李 琦

（中國農(nóng)業(yè)大學(xué)，中國 北京 100193）

伴隨人類認(rèn)識能力的提高，科學(xué)方法在不斷地克服歷史局限性和人類認(rèn)識能力局限性的基礎(chǔ)上朝前發(fā)展。在科學(xué)研究活動中，只有遵循一定的方法和原則才能獲得對自然界的深刻認(rèn)識，因此我們可以說科學(xué)方法是研究人類如何更有效認(rèn)識自然界的一門科學(xué)。數(shù)學(xué)方法作為科學(xué)方法中的重要組成，對科學(xué)研究活動有重大影響。每一次數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重大突破，都成為科技進(jìn)步的先導(dǎo)和基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)史上的里程碑也大多是科學(xué)發(fā)展史上的里程碑。

1 公元前6-17世紀(jì)數(shù)學(xué)方法的產(chǎn)生與演進(jìn)

16世紀(jì)，一種新的變換過程，即數(shù)學(xué)方法，被引入科學(xué)研究，使科學(xué)方法發(fā)生了變革，從而導(dǎo)致了近代科學(xué)革命。數(shù)學(xué)方法并不是某個時代特定的產(chǎn)物，而是隨著時間的積淀一步步發(fā)展成為重要的科學(xué)方法。在古代以直觀觀察和哲學(xué)思辨為主流的科學(xué)方法中，數(shù)學(xué)方法以處在萌芽狀態(tài)并不斷發(fā)展完善。

古希臘人繼承了古埃及和古巴比倫的輝煌文明，運用演擇推理的方法把幾何學(xué)的研究推進(jìn)到系統(tǒng)化、理論化的程度，比如泰勒斯幾何定理的證明和在測量金字塔高度上的運用。他的學(xué)生畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派繼承和發(fā)揚了泰勒斯的論證幾何學(xué)，并且將數(shù)學(xué)概念抽象化，進(jìn)一步推動了演繹數(shù)學(xué)的發(fā)展。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為數(shù)是萬物的本質(zhì)，有關(guān)數(shù)的理論構(gòu)成了他的數(shù)學(xué)哲學(xué)的核心。雖然畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)哲學(xué)產(chǎn)生了數(shù)學(xué)理性的萌芽，但仍屬于哲學(xué)思辨方法范疇。柏拉圖深化了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)理念，提出了“理念世界”的概念，主張通過數(shù)學(xué)了解現(xiàn)實世界，通過數(shù)學(xué)實現(xiàn)自己的目的。畢達(dá)哥拉斯與柏拉圖對數(shù)學(xué)的抽象理解和世界是按照數(shù)學(xué)理念構(gòu)成的信念，為后來數(shù)學(xué)方法的發(fā)展起了奠定性功用。亞里士多德提出了演繹推理的一般原則：三段論法，創(chuàng)立了非常嚴(yán)密的形式邏輯體系。歐幾里得的《幾何原本》便是在亞里士多德的基礎(chǔ)上，把數(shù)學(xué)從古埃及、古巴比倫時的一門經(jīng)驗科學(xué)轉(zhuǎn)變成了具有一般理論性程度的演擇科學(xué)。阿基米德將演繹方法和數(shù)學(xué)方法進(jìn)行了有效結(jié)合，為數(shù)學(xué)方法的崛起打下基礎(chǔ)。

由于古代科學(xué)和哲學(xué)是一體的，哲學(xué)思辨方法占主導(dǎo)地位，數(shù)學(xué)方法并未得到足夠重視，對于科學(xué)的推進(jìn)只是停留在淺層次上，還未形成強(qiáng)大的推動力。希臘時期之后中世紀(jì)數(shù)學(xué)進(jìn)入低谷期，到13世紀(jì)，文藝復(fù)興的思想解放運動把自然哲學(xué)從神學(xué)的迷霧中拯救出來，并第一次使它廣泛地服務(wù)于對自然界的研究。到了16世紀(jì)之后，科學(xué)家的數(shù)學(xué)觀更加鮮明一致：科學(xué)的本質(zhì)即數(shù)學(xué)，所有的現(xiàn)象都能用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述?！翱茖W(xué)工作的最終目標(biāo)是確立定量的數(shù)學(xué)上的規(guī)律”。

哥白尼提出日心說，用太陽取代地球位于宇宙的中心，然后以這一思想為基礎(chǔ)，構(gòu)建了一個全新的宇宙數(shù)學(xué)模型，用簡潔的方式詮釋了天體的運行。丹麥天文學(xué)家第谷曾試圖折衷哥白尼的日心說與托勒密的地心說，之后在第谷原有的觀察基礎(chǔ)上，德國天體物理學(xué)家開普勒應(yīng)用幾何方面的理論知識，將天體的結(jié)構(gòu)與行星運動的過程予以展現(xiàn)出來，運用了理論應(yīng)與觀測一致的科學(xué)方法論原則，證明了哥白尼天文學(xué)體系的正確性，并進(jìn)一步得出行星運動的三大定律，找到了一個更為簡單的世界體系。

伽利略把數(shù)學(xué)方法和實驗方法結(jié)合起來應(yīng)用于力學(xué)研究，取得了重大突破。他說：“盡管這些工匠懂得多，他們的知識并不真正是科學(xué)的，因為他們不熟悉數(shù)學(xué)，所以他們不能從理論上發(fā)展成果?！彼谝粋€把數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于力學(xué)研究，并創(chuàng)立了理想化方法。他把實驗方法與數(shù)學(xué)方法相結(jié)合，推翻了亞里多士德的力學(xué)結(jié)論，發(fā)現(xiàn)了鐘擺定律、慣性定律、落體定律等。它不僅在科學(xué)理論方面為牛頓做了奠基，更為牛頓的物理學(xué)實驗提供了系統(tǒng)的實驗-數(shù)學(xué)方法。他按照數(shù)學(xué)方式對自然現(xiàn)象進(jìn)行解釋，最后應(yīng)用實驗驗證所得的結(jié)論，獲得了運動的三大定律與萬有引力定律，建立起自己的理論體系，成就輝煌而卓著。

在化學(xué)、生命學(xué)等學(xué)科發(fā)展中，也可以看到數(shù)學(xué)方法的貢獻(xiàn)。比如赫爾蒙特的“柳樹實驗”就是運用實驗-數(shù)學(xué)的方法得出“萬物始于水”的結(jié)論，哈維運用定量試驗推翻了蓋倫的動脈吸收理論，提出了血液循環(huán)理論。

笛卡爾總結(jié)了數(shù)學(xué)方法在力學(xué)、天文學(xué)中應(yīng)用的成就，提出了方法論的四條基本原則，創(chuàng)立了數(shù)學(xué)一演繹法，并試圖將其推廣到一切領(lǐng)域。他用這種方法發(fā)現(xiàn)了動量守恒原理、慣性原理，創(chuàng)立了解析幾何。解析幾何的創(chuàng)立使數(shù)學(xué)發(fā)生了重大轉(zhuǎn)折。以強(qiáng)調(diào)實驗方法和歸納方法著稱的培根，實際上也注意到了數(shù)學(xué)方法在科學(xué)上所起的作用。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一門抽象化的科學(xué)，它以數(shù)量關(guān)系為研究對象，只有運用數(shù)學(xué)的方法才能表達(dá)和確定自然界的真理。他同時認(rèn)為實驗與數(shù)學(xué)在科學(xué)研究中并不是相對立的，而是具有十分密切的關(guān)系，其中數(shù)學(xué)方法具有重要地位。

經(jīng)過近代科學(xué)家和哲學(xué)家的努力，在17世紀(jì)末，確立了機(jī)械自然觀和實驗-數(shù)學(xué)的方法論，這也成為了近代科學(xué)區(qū)別于古代科學(xué)的標(biāo)志。由以上史論我們可以看出，隨著一種科學(xué)方法的產(chǎn)生與發(fā)展，科學(xué)方法之間不停地摩擦融合，可以推動新方法、新理論的產(chǎn)生，科學(xué)研究可以突破以往的桎梏取得新的進(jìn)展?？茖W(xué)的發(fā)展與科學(xué)方法的發(fā)展具有一致性，因此我們說一部科學(xué)史也是一部科學(xué)方法發(fā)展史。

2 數(shù)學(xué)方法發(fā)展對科學(xué)進(jìn)步的作用

數(shù)學(xué)方法與科學(xué)似一對孿生兄弟，相伴發(fā)展，密不可分。這種關(guān)系決定了數(shù)學(xué)方法對科學(xué)發(fā)展有舉重若輕的作用，它是科學(xué)產(chǎn)生的搖籃，為科學(xué)進(jìn)步披荊斬棘，不僅影響科學(xué)發(fā)展方向，直接推動科技進(jìn)步，還通過自我完善和發(fā)展進(jìn)一步促進(jìn)科學(xué)理論的發(fā)展。

數(shù)學(xué)方法是科學(xué)認(rèn)識的有效手段和工具，直接服務(wù)于科學(xué)認(rèn)識，每一次數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重大突破都成為科學(xué)進(jìn)步的基礎(chǔ)條件。其作用和地位主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

第一，幫助科研工作者發(fā)現(xiàn)新理論、提出新假說、作出新發(fā)明?？茖W(xué)研究是一項研究自然界中未知領(lǐng)域的活動，在研究假設(shè)是否成立、研究成果是否與假設(shè)一致等方面具有不確定性。因此科研人員需要應(yīng)用與研究問題相契合的科學(xué)方法，否則不僅不會有新發(fā)現(xiàn)，還有可能誤入歧途，得出與自然規(guī)律相悖的結(jié)論，從而阻礙科技的發(fā)展進(jìn)步。數(shù)學(xué)方法具有高度的抽象性和概括性、嚴(yán)密的邏輯性、高度的精準(zhǔn)性和廣泛的應(yīng)用度。這些特性決定了數(shù)學(xué)方法在揭示量與量關(guān)系時，其結(jié)果具有客觀實在性，并且還能深刻挖掘物質(zhì)結(jié)構(gòu)的層次性。

從歷史的發(fā)展進(jìn)程看，相較于其他學(xué)科，數(shù)學(xué)發(fā)展具有超前性，平面幾何和代數(shù)都取得了輝煌的成就，被直接應(yīng)用到實踐生活中，促進(jìn)了各領(lǐng)域的進(jìn)步。例如金字塔建造過程中應(yīng)用了豐富的幾何知識和精確的計算方法，阿基米德將數(shù)學(xué)方法和試驗方法結(jié)合起來極大地推動了物理學(xué)的發(fā)展。雖然古代的數(shù)學(xué)方法帶有超前性，但仍被歸類于自然哲學(xué)之中，帶有籠統(tǒng)、膚淺和直觀猜測性等特征。直到文藝復(fù)興之后，數(shù)學(xué)方法結(jié)束混沌狀態(tài)，徹底從神學(xué)束縛中解脫出來，并直接作用于科學(xué)研究活動。它使科學(xué)認(rèn)識集中于某一類問題上，使其成為一種目的性很強(qiáng)的認(rèn)識活動。這種相對穩(wěn)定和獨立的狀態(tài)直接推動了天文學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域科學(xué)理論的迅猛發(fā)展。例如牛頓利用微積分推導(dǎo)出了萬有引力定律，并糾正了開普勒定律中存在的錯誤；惠更斯用數(shù)學(xué)方法創(chuàng)立了離心力公式，很快成為發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的橋梁，牛頓稱其為“當(dāng)代最偉大的幾何學(xué)家”。

第二，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法從一學(xué)科領(lǐng)域到另一學(xué)科領(lǐng)域的移植。文藝復(fù)興后,近代科學(xué)的誕生和迅猛發(fā)展除了其他的社會因素外，研究方法的創(chuàng)新和發(fā)展也是一個重要因素。近代科學(xué)之所以能夠順利地從古希臘自然哲學(xué)中脫離出來，走上獨立發(fā)展的道路，數(shù)學(xué)-演繹方法功不可沒。從天文學(xué)、物理學(xué)到化學(xué)、生命科學(xué)，數(shù)學(xué)方法在多領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用成就了科學(xué)的欣欣向榮局面。

第三，推動了科學(xué)革命的成功。科學(xué)發(fā)展的歷史表明，一場科學(xué)革命的發(fā)生常常產(chǎn)生于科學(xué)方法的變革。當(dāng)科學(xué)方法與科學(xué)發(fā)展的本質(zhì)要求不符合時，便會產(chǎn)生“危機(jī)”。這種“危機(jī)”是原有理論無法克服的本質(zhì)上的矛盾。在危機(jī)時期，科學(xué)家運用故有的科學(xué)方法、理論無法解決矛盾，甚至加深矛盾，只有運用新的思維方式和方法才能推動科學(xué)認(rèn)識上質(zhì)的飛躍。哥白尼的理論證明中數(shù)學(xué)方法的運用拉開了解決中世紀(jì)科學(xué)危機(jī)的序幕，伽利略數(shù)學(xué)-實驗方法的推廣推動了物理學(xué)、化學(xué)、生命學(xué)等多領(lǐng)域的科學(xué)發(fā)展。這場科學(xué)革命也數(shù)學(xué)方法“脫胎換骨”，不僅包含舊方法中的積極成分，還經(jīng)過不斷地演繹、發(fā)展、結(jié)合，變成適合新范式的科學(xué)方法。

第四，它可以把哲學(xué)對科研活動的指導(dǎo)具體化、操作化。世界觀與方法論是一致的，有什么樣的世界觀就有什么樣的方法論。哲學(xué)是科學(xué)的深部基礎(chǔ)，它的作用在于為科學(xué)研究提供方法論,沒有哲學(xué)思維和邏輯范疇，科研活動難以深入。正如愛因斯坦所說的一樣，“相信有一個離開知覺主體而獨立的外在世界,是一切自然科學(xué)的基礎(chǔ)”。作為連接科學(xué)和哲學(xué)的橋梁，數(shù)學(xué)方法不僅輔助了科學(xué)研究，還推動了哲學(xué)的進(jìn)步。在《方法談》中笛卡爾指出數(shù)學(xué)演繹方法具有不可錯性，只要前提正確，結(jié)論必然正確。這個正確的前提便是懷疑一切，“我思故我在”。從這個命題出發(fā)，笛卡爾提出了物質(zhì)-心靈二元論，這也成為他科學(xué)研究的哲學(xué)基礎(chǔ)，為他在物理學(xué)原理方面的成就打下基礎(chǔ)。

綜上所述,無論從科學(xué)認(rèn)識的常規(guī)階段，科學(xué)認(rèn)識的革命階段,數(shù)學(xué)方法都體現(xiàn)出了自身價值和旺盛的生命力。雖然在許多社會科學(xué)分支沒有運用數(shù)學(xué)方法，這也并非表明不能應(yīng)用數(shù)學(xué)方法，只能說明還沒產(chǎn)生與之相適應(yīng)的數(shù)學(xué)工具。隨著學(xué)科建設(shè)的發(fā)展，越來越多的數(shù)學(xué)成果會找到應(yīng)用領(lǐng)域，數(shù)學(xué)方法會伴隨著科學(xué)的發(fā)展而不斷進(jìn)步，從而更有力的輔助科研活動。

［1］[美]莫里斯·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想(第一冊）[M].上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,P251.

［2］[英]斯蒂芬·S·梅森.自然科學(xué)史[M].上海譯文出版社.P142.