淡 鵬，張定波，王 丹，李萬山

(1.宇航動(dòng)力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 軟件室，陜西 西安 710043;2.西安衛(wèi)星測控中心，陜西 西安 710043)

航天測控視景可視化技術(shù)為航天器在軌運(yùn)行狀況提供了直觀的表達(dá)方式，在航天飛行任務(wù)中得到了越來越多的應(yīng)用。而在眾多航天器中，三軸穩(wěn)定衛(wèi)星是數(shù)量較多的一類，因而此類航天器運(yùn)行場景的可視化繪制就顯得尤為重要。而對其進(jìn)行的可視化繪制中最基本的就是位置與姿態(tài)信息的呈現(xiàn)。而姿態(tài)數(shù)據(jù)相對位置信息而言，其形式眾多，變化多樣，實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜。文獻(xiàn)［1 ～6］對姿態(tài)數(shù)據(jù)繪制方法有一定涉及，但均較少給出了系統(tǒng)全面的介紹。為此，本文對三軸穩(wěn)定衛(wèi)星姿態(tài)信息各類常用表達(dá)方式及可視化建模技術(shù)進(jìn)行了研究，并基于三維視景系統(tǒng)常用的OpenGL 圖形庫［7］對其繪制過程進(jìn)行了可視化實(shí)現(xiàn)。

1 姿態(tài)繪制參考系與基準(zhǔn)坐標(biāo)系

在三軸穩(wěn)定衛(wèi)星姿態(tài)可視化繪制實(shí)現(xiàn)中，常用的參考系有:地心固連系、J2000 地心慣性系［8］、質(zhì)心軌道系、東南地坐標(biāo)系及衛(wèi)星本體系等。

(1)質(zhì)心軌道坐標(biāo)系OXOYOZo:坐標(biāo)原點(diǎn)位于衛(wèi)星質(zhì)心，ZO軸指向地心，YO軸垂直于軌道面，指向軌道角速度的負(fù)方向，XO軸由右手法則確定。

(2)東南地坐標(biāo)系OXEYSZD:坐標(biāo)原點(diǎn)位于衛(wèi)星質(zhì)心，ZD軸指向地心，XE軸在指向衛(wèi)星當(dāng)?shù)貣|，YS軸指向衛(wèi)星當(dāng)?shù)啬稀?/p>

(3)衛(wèi)星本體坐標(biāo)系OXBYBZB:此坐標(biāo)系與衛(wèi)星固連，原點(diǎn)為衛(wèi)星質(zhì)心，XB在縱對稱面內(nèi)指向衛(wèi)星頭部，ZB在縱對稱面內(nèi)與XB垂直且指向地，YB由右手法則確定。

為了便于對衛(wèi)星運(yùn)行整個(gè)場景中各類對象的繪制，在可視化實(shí)現(xiàn)中需要將一副場景內(nèi)各個(gè)對象的模型構(gòu)建和圖形繪制建立在統(tǒng)一的基準(zhǔn)坐標(biāo)系下。為此，本文采用地心固連系及J2000 地心慣性系作為可視化繪制的基準(zhǔn)坐標(biāo)系。在三維繪制中，對這兩個(gè)坐標(biāo)系的變換可近似于只考慮恒星時(shí)角的區(qū)別，即相互變換時(shí)只需繞Z 軸旋轉(zhuǎn)一角度(格林尼治恒星時(shí)角［8］)即可。

2 姿態(tài)繪制與建模

2.1 歐拉角姿態(tài)

三軸穩(wěn)定衛(wèi)星姿態(tài)數(shù)據(jù)常使用衛(wèi)星本體系相對姿態(tài)參考系的3 個(gè)歐拉角表示。對此類姿態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化繪制時(shí)，需通過兩次模型變換來完成，首先是可視化繪制的基準(zhǔn)系(地固系或地心慣性系)到姿態(tài)參考系的旋轉(zhuǎn)變換(設(shè)變換矩陣為MER)，其次是姿態(tài)參考系到衛(wèi)星本體系的旋轉(zhuǎn)變換(設(shè)變換矩陣為MRB)。完整的繪制基準(zhǔn)坐標(biāo)系到本體系變換矩陣為M=MRB·MER。

設(shè)當(dāng)前時(shí)刻衛(wèi)星姿態(tài)3 個(gè)歐拉角為:俯仰角θ、偏航角Ψ、滾動(dòng)角φ，則3－2－1 轉(zhuǎn)序下姿態(tài)參考系到本體系變換方法為:(1)繞z 軸旋轉(zhuǎn)Ψ。(2)繞y 軸旋轉(zhuǎn)θ。(3)繞x 軸旋轉(zhuǎn)φ。變換矩陣可用下式表示:MRB=RX(φ)RY(θ)RZ(Ψ)。

使用OpenGL 進(jìn)行可視化繪制時(shí)，此變換用齊次坐標(biāo)模型變換方法可表達(dá)為

需要說明的是，矩陣MRB2為使用OpenGL 繪制時(shí)采用的模型變換矩陣，與實(shí)際軌道姿態(tài)計(jì)算中進(jìn)行的坐標(biāo)變換的變換順序相反，具體可見文獻(xiàn)［9］中關(guān)于OpenGL 的視圖模型變換部分。即與變換矩陣MRB矩陣相乘順序不同。

具體可視化實(shí)現(xiàn)時(shí)，也可直接通過下面的OpenGL旋轉(zhuǎn)變換語句實(shí)現(xiàn):

另外，需注意的是歐拉角姿態(tài)有多種轉(zhuǎn)序的定義，除了3－2－1 轉(zhuǎn)序外，常用的還有3－1－2 轉(zhuǎn)序等，變換時(shí)需根據(jù)所用歐拉角具體的轉(zhuǎn)序定義進(jìn)行操作。當(dāng)使用3－1－2 轉(zhuǎn)序時(shí)，變換矩陣MRB可表示為MRB=RY(θ)RX(φ)RZ(Ψ)。

對繪制基準(zhǔn)坐標(biāo)系到姿態(tài)參考系的變換，根據(jù)參考系的不同而有所區(qū)別。在三軸穩(wěn)定衛(wèi)星姿態(tài)計(jì)算中較多使用的姿態(tài)參考系有質(zhì)心軌道坐標(biāo)系和東南地坐標(biāo)系等。

當(dāng)衛(wèi)星姿態(tài)建立在質(zhì)心軌道坐標(biāo)系下時(shí)，姿態(tài)模型變換計(jì)算可通過下面兩種方法實(shí)現(xiàn):

方法1 多次旋轉(zhuǎn)法。

若已知當(dāng)前點(diǎn)的軌道根數(shù)a，e，i，Ω，ω，M(分別為半長軸、偏心率、傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)、近地點(diǎn)幅角、偏近點(diǎn)角)，則可由M 和e 計(jì)算出真近點(diǎn)角f［7］，此時(shí)，地固系到姿態(tài)參考系變換方法為:(1)繞z 軸旋轉(zhuǎn)Ω－s(s 為當(dāng)前時(shí)刻零度經(jīng)線格林尼治恒星時(shí)角);(2)繞x軸旋轉(zhuǎn)i;(3)繞z 軸旋轉(zhuǎn)ω+f+π/2;(4)繞x 軸旋轉(zhuǎn)－π/2。變換過程可表示為

整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程可用OpenGL 語句表達(dá)為

方法2 轉(zhuǎn)換矩陣法。

若已知衛(wèi)星當(dāng)前J2000 慣性系位置rECI和速度，則根據(jù)質(zhì)心軌道系的定義，可得到其三軸方向在J2000 慣性系下的方向矢量分別為

則J2000 地心慣性系到質(zhì)心軌道坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣為MER=［xo，yo，zo］T。此時(shí)，以地固系為基準(zhǔn)系的姿態(tài)變換方法為:(1)繞z 軸旋轉(zhuǎn)－s(s 為恒星時(shí)角)將其變換成J2000 慣性系。(2)乘以變換矩陣M(需將其擴(kuò)充為4×4 的齊次旋轉(zhuǎn)矩陣)。以地心慣性系為基準(zhǔn)系時(shí)省略掉第一步變換即可。

變換過程用OpenGL 語句可表示為:

glRotatef(－s，0.0f，0.0f，1.0f);

glMultMatrixf(MER)

當(dāng)衛(wèi)星姿態(tài)參考系建立在東南地坐標(biāo)系下時(shí)，變換方法為:

方法1 多次旋轉(zhuǎn)法。根據(jù)三軸穩(wěn)定衛(wèi)星的位置坐標(biāo)可計(jì)算出位置矢量的赤經(jīng)α 和赤緯δ，則以J2000慣性系開始的姿態(tài)模型變換方法為(1)繞z 軸旋轉(zhuǎn)α;(2)繞y 軸旋轉(zhuǎn)－δ;(3)繞Z 軸旋轉(zhuǎn)π/2;(4)繞x 軸旋轉(zhuǎn)－π/2。用公式可表示為

方法2 轉(zhuǎn)換矩陣法。由位置矢量可得到東南地坐標(biāo)系三軸在J2000 慣性系下方向矢量分別為

其中，z=(0 0 1)T則J2000 慣性系到東南地坐標(biāo)系坐標(biāo)變換矩陣為MER=［xE，yS，zD］T，此時(shí)進(jìn)行繪制時(shí)，乘以變換矩陣MER即可。

2.2 四元數(shù)姿態(tài)

由Hamilton 發(fā)明的四元數(shù)［10－11］(Quaternio－n)是復(fù)數(shù)在四維實(shí)數(shù)空間的一個(gè)推廣，亦是衛(wèi)星姿態(tài)的一類重要的表示方法。

設(shè)一單位四元數(shù)為q=q0+q1i+q2j+q3k，其中q0為四元數(shù)的標(biāo)部，q1、q2、q3為其矢部，則由該單位四元數(shù)確定的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣為

據(jù)此即可對姿態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化繪制。

另一種方法是將四元數(shù)姿態(tài)轉(zhuǎn)換成歐拉軸角形式，設(shè)歐拉軸在參考系中的矢量為E，轉(zhuǎn)角為α，則四元數(shù)也可定義為

根據(jù)此定義公式，由四元數(shù)值可解算出單次旋轉(zhuǎn)的歐拉軸及轉(zhuǎn)角:轉(zhuǎn)角為α=2cos－1(q0)。當(dāng)α≠0 時(shí)，有旋轉(zhuǎn)軸矢量為

由該旋轉(zhuǎn)軸及旋轉(zhuǎn)角度調(diào)用OpenGL 旋轉(zhuǎn)語句即可簡單地對四元數(shù)姿態(tài)進(jìn)行可視化繪制。

2.3 其它姿態(tài)形式

除了常用的歐拉角、四元數(shù)表示形式外，常見的姿態(tài)描述方法還有歐拉軸/角式、方向余弦式等。

對歐拉軸/角姿態(tài)描述，其直接定義了旋轉(zhuǎn)軸及轉(zhuǎn)角，可直接調(diào)用OpenGL 的旋轉(zhuǎn)語句進(jìn)行繪制。而對方向余弦表示，可給出兩個(gè)坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換矩陣［8］，繼而調(diào)用OpenGL 的矩陣運(yùn)算語句進(jìn)行繪制。

2.4 姿態(tài)球繪制

三軸穩(wěn)定衛(wèi)星姿態(tài)可視化繪制的一種常用表達(dá)方式就是姿態(tài)球，其在深空探測等場合中有著廣泛應(yīng)用。

姿態(tài)球一般定義在慣性系下，對于四元數(shù)或歐拉角姿態(tài)，可由上述多次旋轉(zhuǎn)方法進(jìn)行三軸指向的繪制。也可計(jì)算出慣性系到本體系的轉(zhuǎn)換矩陣M，進(jìn)而得到衛(wèi)星三軸方向在慣性系下的方向矢量或各軸指向的赤經(jīng)、赤緯，即可進(jìn)行姿態(tài)球繪制。其中，x 軸矢量為X=M·［1 0 0］T;y 軸矢量為Y=M·［0 1 0］T;z 注矢量為Z=M·［0 0 1］T。

設(shè)x 軸單位矢量的3 個(gè)分量為X［0］、X［1］、X［2］，則x 軸赤經(jīng)為?=tan－1(X［1］/X［0］)，赤緯為δ=sin－1(X［2］)，y 軸、z 軸赤經(jīng)赤緯計(jì)算方法與之相似。

2.5 姿態(tài)運(yùn)動(dòng)建模

當(dāng)已知三軸穩(wěn)定衛(wèi)星的初始姿態(tài)以及本體系3 個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，對姿態(tài)變化過程進(jìn)行可視化建模和繪制時(shí)，就需通過數(shù)值積分計(jì)算變化過程各點(diǎn)的姿態(tài)信息。設(shè)衛(wèi)星三軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度矢量為。

此姿態(tài)角速度通常由安裝在衛(wèi)星上的陀螺儀進(jìn)行測量，其輸出值一般建立在慣性系下。

對于歐拉角姿態(tài)表示方式，3－2－1 轉(zhuǎn)序下的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為其中，MRB為參考系到本體系轉(zhuǎn)換矩陣;ωR為參考系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度［12］，據(jù)此式對各時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行積分求解即可。

需注意的是，歐拉角運(yùn)動(dòng)方程在θ=90°時(shí)存在奇點(diǎn)，這將給計(jì)算過程帶來困難。

此運(yùn)動(dòng)方程無三角函數(shù)，不存在奇點(diǎn)問題，方程形式也較為簡單，因而相比歐拉角姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程，其使用更為廣泛。

3 應(yīng)用效果

使用VC 編程工具及OpenGL 三維圖形庫進(jìn)行了三軸穩(wěn)定衛(wèi)星飛行過程的可視化繪制，所實(shí)現(xiàn)的原型軟件對姿態(tài)信息繪制效果如圖1 和圖2 所示。

圖1 衛(wèi)星姿態(tài)的可視化效果

圖2 姿態(tài)球繪制效果

4 結(jié)束語

本文對三軸穩(wěn)定衛(wèi)星姿態(tài)繪制與建模方法進(jìn)行了系統(tǒng)地分析，給出了不同形式下的繪制方法，原型軟件的繪制結(jié)果表明所給出的方法是可行的。由于三軸穩(wěn)定衛(wèi)星姿態(tài)信息有多種表達(dá)方式，根據(jù)衛(wèi)星任務(wù)的特點(diǎn)，其姿態(tài)參考系選取也可能不同，具體可視化繪制中需靈活選用合適的繪制方法。

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