劉謀斌，周 冉，邵家儒

(中國科學(xué)院力學(xué)研究所流固耦合系統(tǒng)力學(xué)重點實驗室，北京 100190)

在未充滿液體的容器內(nèi)，液體在外界激勵下的運(yùn)動稱為液體晃蕩(或晃動，sloshing)。實際工程中存在很多晃蕩現(xiàn)象，如載液貨船(航行中的大型原油貨輪(VLCC)、液化石油氣船(LPG)、液化天然氣船(LNG))、飛行中的火箭液體燃料艙、地震時核反應(yīng)爐和水庫等都涉及晃蕩問題［1］?；问幜黧w由具有輕重差異、互不相溶的2種流體組成(一般是氣液兩相流)，因此液體晃蕩的一個顯著特點是存在自由液面或運(yùn)動界面［2］。當(dāng)外界激振力振動幅度較大，或者激振力頻率與晃蕩系統(tǒng)固有頻率接近甚至一致時，容器內(nèi)的液體可能產(chǎn)生劇烈的振蕩并對承載容器產(chǎn)生巨大的沖擊壓力。液體晃蕩作為一類相當(dāng)復(fù)雜的運(yùn)動現(xiàn)象，已成為工程流體力學(xué)領(lǐng)域的一個基礎(chǔ)性與前沿性研究課題，具有極其重要的科學(xué)意義和工程應(yīng)用價值。

晃蕩研究最初是在航空航天與核工業(yè)領(lǐng)域里進(jìn)行，經(jīng)過幾十年的發(fā)展，已經(jīng)形成了三大類研究方法——理論研究、實驗研究和數(shù)值計算。近年來隨著計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)值模擬方法在晃蕩問題中得到了廣泛應(yīng)用，如有限元法、有限差分法、邊界元法及粒子法［3-4］等。Nakayama和Washizu［5］用有限元法計算了勢流的晃蕩問題。朱仁慶等［6］采用VOF(volume of fluid)法模擬了盛液容器內(nèi)液體的二維晃蕩。Faltisen［7］用邊界元法計算了矩形容器的液體晃蕩，考慮了非線性自由表面條件并引入人工黏性克服瞬態(tài)項的影響。

光滑粒子動力學(xué)SPH方法(以下簡稱SPH方法)最早是由Gingold等［8］以及Lucy［9］各自獨立地提出，最初用于模擬分析天體物理問題，是一種拉格朗日無網(wǎng)格粒子法［10］。它利用核函數(shù)對物理問題進(jìn)行近似處理，把連續(xù)的物質(zhì)空間離散到一系列無序分布的可運(yùn)動粒子上，用離散的粒子代替連續(xù)分布的流體，在模擬具有自由表面的液體晃蕩問題中，粒子是運(yùn)動的，可以有效捕捉液面的位置和運(yùn)動，處理大變形問題［11］。Iglesias等［12］用SPH方法對液艙晃蕩所產(chǎn)生的力矩幅值進(jìn)行了計算。崔巖等［13］運(yùn)用SPH方法對二維矩形水槽的縱蕩過程和縱搖過程進(jìn)行數(shù)值模擬，分析激勵頻率接近容器一階固有頻率時的晃蕩現(xiàn)象，討論縱蕩和縱搖綜合作用對流體運(yùn)動的影響。Shao等［14］應(yīng)用改進(jìn)的SPH方法研究了二維矩形水箱內(nèi)的液體晃蕩，結(jié)果顯示改進(jìn)的SPH方法能夠獲取光滑、準(zhǔn)確的壓力場，能有效模擬大幅度液體晃蕩。

筆者應(yīng)用SPH方法對棱形液艙內(nèi)的液體晃蕩問題進(jìn)行數(shù)值模擬，將計算結(jié)果與實驗結(jié)果進(jìn)行對比，并進(jìn)一步研究不同充液比、激勵頻率對晃蕩行為的影響。

1 SPH方法基本理論

在SPH方法中，計算域用一系列的粒子來描述，粒子是整個場變量近似的計算框架，每個粒子包含獨自的材料性質(zhì)如質(zhì)量、密度等，在內(nèi)外力的作用下按照守恒控制方程的規(guī)律運(yùn)動。傳統(tǒng)SPH方法對偏微分方程的近似由核近似和粒子近似2部分組成。核近似是對函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)函數(shù)進(jìn)行連續(xù)形式的近似，通過對函數(shù)本身與某個核函數(shù)之積的積分得到。粒子近似則是對粒子支持域內(nèi)的所有粒子加權(quán)求和。

SPH形式的控制方程為

式中:ρ——流體密度;t——時間;N——支持域內(nèi)的粒子數(shù);m——粒子質(zhì)量;v——粒子的速度;W——光滑函數(shù);p——壓強(qiáng);μ——動力黏性系數(shù);h——光滑長度;x——粒子的位置;g——重力加速度;rij——粒子i和粒子j之間的距離。

傳統(tǒng)的SPH方法精度較低，尤其是在粒子分布不均勻的區(qū)域(如邊界處粒子支持域被截斷)，不能準(zhǔn)確重構(gòu)二次和線性函數(shù)，甚至無法精確重構(gòu)一個常數(shù)，導(dǎo)致傳統(tǒng)SPH方法求解精度和穩(wěn)定性降低。筆者采用密度修正和核梯度修正改進(jìn)傳統(tǒng)SPH方法［14］。通過恢復(fù)核函數(shù)在粒子分布不均勻區(qū)域的歸一化性質(zhì)對密度進(jìn)行修正，使密度趨近初始密度，滿足不可壓流體的特性。核梯度修正在二維情況下可以表示為

式中:Vj——粒子j的體積。

基于核梯度修正的SPH算法具有二階精度，并且可以在不改變傳統(tǒng)SPH程序整體框架的條件下方便實施。

在SPH數(shù)值模擬中，對于固壁邊界很難像網(wǎng)格方法那樣嚴(yán)格實施。邊界上或鄰近邊界處粒子的支持域往往被邊界截斷，這些粒子通常只受到邊界內(nèi)粒子的影響，這種單邊影響作用會使誤差持續(xù)積累，影響最終的模擬結(jié)果。筆者應(yīng)用改進(jìn)的耦合動力學(xué)邊界法［15］，用兩類粒子完成整個固壁邊界的構(gòu)建。第1層虛粒子布置在邊界處，對于靠近邊界的流體粒子將產(chǎn)生排斥力。另2層虛粒子布置在固壁邊界外部，初始時刻即生成，且不需與內(nèi)部流體粒子關(guān)于邊界鏡像對稱，位置不需要隨時間推進(jìn)而改變。

2 棱形液艙液體晃蕩

圖1 棱形液艙模型示意圖(單位:mm)Fig.1 Model of prismatic tank(units:mm)

隨著海洋運(yùn)輸?shù)陌l(fā)展和能源需求的提高，棱形液艙被廣泛應(yīng)用于大型載液貨船儲液系統(tǒng)設(shè)計中。Mikelis等［16］在實驗中通過對棱形液艙施加橫搖及俯仰激勵，測量液體晃蕩對液艙側(cè)壁及頂部產(chǎn)生的沖擊壓力。液艙的晃蕩實驗滿足模型相似律，即幾何相似、運(yùn)動相似、動力相似、邊界條件相似及初始條件相似。實驗?zāi)Ｐ桶?∶40的比例制作，在液艙的側(cè)壁上布置壓力測試點。筆者采用二維模型，模擬和分析了有無內(nèi)部隔板時棱形液艙內(nèi)的液體晃蕩行為。圖1給出了液艙尺寸及文中計算工況所用到的壓力測試點布置。測點A、B、C分別距離液艙底部75 mm、113.5 mm、205 mm，壓力分別表示為P1、P2、P3。外加激勵為繞轉(zhuǎn)軸的橫搖運(yùn)動，轉(zhuǎn)軸距離艙底194 mm，激勵運(yùn)動方程為［17］

式中:θ0——最大轉(zhuǎn)角，取0.1 rad;ω——角速度。

2.1 不帶隔板棱形液艙液體晃蕩

筆者在2種工況下對不帶隔板的棱形液艙進(jìn)行數(shù)值模擬，追蹤壓力P1、P2、P3的時間歷程，并將模擬結(jié)果與實驗結(jié)果進(jìn)行對比。

工況1中，外界激勵周期T=1.517s，充液比h/H=0.33(H為液艙的高度)，水體粒子數(shù)為9330，總粒子數(shù)為11439。圖2給出t=3.0～4.5s約一個周期的液面形狀變化。在不同的激勵周期和充液比等參數(shù)影響下，液體晃蕩可以表現(xiàn)為多種復(fù)雜的形式。常見的液體晃蕩現(xiàn)象有駐波、行進(jìn)波、水躍以及組合波，還有可能在沖擊作用下表現(xiàn)出液體的翻卷和飛濺等強(qiáng)非線性現(xiàn)象。圖2直觀地顯示了液艙在橫搖激勵作用下較明顯的行進(jìn)波及輕微的飛濺現(xiàn)象。圖3為壓力P1、P2、P3的歷程與實驗結(jié)果對比，壓力的最大峰值及周期變化基本吻合，在時間上略有滯后可能是由于實驗數(shù)據(jù)選取時刻上的誤差所致。由圖3可知，壓力呈現(xiàn)雙峰特性，這是晃蕩過程中液體遲滯特性的典型表現(xiàn)。前一個峰值是由液體對艙壁沖擊產(chǎn)生的高脈沖壓力，具有瞬時性，主要發(fā)生在水躍或行進(jìn)波中;后一個峰值也是由沖擊產(chǎn)生的脈沖壓力，但是時間相對較長，峰值較小，主要是由于液體快速連續(xù)地作用在未被完全淹沒的艙壁，壓力具有連續(xù)性［17］。

圖2 工況1典型時刻的自由液面形狀變化Fig.2 Evolutions of free surface at typical time instants obtained from case 1

圖3 壓力P1、P2、P3的時間歷程Fig.3 Pressure time histories of three observation points，P1，P2，and P3

工況2中，外界激勵周期T=1.112s，充液比h/H=0.61，水體粒子數(shù)為19416，總粒子數(shù)為21525。圖4給出了t=3.0～4.1 s約一個周期的液面形狀變化?？梢钥吹皆诖蟪湟罕认?，由沖擊產(chǎn)生較劇烈的液體飛濺，并且模擬出液面的翻卷和碎波現(xiàn)象。圖5為P2的歷程與實驗結(jié)果的對比，壓力的最大峰值及周期變化趨勢基本吻合，在時間上略有滯后可能是由于實驗數(shù)據(jù)讀取時刻上的差異所致。通過與工況1中P2的對比，可以看到在大充液比情況下晃蕩劇烈，液體對艙壁產(chǎn)生較大的沖擊，壓力值明顯比工況1增大許多。

圖4 典型時刻工況2的自由液面形狀變化Fig.4 Evolutions of free surface at typical time instants obtained from case 2

2.2 帶隔板棱形液艙液體晃蕩

為進(jìn)一步研究液艙結(jié)構(gòu)對液體晃蕩特性的影響，筆者對帶隔板的棱形液艙液體晃蕩問題進(jìn)行了數(shù)值模擬。隔板布置在液艙的中部，隔板高度為95 mm，見圖1。其他參數(shù)與不帶隔板的工況1情況相同。

圖6為t=3.8～4.5 s約一個周期的速度矢量圖。通過與不帶隔板的情況(圖2)進(jìn)行對比，可知加設(shè)隔板后液體晃蕩幅度大幅度減弱，晃蕩較平穩(wěn)，沒有出現(xiàn)強(qiáng)烈的沖擊壁面以及飛濺等現(xiàn)象。圖7為P2歷程與不加隔板情況的對比，明顯看到加設(shè)隔板后的壓力值大幅度減小，并且雙峰特性基本消失，只有一個比較光滑平穩(wěn)的壓力峰值。由此表明，隔板的阻撓減緩了液體向另一側(cè)的流動，大幅度消除了液體對艙壁的沖擊作用，能夠有效地抑制液艙的晃蕩。在生產(chǎn)實際中，人們往往選用在艙內(nèi)加隔板，達(dá)到抑制晃蕩的目的。加設(shè)隔板不僅有防晃作用，而且不影響艙容，因此在生產(chǎn)實際中得到廣泛應(yīng)用。不過一些具體問題還應(yīng)當(dāng)具體分析，不能一概而論［18］。

圖5 P2壓力歷程Fig.5 Pressure time history at point P2

圖7 P2壓力歷程對比Fig.7 Comparison of pressure time histories at point P2under different conditions

3 結(jié) 語

應(yīng)用改進(jìn)的SPH方法對棱形液艙中的液體晃蕩現(xiàn)象進(jìn)行了數(shù)值模擬與研究。首先對棱形液艙在外加正弦激勵作用下的自由液面晃蕩進(jìn)行了數(shù)值模擬，研究不同激勵周期及充液比的液體晃蕩問題，模擬結(jié)果與實驗結(jié)果吻合較好，且能夠捕捉到壓力的雙峰特性及波浪翻卷、飛濺等復(fù)雜現(xiàn)象。另外，通過改變艙體結(jié)構(gòu)，對帶有隔板的棱形液艙進(jìn)行了研究，結(jié)果表明通過合理改變艙體結(jié)構(gòu)可以有效地抑制晃蕩現(xiàn)象。

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