吳志祥 ，周祥才 ，黃 亮 ，陳 功

（1.常州工學院 電子信息與電氣工程學院，常州213002；2.常州工學院 光電工程學院，常州213002）

溫度是表征物體冷熱程度的物理量，是工業(yè)生產(chǎn)和科學實驗中一個非常重要的參數(shù)。鉑電阻以其性能穩(wěn)定、測溫范圍寬、易標定及互換性好等特點，在溫度測量中得到了廣泛應用。國際溫標ITS－90中還規(guī)定，將特殊構造的鉑電阻作為-259℃～961.78℃標準溫度計來使用。

因鉑電阻的電阻值與溫度之間存在非線性關系，復現(xiàn)溫度時需要進行非線性運算，即“非線性校正”。非線性運算的基礎是分度函數(shù)或分度表[1-3]，是高精度測溫不可缺少的環(huán)節(jié)，方法多樣。應用牛頓迭代法對鉑電阻分度函數(shù)求解，二次迭代后即可獲得滿意的精度[4]，但迭代運算時間長，占用內存多。采用神經(jīng)網(wǎng)絡法對0℃～600℃測溫范圍分六段進行3次多項式擬合，誤差小于0.02℃水平[5]。通過根號運算的解析式由電阻值可求解溫度值[6]。對稱函數(shù)非線性法[7]，在0℃～150℃范圍內，誤差≤0.02℃。應用最小二次法，獲得了48℃～50℃范圍內，誤差≤0.05℃[8]。以及樣條插值法[9-10]等。采用非平衡電橋非線性校正方法[11]，則增加了電路復雜性。

高精度測控溫，通常為智能式數(shù)字儀表。其核心單元通常為單字節(jié)8位單片機。因此，研究鉑電阻與溫度值之間的簡易直接算法且占用內存少，頗有價值。

1 鉑電阻（PT100）非線性特性

Pt10、Pt100及Pt1000三種鉑電阻中，Pt100為最常用溫度復現(xiàn)元件。

在0℃～850℃范圍內，鉑電阻與溫度的關系為

式中：a＝3.90802×10－3/℃；b＝－5.80195×10－7/℃；R（100℃）/R（0℃）＝1.38500。因式（1）表達的是溫度與電阻值的關系，所以由電阻值求溫度值是求逆的過程。

設溫度上限量程tF對應的電阻值為RF，量程內溫度與電阻值為線性化，則非線性誤差為

對式（2）求導，并令為 0：

整理得：

對應 0～650℃、0～850℃溫區(qū)，非線性誤差最大溫度值點與電阻值分別為325℃/6.127 Ω與425℃/10.478 Ω，見圖1所示。折合非線性誤差約為27℃。

2 最小二乘法與權函數(shù)

離散數(shù)據(jù)點（xi，yi）（i=0，1，2，……，m），期望構造近似函數(shù)曲線S（x），描述這組數(shù)據(jù)的內在規(guī)律。即選取適當?shù)暮瘮?shù)類（集合）

圖1 0～650℃、0～850℃非線性誤差分布Fig.1 Non-linear errors distribution diagram within the range of 0～650℃ and 0～850℃

φ0，φ1，φ2，……，φn，是［a，b］上 n+1 個線性無關的連續(xù)函數(shù)。尋求一個函數(shù)

使 S*（x）與 y=f（x）在上述 m+1 個點上的偏差（殘差）

滿足

最小二乘法追求“平方差（殘差平方和）”最小。曲線擬合時，按其形態(tài)可選擇復合函數(shù)、增長函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)或邏輯函數(shù)等本質線性模型進行。但在程序編譯時，仍然采用泰勒級數(shù)等方法展開為多項式，故，惟有多項式最適用是程序運算。

多項式擬合時，提高多項式次數(shù)能改善擬合效果，但將導致方程病態(tài)。如采用分段擬合處理，可采用移動最小二乘法 MLS （moving least square）[13]提高擬合精度。

將式（1）按一定溫度值間隔點繪制t-R曲線，再對曲線進行R-t擬合。為方便程序運算，采用按溫區(qū)段進行擬合。考慮最大限度地逼近原函數(shù)曲線，或誤差分布伴隨原曲線呈對稱性，先令權函數(shù)ω（x）為“1”的定常數(shù)進行擬合。然后觀察誤差分布情況，調整權函數(shù)中對應節(jié)點的權重，重新擬合，如此反復，直至誤差分布接近對稱時結束。

3 鉑電阻多項式擬合

多項式可寫成乘積—相加的循環(huán)運算，占用內存小，運算速度快。

式中：t（r）為溫度值；r為實測鉑電阻值。 一旦測得了鉑電阻值，便可使用式（6）直接計算出對應溫度值。

鉑電阻測溫，通常把0～650℃稱為標準溫區(qū)段，650℃～850℃稱為擴展區(qū)段，而0～850℃稱為全局區(qū)段。為此，在本擬合中分三組進行擬合計算。

依據(jù)前述原理，利用數(shù)學計算工具軟件Matlab等，可求得多項式（7）各系數(shù)，如表1所示。

表1 正溫區(qū)三區(qū)段范圍3次、4次多項式系數(shù)表Tab.1 Cubic polynomial and quartic polynomial graph within three temperature ranges

全局區(qū)段，三次多項式最大絕對值誤差為0.1567℃，已滿足現(xiàn)場溫控之需要。四次多項式擬合后最大絕對值誤差為0.0249℃，可確保0.1℃精度的精確測溫之需。

標準區(qū)段，三次、四次多項式擬合最大絕對值誤差分別為0.0320℃與0.0024℃。四次多項式擬合可確保0.005℃計量測溫要求。

對于擴展區(qū)段，二次、三次多項式擬合最大絕對值誤差分別為0.0194℃與0.0053℃。

表1顯示，各區(qū)段三次多項式已能滿足絕大多數(shù)工程測溫精度需要。對于計量要求，可采用四次多項式運算。表1中擴展區(qū)段還顯示，采用最小二乘法擬合時，同樣的階數(shù)，區(qū)段范圍越小，精度越高。

為了更清楚地顯示擬合效果，顯示全局區(qū)段及標準區(qū)段的誤差分布情況，分別見圖2及圖3所示。

圖2 0～850℃溫區(qū)三次、四次擬合誤差分布Fig.2 Error distribution of cubic and quartic fitting within the range of 0～850 ℃

圖3 0～650℃溫區(qū)三次、四次擬合誤差分布Fig.3 Error distribution of cubic and quartic fitting within the range of 0～650 ℃

4 C語言與運算速度

以單片機或SOC（system on chip）為核心的智能儀器儀表中，現(xiàn)今廣泛采用C語言編程。C語言自身并無精度標準。實型變量分為單精度（float型）、雙精度（double 型）及長雙精度（long double型）3類。其中float型占用內存4個字節(jié)，運算速度最快。且SOC系統(tǒng)中，考慮內存較小的原因，幾乎全部采用float型運算。

為了方便起見，仍以標準版8051單片機12 MHz振蕩頻率為例，在Keil平臺用C語言驗算，對0～650℃的四次多項式擬合，將表1中各系數(shù)代入式（7）得具體算式（8），運算結果與EXCEL運算結果，如表2所示。

t（r）=-246.38931+（2.3723080+（9.0186775×10-4+

表2 C語言與EXCEL計算比較Tab.2 C language and EXCEL calculation comparison

電 阻 值 為 100.000 Ω、212.019 Ω 及 329.508 Ω時的程序擬合運算時間，分別為1470MT（Machine Period）、1487MT 和 1488MT。 可見式（7）運算的快速性。

表2還顯示了Keli C運算的正確性。

5 結語

這里對鉑電阻非線性函數(shù)求逆運算的常見方法及存在問題簡要總結后，采用最小二乘法調整權函數(shù)之方法，對鉑電阻正溫區(qū)按3種區(qū)段，進行了擬合運算，得到了三次、四次多項式系數(shù)，并給出了擬合運算誤差分布圖。在0～650℃溫區(qū)范圍內，應用四次多項式擬合運算，最大誤差僅為±0.003℃。多項式擬合運算，算式簡單明了，占用內存小，運算速度快，特別適用于采用C語言編程的單片機或SOC中。C語言采用單精度實型變量運算后的精度與速度，進一步證實多項式擬合的優(yōu)越性。文中給出的多項式系數(shù)，可直接用于鉑電阻測溫需要。多項式擬合方法亦可使用于熱電偶測溫中。

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