趙云

（中國(guó)民航大學(xué)設(shè)備處，天津 300300）

不確定模糊系統(tǒng)的H∞魯棒動(dòng)態(tài)輸出反饋控制

趙云

（中國(guó)民航大學(xué)設(shè)備處，天津 300300）

研究不確定T-S模糊系統(tǒng)的H∞魯棒控制問(wèn)題，選取全局動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器，得到系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。在此基礎(chǔ)上，為方便運(yùn)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解，對(duì)矩陣進(jìn)行非奇異分解，將條件轉(zhuǎn)化為求解線(xiàn)性矩陣不等式的問(wèn)題，并進(jìn)一步通過(guò)變量之間的關(guān)系求得動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器的待確定矩陣。選取了全局動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器來(lái)研究不確定模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并考慮了加入外界干擾后，系統(tǒng)滿(mǎn)足H∞魯棒控制性能。最后的數(shù)值算例說(shuō)明方法的可行性與有效性。

不確定系統(tǒng)；動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器；線(xiàn)性矩陣不等式；H∞性能指標(biāo)

在工業(yè)建模過(guò)程中，非線(xiàn)性、不確定性是普遍存在的現(xiàn)象。T-S作為一種有效解決非線(xiàn)性問(wèn)題穩(wěn)定性的有效方法，自其提出以來(lái)，便取得了眾多學(xué)者的關(guān)注。在非線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的研究取得了巨大的成就。對(duì)于模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究主要為狀態(tài)反饋和輸出反饋的研究，然而，系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制律的應(yīng)用要求系統(tǒng)的狀態(tài)可測(cè)，所以對(duì)于狀態(tài)不可測(cè)的系統(tǒng)不適合運(yùn)用狀態(tài)反饋研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果用系統(tǒng)的輸出反饋可以達(dá)到閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，則更適合運(yùn)用輸出反饋的控制方式。目前的研究多為靜態(tài)輸出反饋控制，文獻(xiàn)[1-3]均為系統(tǒng)的輸出反饋控制。

動(dòng)態(tài)輸出反饋能夠動(dòng)態(tài)地把握系統(tǒng)的穩(wěn)定性，增加系統(tǒng)穩(wěn)定性的魯棒性。所以動(dòng)態(tài)輸出反饋控制的研究更具有實(shí)際意義。文獻(xiàn)[4]研究了一類(lèi)不確定離散模糊的H∞魯棒動(dòng)態(tài)輸出反饋控制；文獻(xiàn)[5]則研究了分布時(shí)滯系統(tǒng)的輸出動(dòng)態(tài)反饋鎮(zhèn)定問(wèn)題，運(yùn)用Lyapunov-Krasovskii泛函的構(gòu)造和解析技巧，建立了與時(shí)滯相關(guān)的控制器存在性判據(jù)；文獻(xiàn)[6]研究了不確定脈沖系統(tǒng)動(dòng)態(tài)輸出反饋H∞控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[5-6]均不是模糊系統(tǒng)，文獻(xiàn)[4]是模糊離散系統(tǒng)且動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計(jì)有所局限。本文在已有的理論基礎(chǔ)上，選取動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器，考慮不確定模糊連續(xù)系統(tǒng)的H∞控制問(wèn)題。通過(guò)對(duì)正定對(duì)稱(chēng)矩陣進(jìn)行非奇異分解，得到滿(mǎn)足系統(tǒng)穩(wěn)定性的線(xiàn)性矩陣不等式的充分條件。最后用數(shù)值算例驗(yàn)證了方法的可行性。

1 問(wèn)題描述

考慮到由模糊T-S模型所描述的不確定非線(xiàn)性系統(tǒng)：

第i條模糊推理規(guī)則：如果z1（t）是Fi1且z2（t）是Fi2……且zn（t）是Fin，則

其中：Fij（i=1，2，…，r，j=1，2，…，n）是模糊集合；r是模糊規(guī)則數(shù)；z1（t），z2（t），…，zn（t）是依賴(lài)可測(cè)量變量的前件變量；x（t）∈Rn是狀態(tài)變量；u（t）∈Rm是系統(tǒng)的控制輸入；z（t）∈Rl是系統(tǒng)的控制輸出；y（t）∈Rm是觀(guān)測(cè)變量；w（t）∈Rm是系統(tǒng)的外界干擾；Ai，Bi，B2i，C1i，C2i，Di，D1i，D2i是適當(dāng)維數(shù)的矩陣；ΔAi，ΔBi是適當(dāng)維數(shù)的矩陣，在系統(tǒng)模型中表示結(jié)構(gòu)不確定。

應(yīng)用單點(diǎn)模糊化、成績(jī)推理和中心加權(quán)反模糊化推理方法，得到全局模糊系統(tǒng)（1）模型

Fij（zj（t））是zj（t）關(guān)于模糊集Fij的隸屬函數(shù)，αi（z（t））滿(mǎn)足

假設(shè)假設(shè)不確定系統(tǒng)參數(shù)不確定的矩陣是模有界的，其形式為

其中：Mi，N1i和N2i是已知適當(dāng)維數(shù)矩陣；Fi（t）是未知函數(shù)矩陣，其每個(gè)元素是Lebesgue可測(cè)的函數(shù)，并滿(mǎn)足FiT（t）Fi（t）≤I，其中I是單位陣。

對(duì)于模糊系統(tǒng)（1），根據(jù)模糊平行分布補(bǔ)償算法（PDC），設(shè)計(jì)全局動(dòng)態(tài)模糊輸出反饋控制器如下：

模糊規(guī)則i：如果z1（t）是Fi1且z2（t）是Fi2……且zn（t）是Fin，則

將全局動(dòng)態(tài)模糊輸出反饋控制器（2）應(yīng)用到模糊系統(tǒng)（1），得到閉環(huán)系統(tǒng)（3）如下

引理1 對(duì)具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣D、E及對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣S，矩陣不等式[7]

成立的充要條件是，?ε＞0滿(mǎn)足下面的矩陣不等式

引理2 對(duì)具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣X，Y則?ε＞0，有下列不等式[8]

定義1 對(duì)任意非零w（t）∈L2[0，∞）成立，滿(mǎn)足

2 主要結(jié)論

本文的目的是設(shè)計(jì)全局動(dòng)態(tài)模糊輸出反饋控制器（2）使得系統(tǒng)（1）穩(wěn)定且滿(mǎn)足H∞控制。首先考慮系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，繼而根據(jù)矩陣的非奇異分解，將充分條件轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性矩陣不等式，以方便借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解。

定理1 對(duì)于給定的γ＞0，如果存在ε＞0和正定對(duì)稱(chēng)矩陣P滿(mǎn)足下列矩陣不等式，則閉環(huán)系統(tǒng)（3）魯棒漸近穩(wěn)定且滿(mǎn)足H∞控制性能

證明取Lyapunov函數(shù)V（ξ（t））=ξT（t）Pξ（t），首先考慮w（t）=0

由Schur分解可得

根據(jù)式（5）可得式（7）成立，所以式（6）成立。

下面考慮加入外界干擾后，系統(tǒng)（3）的H∞控制性能。取

根據(jù)引理1，上式小于0的充分必要條件是：?ε＞0，滿(mǎn)足下面的矩陣不等式

根據(jù)Schur分解可得式（5），由式（5）成立可得

同理，由（4）成立可得

由式（9）和式（10）易得J（t）＜0。

由J（t）=V˙（x（t））+zT（t）z（t）-γ wT（t）w（t）＜0，兩邊對(duì)t積分得

因?yàn)閂（x（t））＞0，所以

系統(tǒng)（3）滿(mǎn)足H∞控制性能。

定理2 對(duì)于給定的γ＞0，如果存在ε＞0，正定對(duì)稱(chēng)矩陣X、Y和矩陣滿(mǎn)足下列矩陣不等式，則存在全局動(dòng)態(tài)模糊控制器（2）使得模糊系統(tǒng)（1）魯棒漸近穩(wěn)定且滿(mǎn)足H∞控制性能。

i＜j=1，2，3，…，r，*表示相對(duì)位置的轉(zhuǎn)置矩陣。其中

更進(jìn)一步，全局動(dòng)態(tài)模糊輸出反饋控制器的待確定參數(shù)可以通過(guò)下式求得

其中S和M是非奇異矩陣，且滿(mǎn)足SMT=I-XY。

證明取Lyapunov函數(shù)V（ξ（t））=ξT（t）Pξ（t），先對(duì)矩陣P和P-1進(jìn)行如下分塊

其中：X，Y是對(duì)稱(chēng)矩陣。由PP-1=I易得更進(jìn)一步可得

對(duì)式（11）左右分別乘diag[F1-T，I，I，I，I]和diag [F1-1，I，I，I，I]可得式（15）。

因?yàn)橄铝芯仃囘\(yùn)算

由式（11）可得定理1中的式（4）成立。同理式（5）也成立。由定理1可得定理2成立。

3 數(shù)值算例

考慮不確定非線(xiàn)性模糊系統(tǒng)（1）取參數(shù)如下

根據(jù)式（13）和式（14），可以很容易得到動(dòng)態(tài)輸出控制器的待定矩陣

4 結(jié)語(yǔ)

本文在設(shè)計(jì)全局動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器的基礎(chǔ)上研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并在加入了外界干擾后，考慮了系統(tǒng)的H∞性能控制。通過(guò)運(yùn)用矩陣的非奇異矩陣分解，將給定的充分條件轉(zhuǎn)化成線(xiàn)性矩陣不等式，使得系統(tǒng)在穩(wěn)定的同時(shí)滿(mǎn)足H∞性能控制。對(duì)于狀態(tài)不可測(cè)的模糊系統(tǒng)，更適合運(yùn)用動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器，新得到的結(jié)論使得不確定模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性更具有魯棒性。最后的數(shù)值算例驗(yàn)證了方法的可行性。不足之處在于矩陣的非奇異分解要求相對(duì)高一些，因此對(duì)被控輸入有了一定的限制，今后應(yīng)在廣泛應(yīng)用方面進(jìn)行進(jìn)一步的研究。

[1]蘇成利，王樹(shù)青.一類(lèi)不確定模糊模型的輸出反饋魯棒預(yù)測(cè)控制[J].控制理論與應(yīng)用，2006，23（5）：768-772.

[2]李 麗，鞏長(zhǎng)忠.不確定模糊系統(tǒng)的輸出反饋控制[J].遼寧工學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，25（1）：17-22.

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[4]XU SHENGYUAN，LAM JAMES.Robust H∞control for uncertain discrete-time-delay fuzzy systems via output feedback controllers[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2005，13（1）：82-93.

[5]錢(qián) 偉，沈國(guó)江，孫優(yōu)賢.基于LMI的分布時(shí)滯系統(tǒng)輸出動(dòng)態(tài)反饋鎮(zhèn)定[J].控制理論與應(yīng)用，2009，26（4）：446-450.

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[7]佟紹成，王 濤，王艷平，等.模糊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析[M].北京：科學(xué)出版社，2004：269-302.

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（責(zé)任編輯：楊媛媛）

Robust H∞control for uncertain fuzzy systems via dynamic output feedback controller

ZHAO Yun
（Facility Division，CAUC，Tianjin 300300，China）

The problem of robust H∞control for a class of T-S uncertain fuzzy systems has been studied，as well as the sufficient conditions，which maintain the robust H∞control of the whole fuzzy systems based on the full order fuzzy dynamic output feedback controller.On this basis，the matrix is divided into two nonsingular matrices，and the sufficient condition is transformed into linear matrix inequalities（LMIs），in order to solve the question by software Matlab.What's more，the matrices of dynamic output feedback controller，which are to be determined，can be obtained by the relationship of matrices in sufficient conditions.The full order fuzzy dynamic output feedback controller is used to study the problem of stability for fuzzy uncertain systems，and the robust fuzzy H∞control problem is also discussed.Furthermore the final numerical example is included to show the effectiveness of the proposed method.

uncertain system；dynamic output feedback controller；linear matrix inequalities；H∞performance indicators

TP13

：A

：1674-5590（2014）01-0051-06

2012-09-22；

：2012-11-22

趙 云（1985—），女，河北邢臺(tái)人，實(shí)習(xí)研究員，碩士，研究方向?yàn)槟：刂?