韓海燕

（馬鞍山師范高等專科學(xué)校教師教育系，安徽馬鞍山 243041）

0 引言

帶權(quán)的Ginzburg－Landau型泛函是相變理論中的一個(gè)模型，它在超導(dǎo)、超流和XY－磁等領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用，研究這類泛函的極限行為得到了國內(nèi)外許多研究工作者的關(guān)注和青睞.對加權(quán)的Ginzburg－Landau型泛函

在函數(shù)類空間

中徑向極小元με的極限行為的研究具有極高的價(jià)值.研究徑向極小元極限行為有很多種方法［1］，其中通過建立局部一致估計(jì)來實(shí)現(xiàn)對徑向極小元的極限行為的研究是一種很重要的途徑.本文將闡述如何對徑向極小元建立局部一致估計(jì).

本文在徑向極小元整體估計(jì)的基礎(chǔ)上，適當(dāng)引入輔助泛函，從而降低整體估計(jì)右端的增長速度，使得它不再增長或負(fù)增長，最終建立局部一致估計(jì).下面將詳細(xì)地闡述該項(xiàng)研究和論證過程.

1 局部一致估計(jì)的建立

其中C＞0不依賴于ε∈（0，1），r∈［0，1］.

設(shè)r0∈［0，1］.下面將從r0的3種情形來分別對徑向極小元建立局部一致估計(jì).

先考慮0＜r0＜1的情形.對任給的R∈（0，1），都存在常數(shù)C（R）＞0，使得當(dāng)ε∈（0，ε0）時(shí)，

其中ε0＞0充分小，且有公式［3］

定理1 設(shè)0＜r0＜1，任給存在常數(shù)C＞0使得

其中ε∈（0，ε0），ε0充分小.

證明 從式（1），對任何T＞0，可以得出

因?yàn)槭菢O小元，由式（1）可以推出

在［0，1］上選取光滑切斷因子0≤ζ（r）≤1，使得在（0］上ζ＝1，在r＝r0－T附近ζ＝0，｜ζr｜≤C（T）［6］.在式（6）兩端乘ζρr（ρ＝ρε）并在（T1，r0－T2）上積分，便得

利用式（9）可以導(dǎo)出

利用式（5）（7）（9）還可以導(dǎo)出

將式（11）（12）代入（10）便得到

再選取光滑切斷因子ζ∈C∞（0，1］［7］，滿足在T1附近ζ＝0，在［r0－T2m＋1，r0）上ζ＝1，ζr≤C（T）.與前面的討論一樣，仍可得到

在式（6）兩端乘ρ－1并積分，有

由此及式（5）（7）（13），可以推出

定義1

因?yàn)棣苔攀荅ε（μ，B）的極小元，所以可以得出

這表明

再利用式（8），可得

以此結(jié)合式（14）便得到

同樣地，通過考慮泛函

易證其極小元ρε在中存在，類似于式（14）的證明，仍然可以得到

定義2

注意到με是Eε（μ，B）的極小元，可以得到

于是，

運(yùn)用式（16）得到

結(jié)合式（15）并注意到T≥max｛Tim＋1；i＝1，2，3｝，可得式（3）成立.

類似于定理1的證明，可以證明如下的定理.定理2 若r0＝0，則對任給的都存在不依賴于ε的常數(shù)C＞0，使得

若r0＝1，則對任給的T∈（0，1），都存在不依賴于ε的常數(shù)C＞0，使得

通過以上的討論，分別給出了r0在區(qū)間［0，1］上3種局部一致估計(jì)，這3種局部一致估計(jì)為徑向極小元的極限行為研究奠定了基礎(chǔ).

［1］ LEI Yutian.Radial minimizer of p－Ginzburg－Landau functional with nonvanishing dirichlet boundary condition［J］.Nonlinear Analysis，2005，60：117－128.

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