許志剛，周 立

（淮海工學(xué)院a.理學(xué)院；b.測繪工程學(xué)院，江蘇連云港 222005）

0 引言

純方位目標(biāo)跟蹤（bearings－only tracking，BOT）技術(shù)在紅外探測、無人機(jī)空中偵察、海洋中的目標(biāo)搜救等一些實(shí)際工程中具有重要的應(yīng)用價(jià)值［1－2］.

由于特殊的可觀測性問題［3］，被動(dòng)觀測平臺(tái)必須進(jìn)行有效的機(jī)動(dòng)，才能保證系統(tǒng)存在唯一解［4］.在實(shí)際應(yīng)用中，量測的角度往往受噪音的干擾，即使在系統(tǒng)可觀測情況下，估計(jì)器的性能受觀測平臺(tái)機(jī)動(dòng)軌跡的影響也非常大，具體體現(xiàn)在目標(biāo)參數(shù)估計(jì)精度、估計(jì)器穩(wěn)定性、收斂時(shí)間等指標(biāo)方面.

在研究觀測平臺(tái)機(jī)動(dòng)策略時(shí)，選用不同的性能指標(biāo)會(huì)產(chǎn)生不同的機(jī)動(dòng)軌跡；從跟蹤估計(jì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)角度，大多數(shù)文獻(xiàn)選用FIM信息陣和方位變化率來研究.如文獻(xiàn)［5］選用FIM下界為性能指標(biāo)，研究固定目標(biāo)定位問題中的平臺(tái)機(jī)動(dòng)軌跡；文獻(xiàn)［6］直接基于最大化FIM的行列式，用微分包含技術(shù)試圖尋找目標(biāo)定位問題的觀測平臺(tái)最優(yōu)軌跡；文獻(xiàn)［7］則選用方位變化率最大作為性能指標(biāo)，推導(dǎo)出勻速直航目標(biāo)跟蹤的本載體最優(yōu)軌跡；Passerieux等［8］以變形FIM為指標(biāo)，通過解析和數(shù)值迭代方法給出最佳觀測平臺(tái)機(jī)動(dòng)Euler方程.另外有文獻(xiàn)基于Cramer－Rao下界（CRLB）性能指標(biāo)，利用矩陣跡最小探索觀測平臺(tái)的最優(yōu)軌跡［9］.目前對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問題，文獻(xiàn)大多利用批處理方法給出末端點(diǎn)平臺(tái)航向控制，且控制表達(dá)式非常繁瑣，計(jì)算復(fù)雜，不利于應(yīng)用；或者利用方位差最大指標(biāo)給出實(shí)時(shí)控制，但這種控制只考慮了方位信息，與觀測器和目標(biāo)相對(duì)距離以及速度無關(guān)，達(dá)不到充分利用現(xiàn)有信息的效果.

文獻(xiàn)［10］選用最大化當(dāng)前FIM增量行列式指標(biāo)給出了定位系統(tǒng)的一種基于當(dāng)前量測的最優(yōu)控制策略.本文將上述結(jié)果推廣到遠(yuǎn)距離目標(biāo)被動(dòng)跟蹤系統(tǒng)，給出當(dāng)前時(shí)刻一種新的觀測平臺(tái)航向控制策略，設(shè)計(jì)的航向機(jī)動(dòng)控制序列幾何意義明確，在工程應(yīng)用中具有可操作的借鑒價(jià)值.

1 問題描述

1.1 CRLB遞推式

傳統(tǒng)上，CRLB主要被用來估計(jì)次優(yōu)線性／非線性濾波的誤差性能［11］，由于CRLB在系統(tǒng)構(gòu)建前能預(yù)測可達(dá)到的最優(yōu)理論性能指標(biāo)，因此也可以利用它來進(jìn)行系統(tǒng)設(shè)計(jì).雖然CRLB批處理計(jì)算需要求取高階矩陣的逆，使得計(jì)算復(fù)雜度隨采樣時(shí)間延長越來越高［12］，但Tichavsky等［13］給出離散系統(tǒng)濾波CRLB（PCRLB）遞推式，使得計(jì)算復(fù)雜度大為減小.

記Jk為濾波Fisher信息矩陣（FIM）［11］，離散型濾波信息陣Jk的一個(gè)遞推計(jì)算公式［13］為

這里

1.2 系統(tǒng)模型

假定目標(biāo)和觀測平臺(tái)都在同一平面上，觀測平臺(tái)以速率Vw，k運(yùn)動(dòng).觀測平臺(tái)動(dòng)力學(xué)方程為

初始條件

其中xw，k，yw，k分別為k時(shí)刻觀測平臺(tái)在x和y方向的坐標(biāo)；Cw，k為k時(shí)刻觀測平臺(tái)運(yùn)動(dòng)航向，為控制參數(shù).

量測噪音ηk～N（0，R）.

Fisher信息矩陣（FIM）為

其中

式（5）可化為

利用式（1）可得FIM遞歸式為

2 純方位跟蹤系統(tǒng)觀測平臺(tái)次優(yōu)機(jī)動(dòng)軌跡

在BOT系統(tǒng)中，F(xiàn)IM是反映觀測平臺(tái)機(jī)動(dòng)后對(duì)目標(biāo)信息提取的度量陣.隨著量測數(shù)據(jù)的增加，F(xiàn)IM陣的全局計(jì)算量呈指數(shù)型增長，同時(shí)也不適合實(shí)時(shí)控制；在工程應(yīng)用中，k時(shí)刻觀測平臺(tái)機(jī)動(dòng)模式控制策略的選擇更具有現(xiàn)實(shí)意義.

不失一般性，第一步先研究k到k＋1時(shí)刻（k＞1）的觀測平臺(tái)機(jī)動(dòng)軌跡.如圖1所示，設(shè)觀測平臺(tái)在時(shí)刻k位于O點(diǎn)，目標(biāo)位于A點(diǎn)，在k＋1時(shí)刻觀測平臺(tái)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，假設(shè)觀測平臺(tái)速度在一個(gè)采樣周期內(nèi)保持不變，即從k時(shí)刻到k＋1時(shí)刻速度Vw，k不變，采樣周期為T，則sk＝｜OB｜＝Vw，kT；記｜OA｜＝rk，｜BA｜＝rk＋1，現(xiàn)要確定觀測平臺(tái)在k時(shí)刻的航向Cw，k，使得當(dāng)前信息量最大.由于從k時(shí)刻到下一采樣時(shí)刻之前僅有前k時(shí)刻的量測方位，可假定一個(gè)采樣周期內(nèi)目標(biāo)近似不動(dòng)（仍位于A）.

圖1 觀測平臺(tái)與目標(biāo)的幾何態(tài)勢(shì)Fig.1 Geometric state of observer platform and target

依據(jù)貪婪法思想，盡可能使當(dāng)前信息最大，這里取最大化信息陣行列式增量為性能指標(biāo)，即可歸結(jié)為求解優(yōu)化問題：

經(jīng)推導(dǎo)得

下面給出k時(shí)刻觀測平臺(tái)航向的幾何描述.

觀測平臺(tái)在k時(shí)刻測得目標(biāo)角度βk；作以O(shè)為圓心，sk＝Vw，kT為半徑的圓（如圖2所示），作OD⊥OA交圓O于D點(diǎn)，連AD交圓于B點(diǎn)，則∠OAD＝αk.作OE⊥BD，容易看出∠DOE＝∠BOE＝αk，且αk＝βk－βk＋1，所以因此觀測平臺(tái)最優(yōu)軌跡為從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn).如果僅就當(dāng)前量測信息，關(guān)于觀測器與目標(biāo)瞄準(zhǔn)線對(duì)稱方向還有另一個(gè)機(jī)動(dòng)軌跡，由于這里的目標(biāo)是運(yùn)動(dòng)的，對(duì)于左右兩個(gè)機(jī)動(dòng)軌跡的選擇可通過所有量測方位信息給出判斷.

圖2 當(dāng)前時(shí)刻k的觀測平臺(tái)次優(yōu)機(jī)動(dòng)航向Fig.2 Optimal maneuver heading of observer platform at current time k

當(dāng)觀測平臺(tái)到達(dá)B點(diǎn)后，此時(shí)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，目標(biāo)在F點(diǎn)方位被測量.觀測平臺(tái)在進(jìn)行下一個(gè)機(jī)動(dòng)控制選擇時(shí)，當(dāng)采樣時(shí)間很小時(shí)，可繼續(xù)將目標(biāo)看作在F點(diǎn)不動(dòng).下面討論左右支機(jī)動(dòng)策略的選擇.

考慮n時(shí)刻累計(jì)信息陣：

由目標(biāo)與觀測平臺(tái)運(yùn)動(dòng)態(tài)勢(shì)，根據(jù)投影定理得

上式化簡可得

其中qm，k，qw，k分別為目標(biāo)和觀測平臺(tái)的舷角，左負(fù)右正（見圖2）.

當(dāng)觀測平臺(tái)與目標(biāo)互為右舷（sin qm，k，sin qw，k均為正值）時(shí)，此時(shí)0≤βk＋1－βk≤π；反之，當(dāng)觀測平臺(tái)與目標(biāo)互為左舷（sin qm，k，sin qw，k均為負(fù)值）時(shí)，此時(shí)－π≤βk＋1－βk≤0；由于這里主要考慮遠(yuǎn)距離目標(biāo)跟蹤，當(dāng)觀測平臺(tái)與目標(biāo)相對(duì)距離的變化率很小時(shí)，可忽略不計(jì)，因此，若觀測平臺(tái)與目標(biāo)同舷時(shí)，sin2（βiβj）取得最大值，也即max｛det［（~JToln）2×2］｝存在.

以圖3為例，當(dāng)目標(biāo)軌跡為P→A1→A2→A3→A4→A5時(shí)，運(yùn)用機(jī)動(dòng)策略可得觀測平臺(tái)1條次優(yōu)機(jī)動(dòng)序列：O→B1→B2→B3→B4→B5.這里目標(biāo)與觀測平臺(tái)互為左舷（－π≤qm，k，qw，k≤0）.同理可給出目標(biāo)與觀測平臺(tái)互為右舷的機(jī)動(dòng)序列.

圖3 觀測平臺(tái)機(jī)動(dòng)軌跡（－π≤qm，k，qw，k≤0）Fig.3 Observer platform maneuver trajectoryl（－π≤qm，k，qw，k≤0）

特別地，若目標(biāo)沿瞄準(zhǔn)線（LOS）走接近或遠(yuǎn)離觀測平臺(tái)的直線運(yùn)動(dòng)，可以找到觀測平臺(tái)2條次優(yōu)機(jī)動(dòng)軌跡.圖4給出當(dāng)目標(biāo)沿LOS航向走接近觀測平臺(tái)情形下觀測平臺(tái)2支次優(yōu)機(jī)動(dòng)航向.目標(biāo)軌跡為P→A1→A2→A3→A4→A5.左支：O→B1→B2→B3→B4→B5→B6.右支：O→D1→D2→D3→D4→D5→D6.

圖4 目標(biāo)走LOS航向時(shí)觀測平臺(tái)的2支機(jī)動(dòng)軌跡Fig.4 Two observer maneuver trajectories in LOS course

3 數(shù)值算例

給出最大化FIM行列式增量指標(biāo)下不同目標(biāo)初距、觀測平臺(tái)速度和采樣時(shí)間情形下最優(yōu)軌跡的形態(tài)變化.圖5為觀測平臺(tái)與目標(biāo)互為右舷情形下的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)機(jī)動(dòng)軌跡.其中：目標(biāo)初始坐標(biāo)（單位：m）（0，2 000），速度8m／s，航向5π／6；觀測平臺(tái)初始位置（0，0），速度15m／s；采樣周期T＝5s.圖6為觀測平臺(tái)與目標(biāo)互為左舷情形下的運(yùn)動(dòng)平臺(tái)機(jī)動(dòng)軌跡.其中：目標(biāo)初始坐標(biāo)（單位：m）（0，10 000），速度15m／s，航向7π／6；觀測平臺(tái)初始位置（0，0），速度20m／s；采樣周期T＝10s.

在方位率最大指標(biāo)下機(jī)動(dòng)軌跡與平臺(tái)速度無關(guān)，航向與瞄準(zhǔn)線垂直，信息提取以方位信息為唯一目的，這里信息包含距離信息和方位信息.從圖6可看出機(jī)動(dòng)軌跡隨觀測平臺(tái)速度的提高，向目標(biāo)靠近的速度相對(duì)也加快，反映了觀測平臺(tái)速度提高、機(jī)動(dòng)策略加強(qiáng)對(duì)目標(biāo)距離信息的提??；反之則更側(cè)重目標(biāo)角度信息的提取，使信噪比逐漸提高，增加信息量的獲取.

圖5 觀測平臺(tái)與目標(biāo)互為右舷Fig.5 Observer moves along starboard side of the target

圖6 觀測平臺(tái)與目標(biāo)互為左舷Fig.6 Observer moves along portside of the target

4 結(jié)論

純方位目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)觀測平臺(tái)的貪婪法機(jī)動(dòng)策略，利用當(dāng)前時(shí)刻的角度量測數(shù)據(jù)，選用當(dāng)前FIM行列式增量作為指標(biāo)，使得每一步選擇中都采取在當(dāng)前狀態(tài)下最好或最有利的機(jī)動(dòng)選擇.由于貪婪法的計(jì)算簡單以及所求得的結(jié)果比較接近最優(yōu)結(jié)果，所以得到的機(jī)動(dòng)控制策略更具有可操作性和實(shí)用性.傳統(tǒng)最大角度變化率絕對(duì)值指標(biāo)法，與相對(duì)距離和觀測平臺(tái)速度沒有關(guān)系，所以它更單一地以提高角度信息為主，當(dāng)量測容量達(dá)到一定飽和度時(shí)，濾波效果隨時(shí)間增加將趨于平緩.貪婪法機(jī)動(dòng)軌跡隨觀測平臺(tái)速度、目標(biāo)初始距離的變化而變化，在距離信息和角度信息側(cè)重性上保持一種平衡.速度越大，相對(duì)距離越小，則機(jī)動(dòng)策略越加強(qiáng)距離信息的提取，反之則更側(cè)重加強(qiáng)角度信息的提取.在短距離目標(biāo)跟蹤中，目標(biāo)和平臺(tái)幾何態(tài)勢(shì)以及距離因素對(duì)左右支策略選擇的影響是進(jìn)一步研究的問題.

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