攔截末段的飛行過程，運用博弈理論求解導彈實時機動策略，并形成機動策略序列。通過設定導彈完成試探性機動后，在EKV不同的導引系數條件下，導彈紅外探測系統(tǒng)測得的EKV到彈頭的視線偏航角不相同，從而使導彈通過試探性機動計算得到EKV比例導引系數和EKV到導彈的視線偏航角信息與機動策略序列具有的對應關系。

假設EKV采用擴展比例導引律，對不同的導引系數條件下分別進行仿真，得到6組EKV機動策略序列，構成策略庫。

在導彈發(fā)射前將機動策略庫裝訂到彈上，導彈在實際飛行中通過試探性機動，識別出EKV擴展比例導引律后，將導引系數和EKV到彈頭視線偏航角作為輸入信息，彈機從機動策略庫中讀取相應的機動策略序列，從而實現(xiàn)導彈機動突防。

1.1 博弈論方法建模

設導彈為局中人1，EKV為局中人2，導彈支付為脫靶量M，EKV支付即為脫靶量的負值(-M)，雙方博弈的目的都是想實現(xiàn)各自的支付盡量大。可將博弈的過程根據時間劃分為不同階段，在每個突防階段，導彈和EKV進行博弈。從而將該本問題視為二人零和有限重復的博弈數學問題。

當攔截器與目標機動比μ≥2時，就能產生較小的脫靶距離[3]。由于EKV最大加速度為4g，可設定導彈側噴發(fā)動機的加速度為2g。在突防-攔截博弈中，定義局中人1的策略集為

S1={以2g的加速度垂直射面負向機動，不做機動，以2g的加速度垂直射面正向機動}

局中人2的策略集為

S2={根據導引律進行機動，不做機動}

規(guī)范化策略集即得

S1={1，0，-1}，S2={1，0}

在導彈飛行中，記博弈的第一階段為I1，每個博弈階段持續(xù)時間為T，則(t2+T)時刻為I1的結束時刻，同時可記為I2的開始時刻。在攻防結束時，博弈過程即結束。

1.2 博弈問題的求解

1 0

式中A為局中人1的贏矩陣。

在各階段博弈中取脫靶量15 m作為導彈突防成功閥值，脫靶量4.5 m為EKV攔截成功閥值(脫靶量小于4.5 m時EKV處于零控攔截狀態(tài)[4])。當EKV與導彈博弈預期值小于導彈突防成功閥值時，導彈采用反向機動方式規(guī)避EKV的攔截。在每一個制導周期，根據當前導彈和EKV運動狀態(tài)，對下一個制導周期分別采用不同策略時的脫靶量值進行預測計算，依據脫靶量確定下一個制導周期機動策略，過程如下：

(1)若導彈采用1機動策略，預測脫靶量大于當前預測脫靶量時，則采用正向機動策略；

(2)若導彈采用0機動策略，預測脫靶量大于當前預測脫靶量時，則采用不機動策略；

(3)若導彈采用-1機動策略，預測脫靶量大于當前預測脫靶量時，則采用負向機動策略。

2 機動策略庫制備

假設導彈垂直射面負向機動的時間為8 s，令t1為EKV捕獲導彈的時刻，t2為博弈的起始時刻，則有t2=t1+8 s。

假設導彈和EKV的相向運動，且導彈和EKV的速度在oxm軸和oym軸方向的分量較大，導彈和EKV沿oxm軸和oym軸方向的速度分量在博弈時變化不大，故可預估博弈的終止時刻。經計算EKV實施末段攔截的有效時間約為16.39 s。因此,博弈終止時刻約為t3=t1+16.39 s。

設每個博弈階段持續(xù)時間T=0.2 s，可分別制備EKV的導引系數K=i(i=1，…，6)時的機動策略：

(1)輸入博弈階段起始時刻導彈、EKV的位置和速度信息；

(3)根據預測脫靶量，按照上節(jié)所確定的機動準則，確定t=(j+1)*T時刻機動策略；

(4)循環(huán)1～3步直至博弈終止時刻，導彈不再機動。

每個周期機動策略計算流程如圖1所示。

每隔0.2 s記錄導彈的機動指令，形成一組導彈機動控制指令序列{u(k)}。

由于基于博弈理論求解的導彈機動控制指令序列{u(k)}中控制指令數量較大，不利于彈上數據存儲。因此，可將控制指令序列進行壓縮。

圖1 博弈值的計算流程

壓縮編碼時，每2個數字為1組。其中，第1個數表示機動指令的重復個數；第2個數為對應的機動指令。如控制指令序列為{0 0 0 0 1 1 1 0 -1 0 0 0}，壓縮后得到新的序列可列寫為{(4，0)，(3，1)，(1，0)，(1，-1)，(3，0)}。

根據EKV擴展比例導引律可能采取的不同比例導引系數，設計獲得6組機動策略序列，組成機動策略庫。機動策略庫裝訂到彈上后，彈上將根據EKV比例導引參數讀取機動策略庫中對應的機動策略序列。

按上文所述方法最終得到裝訂到彈上機動策略庫：

其中，第i行的數據記為Ci={(Ni1，Oi1)，(Ni2，Oi2)，(Ni3，Oi3)，…}，即為EKV采用導的引系數K=i(i=1，…，6)所對應的導彈要采用的機動策略序列。

3 彈上機動策略確定

導彈發(fā)射前，將機動策略庫裝訂在彈上，根據辨識出的EKV導引參數，從策略庫中讀取對應機動策略。例如，辨識出EKV導引參數等于i時，彈頭選擇機動策略Ci，機動指令計算方法如下：

(1)當t

(3)當t>t3時，彈頭不再機動。

4 仿真結果及分析

當K=3時，彈機從策略庫中選取策略序列C3，導彈按照指令序列進行機動。通過仿真計算，最終得出EKV脫靶量為8.5 m，即EKV攔截失敗。仿真得到的彈頭機動策略如圖2所示，對應EKV機動方向如圖3所示，EKV測得的彈頭視線角變化情況如圖4所示，各博弈階段脫靶量如圖5所示。

從圖2～圖5可看出：

(1)EKV機動指令滯后于導彈機動指令，說明EKV是在探測到導彈機動狀態(tài)變化到一定程度后才開始機動，符合實際情況；

(2)每個博弈周期EKV的機動指令寬度小于導彈機動指令寬度，符合EKV機動加速度大于導彈機動加速度的實際情況；

(3)盡管導彈機動加速度小于EKV的機動加速度，但最終脫靶量大于4.5 m，說明導彈采用博弈機動策略可實現(xiàn)有效突防。

圖2 K=3時導彈機動指令

圖3 K=3時EKV機動情況

圖4 K=3時EKV測得彈頭視線角變化

圖5 K=3時各博弈階段脫靶量

當EKV擴展比例導引律的導引系數K=i(i=1，2，3，4，5，6)時，采用機動指令、EKV機動方向隨時間變化情況和各博弈階段脫靶量仿真結果均大于4.5 m(見表1)。

表1 EKV采用不同比例導引律脫靶量和導彈正負向機動指令數

由于本文假設在理想狀態(tài)下EKV發(fā)動機能夠瞬間產生需要的加速度，因此K取值越大，則EKV的加速度越大，即EKV機動能力越強[5]。所以，出現(xiàn)了K值越大，則脫靶量越小的規(guī)律。

從表1可見，隨著EKV比例導引系數增大，導彈機動指令數也增大。說明在導引系數變大時，彈頭需要消耗更多能量來擺脫EKV攔截。由于EKV在實際飛行中選取較大比例導引系數會引起系統(tǒng)整個大回路抑制噪聲能力下降，所以EKV在選取比例導引系數時，需考慮系統(tǒng)降噪能力[6]。

5 結束語

導彈機動突防策略中的博弈理論的運用，可有效提高導彈的智能化水平。本文通過仿真實現(xiàn)了一種在導彈機動加速度小于EKV機動加速度時仍能利用博弈式機動策略實現(xiàn)有效突防的方法，為導彈機動突防策略研究提供一種思路。該方法尚未考慮導彈和EKV的測量誤差、推力偏差以及其動態(tài)響應過程，還有待進一步深入研究。

參考文獻：

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[2] Austin F,Carbone G,Hinz H,et al. Game theory for automated maneuvering during air-to-air combat [J]. Journal of Guidance,Control,and Dynamics,1990,13(6):1143-1149.

[3] 馬俊聲.博弈論——機動彈頭攻防的核心[J].航天電子對抗,2005,22(1):4-6.

[4] 馮杰,鮮勇,劉順成,等.基于零控攔截的EKV末段攔截彈道仿真 [J].飛行力學,2010,28(2):75-77.

[5] 張義廣,楊軍,朱學平,等.非制冷紅外成像導引頭[M].西安:西北工業(yè)大學,2009.

[6] 程風舟,陳士櫓.攔截彈頭的修正比例導引律[J].空軍工程大學學報,2003,4(4):15-18.