李永東，熊 濤，張 男

(1．裝甲兵工程學(xué)院機械工程系，北京100072;2．裝甲兵工程學(xué)院基礎(chǔ)部，北京100072)

層合柱是工程中廣泛應(yīng)用的一類典型復(fù)合材料。最簡單的傳統(tǒng)層合柱由2種不同的均勻材料粘接而成，在外載荷作用下，其界面附近往往存在應(yīng)力集中。當(dāng)應(yīng)力集中程度很高時，界面甚至可能出現(xiàn)開裂［1］。在這方面，學(xué)術(shù)界早已達(dá)成共識，認(rèn)為此類界面出現(xiàn)應(yīng)力集中甚至開裂的主要原因是材料性能參數(shù)在界面處不連續(xù)［2］。近年來，工程中設(shè)計制造出了功能梯度層合柱，其不同層的材料性能參數(shù)在界面處連續(xù)過渡，因而具有更高的抗界面開裂能力［3-4］。制造功能梯度層合柱的目的除了提高界面抗斷裂能力外，還可能是為了改善層合柱的某種性能。例如:在受摩擦作用的軸段表面噴涂功能梯度耐磨涂層，不但可以改善涂層與軸體之間的結(jié)合性能，還可以提高該軸段抵抗摩擦的能力。相對于傳統(tǒng)均勻材料而言，功能梯度材料的一大優(yōu)勢就是其可設(shè)計性。因此，為了提高功能梯度層合柱的界面結(jié)合性能，有必要對其開展斷裂力學(xué)研究，利用斷裂力學(xué)分析結(jié)果對其進行結(jié)構(gòu)與性能優(yōu)化設(shè)計。筆者等［5］對外覆功能梯度涂層的實心圓柱開展了斷裂力學(xué)分析，研究了徑向正應(yīng)力作用下的Ⅰ-Ⅱ混合型界面裂紋問題，得到了該圓柱的外覆功能梯度涂層優(yōu)化設(shè)計結(jié)果。對實際的層合柱界面而言，除了受徑向正應(yīng)力作用外，還可能會受軸向剪切作用。在軸向剪切條件下，功能梯度層合柱的界面具有怎樣的斷裂力學(xué)行為，如何對層合柱的功能梯度層進行優(yōu)化設(shè)計，在文獻［5］的基礎(chǔ)上，本文繼續(xù)研究軸向剪切條件下外覆功能梯度涂層實心圓柱界面的開裂問題，從材料性能參數(shù)分布和幾何尺寸選取2方面尋求較優(yōu)的設(shè)計結(jié)果。

1 理論模型

圖1為功能梯度圓柱形復(fù)合材料界面開裂的理論模型。該復(fù)合材料置于無限大剛性基體中，內(nèi)層為均勻?qū)嵭膱A柱，外層為功能梯度涂層，涂層內(nèi)、外半徑分別為r1和r2。在界面上有一條圓心角為2α的弧形裂紋，以復(fù)合材料橫截面圓心o為原點，令x軸通過裂紋中心，分別建立直角坐標(biāo)系和相應(yīng)的極坐標(biāo)系，則裂紋所占據(jù)的極角范圍為［-α，α］，且整個結(jié)構(gòu)關(guān)于x軸對稱。

假設(shè)圓柱和涂層分別為各向同性線彈性材料，則在軸向剪切條件下其本構(gòu)方程可統(tǒng)一表示為

圖1 功能梯度圓柱形復(fù)合材料界面開裂的理論模型

式中:i=1，2，其中1用于標(biāo)志圓柱中的量，2用于標(biāo)志涂層中的量;τ為切應(yīng)力;w為軸向位移;μ為剪切模量。圓柱為均勻線彈性材料，其剪切模量μ1為常數(shù)。涂層為功能梯度材料，其剪切模量沿厚度方向連續(xù)變化，假設(shè)為徑向坐標(biāo)r的冪函數(shù)［5］，則

式中:β為涂層的非均勻性參數(shù)，且無量綱。

軸向剪切條件下圓柱和涂層的平衡方程為

將式(1)代入式(3)，并考慮式(2)，可得控制方程為

式中:δ2i為Kronecker符號，當(dāng)其2個下標(biāo)相同時，值取1，否則取0。

在軸向剪切條件下，假設(shè)裂紋面上的等效切應(yīng)力為-τ0。由于圖1所示的斷裂問題關(guān)于x軸對稱，所以下面僅研究復(fù)合材料橫截面的上半部分。該問題的邊界條件和連續(xù)性條件為

2 奇異積分方程

考慮問題的對稱性，利用分離變量法［6］求解式(4)，可得滿足式(5)中定解條件的位移場的解為

將式(10)代入式(1)可得應(yīng)力場(略)。然后，將位移場和應(yīng)力場代入式(6)、(7)，可得

3 數(shù)值計算與討論

本文中，假設(shè)r1=30 mm，μ1=4．4 ×1010N/m2。在具體求解無量綱應(yīng)力強度因子的數(shù)值之前，需首先明確其計算精度。

3．1 計算精度

無量綱應(yīng)力強度因子的計算精度主要取決于無量綱核函數(shù)R(?，ζ)的計算精度和求積節(jié)點數(shù)m的取值。

本文中，R(?，ζ)為無窮級數(shù)，其無窮求和區(qū)間［1，+∞)在數(shù)值計算中被截斷為有限區(qū)間［1，N］，因此，R(?，ζ)的計算精度主要取決于N的取值。具體計算中需根據(jù) R(?，ζ)的收斂性選取N。當(dāng)ζ =-1，? =cos(3π/40)，α = π/6，β =2，r2/r1=1．2時，N對R(?，ζ)收斂誤差的影響如表1所示。可見:N=2 500時，R(?，ζ)的收斂誤差已小于1．0×10-5。在后續(xù)計算中，以 1．0 ×10-5作為 R(?，ζ)的收斂誤差，反過來確定具體計算中所需的N值。

求積節(jié)點數(shù)m的值需根據(jù)無量綱應(yīng)力強度因子的收斂性來選取。當(dāng) N=2 500，ζ=-1，? =cos(3π/40)，α = π/6，β =2，r2/r1=1．2時，m 對無量綱應(yīng)力強度因子收斂誤差的影響如表2所示。可見:當(dāng)m≥20時，無量綱應(yīng)力強度因子的收斂誤差已小于1．0 ×10-4。在后續(xù)計算中，以1．0 ×10-4作為無量綱應(yīng)力強度因子的收斂誤差，反過來確定具體計算中所需的m值。值得注意的是:為了減小計算中的累積誤差［3］，這里設(shè)定 R(?，ζ)的收斂誤差小于無量綱應(yīng)力強度因子的收斂誤差。

表1 N對R(?，ζ)收斂誤差的影響

表2 m對無量綱應(yīng)力強度因子收斂誤差的影響

3．2 幾何參數(shù)對無量綱應(yīng)力強度因子的影響

本節(jié)主要討論在中心圓柱半徑r1給定的條件下，功能梯度涂層厚度和裂紋中心角2方面的幾何因素對無量綱應(yīng)力強度因子的影響。分別以r2/r1和α作為相應(yīng)的幾何參數(shù)，它們對無量綱應(yīng)力強度因子的影響規(guī)律分別如圖2、3所示。

圖2 r2/r1對無量綱應(yīng)力強度因子的影響

圖3 α對無量綱應(yīng)力強度因子的影響

由圖1可知:當(dāng)r2/r1→1．0時，涂層厚度趨于0;當(dāng)r2/r1＞1．0時，其值越大，則涂層越厚。由圖2可見:隨著r2/r1從1．0開始增大，無量綱應(yīng)力強度因子逐漸增大。這一變化規(guī)律是由圖1中復(fù)合材料的約束方式?jīng)Q定的。由于固定邊界對其附近區(qū)域內(nèi)的裂紋存在屏蔽作用［7］，所以，當(dāng)圖1所示的復(fù)合材料置于剛性基體之中(即外表面固定)時，涂層越薄，則界面裂紋越靠近固定邊界，其所受的屏蔽作用越顯著，其無量綱應(yīng)力強度因子也會越小;反之，無量綱應(yīng)力強度因子會越大。由此可見:在外表面固定的條件下，圖1中的功能梯度涂層宜薄而不宜厚。

由圖3可見:1)無量綱應(yīng)力強度因子隨α的增大而增大，在r1給定的條件下，α越大，則界面裂紋越長，在其他條件不變的情況下，裂紋越長，則無量綱應(yīng)力強度因子越大，這是符合斷裂力學(xué)規(guī)律的;2)涂層厚度不同，無量綱應(yīng)力強度因子隨α變化的劇烈程度也不同，涂層越薄，無量綱應(yīng)力強度因子隨α增大得越緩慢。這再次表明:在外表面固定的條件下，圖1中的功能梯度涂層宜薄而不宜厚。

3．3 非均勻性參數(shù)對無量綱應(yīng)力強度因子的影響

圖4 非均勻性參數(shù)對無量綱應(yīng)力強度因子的影響(α=π/6)

當(dāng)α=π/6，功能梯度涂層的非均勻性參數(shù)β對無量綱應(yīng)力強度因子的影響規(guī)律如圖4所示，可見:β越大，無量綱應(yīng)力強度因子越小。根據(jù)式(2)，功能梯度涂層的剛度分布情況如圖5所示。顯然，當(dāng)β=0時，涂層為均勻材料;當(dāng)β＞0時，涂層內(nèi)側(cè)較軟而外側(cè)較硬;當(dāng)β＜0時，涂層內(nèi)側(cè)較硬而外側(cè)較軟。綜合分析圖4、5，可得出如下結(jié)論:當(dāng)涂層內(nèi)側(cè)較軟而外側(cè)較硬時，界面裂紋的無量綱應(yīng)力強度因子較低。因此，對于圖1所示的外表面剛性固定的功能梯度涂層復(fù)合材料，當(dāng)式(2)中的非均勻性參數(shù)選取相對較大的正值時，將有利于減小界面的斷裂驅(qū)動力。

圖5 功能梯度涂層的剛度分布情況

4 結(jié)論

針對外覆功能梯度涂層的圓柱形復(fù)合材料在軸向剪切作用下的界面開裂問題，本文通過斷裂力學(xué)分析得到了幾何參數(shù)和非均勻性參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果。即在涂層外表面固定的條件下，以下2種途徑都有利于預(yù)防界面開裂:1)降低涂層厚度;2)設(shè)計內(nèi)側(cè)軟而外側(cè)硬的涂層。本文僅僅研究了靜態(tài)工況下該類復(fù)合材料置入剛性基體中的情況，在實際工程應(yīng)用中，可能會存在其他的工況條件，其外表面也可能受到其他約束作用。在不同的工況和約束條件下，功能梯度涂層界面將具有不同的斷裂力學(xué)行為特征，相關(guān)規(guī)律尚需進一步研究。

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