趙 林，魏 彤

（北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191）

磁懸浮軸承是一種阻尼和剛度主動(dòng)可控、非接觸的支撐方式，與機(jī)械軸承相比，具有無摩擦、高精度、長壽命的優(yōu)點(diǎn)[1]，近年來廣泛應(yīng)用于車床主軸等工業(yè)領(lǐng)域設(shè)備及飛輪、控制力矩陀螺等航天領(lǐng)域設(shè)備[2]。

準(zhǔn)確掌握系統(tǒng)模型是提高磁軸承系統(tǒng)的控制精度、穩(wěn)定性及可靠性的基礎(chǔ)。將自校正控制[3]等先進(jìn)的控制方法及干擾觀測(cè)器、前饋補(bǔ)償?shù)葦_動(dòng)抑制方法應(yīng)用于磁軸承系統(tǒng)可以提高磁軸承系統(tǒng)的控制精度及穩(wěn)定性，對(duì)磁軸承系統(tǒng)進(jìn)行故障診斷[4]和容錯(cuò)控制則可大幅度提升系統(tǒng)可靠性，這些方法均需要磁軸承系統(tǒng)的即時(shí)系統(tǒng)模型參數(shù)，而對(duì)磁軸承進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)是獲取系統(tǒng)模型參數(shù)的重要手段。

系統(tǒng)辨識(shí)的一般方法是基于某一種優(yōu)化準(zhǔn)則，對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)。系統(tǒng)辨識(shí)的優(yōu)化準(zhǔn)則包括最小方差準(zhǔn)則、廣義誤差準(zhǔn)則和輸出誤差準(zhǔn)則。以最小方差為準(zhǔn)則的方法，如極大似然法[5]、卡爾曼濾波[6]，以及以廣義誤差為準(zhǔn)則的方法，如最小二乘法 LS（least square）[7-8]、梯度校正法等，這些方法使用線性優(yōu)化方法，計(jì)算量小，在系統(tǒng)噪聲為白噪聲的情況下有較高精度。對(duì)于系統(tǒng)噪聲為有色噪聲的情況，極大似然法和上述算法的一些衍生算法，如自適應(yīng)卡爾曼濾波算法[9]、偏差補(bǔ)償最小二乘法[10-11]、廣義最小二乘法[12]等方法，在已知噪聲方差陣或者統(tǒng)計(jì)特性的情況下精度較高。但是，在磁軸承系統(tǒng)辨識(shí)中，噪聲特性會(huì)受溫度、濕度或輸入信號(hào)的頻譜寬度等各種因素的影響而發(fā)生變化，因此使用上述方法辨識(shí)精度會(huì)受到較大影響?；谳敵稣`差準(zhǔn)則的方法，由于輸出誤差與系統(tǒng)參數(shù)為非線性關(guān)系，往往將待辨識(shí)參數(shù)作為優(yōu)化參數(shù)，將輸出誤差的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，用最優(yōu)化算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，這種方法在不知道噪聲統(tǒng)計(jì)特性的情況下仍然有較高精度。由于在磁軸承系統(tǒng)辨識(shí)中，難以求出目標(biāo)函數(shù)對(duì)優(yōu)化參數(shù)的導(dǎo)數(shù)，傳統(tǒng)的優(yōu)化方法無法使用，而近年來發(fā)展迅速的現(xiàn)代智能算法不依賴于問題本身的數(shù)學(xué)性質(zhì)，可以解決這類最優(yōu)化問題?，F(xiàn)代智能算法通常分為單值優(yōu)化算法和群優(yōu)化算法，其中單值優(yōu)化算法中常用的方法有爬山算法、禁忌搜索和模擬退火等方法，這類算法較容易陷入局部最優(yōu)解；群優(yōu)化算法有遺傳算法GA（genetic algorithm）[13]、粒子群算法 PSO（particle swarm optimization）、蟻群算法 ACO（ant colony op timization）、人工蜂群算法 ABC（artificial bee colony）等，這類算法與單值優(yōu)化算法相比往往更易得到全局最優(yōu)解。這些算法中，“自適應(yīng)遺傳算法”具有最堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，應(yīng)用最為廣泛，并且可以有效降低標(biāo)準(zhǔn)“遺傳算法”中“早熟”現(xiàn)象出現(xiàn)的概率。

本文對(duì)磁軸承原理樣機(jī)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)實(shí)驗(yàn)，分別使用目前應(yīng)用廣泛的卡爾曼濾波和“自適應(yīng)遺傳算法”對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，后者辨識(shí)的準(zhǔn)確性大幅度提高，驗(yàn)證了方法的有效性。

1 單通道磁軸承系統(tǒng)模型

磁軸承系統(tǒng)單通道結(jié)構(gòu)原理如圖1所示。

圖1 磁軸承系統(tǒng)單通道結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Single-channel structure of the magnetic bearing system

本文中所使用的磁軸承系統(tǒng)采用不完全微分的PID控制器，其傳遞函數(shù)為

磁軸承系統(tǒng)中，功率放大器具有飽和非線性，當(dāng)輸入信號(hào)的頻率和幅值較小時(shí)，可以對(duì)其進(jìn)行近似線性化，等效為一階低通環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為

磁軸承轉(zhuǎn)子采用差分電流控制，轉(zhuǎn)子所受電磁力為

式中：k為與磁導(dǎo)率、線圈匝數(shù)及鐵芯橫截面積等有關(guān)的比例常數(shù)；I0為偏置電流；S0為名義氣隙。轉(zhuǎn)子位移較小時(shí)，可作近似線性化處理，將 F（i，x）在 F（0，0）處泰勒展開，僅保留一階項(xiàng)，得到軸承力的近似線性化表達(dá)式：

對(duì)應(yīng)的磁軸承系統(tǒng)軸向通道的系統(tǒng)框圖如圖2所示。由于辨識(shí)使用離散數(shù)據(jù)，采用雙線性方法對(duì)式

圖2 磁軸承軸向通道系統(tǒng)框圖Fig.2 Diagram of axialmagnetic bearing system

（5）離散化，離散傳遞函數(shù)仍為5階，得到：

利用圖2中輸入和輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)，首先辨識(shí)出系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)參數(shù)：

辨識(shí)出閉環(huán)系統(tǒng)參數(shù) θ0＝［a1，a2， …，a5，b1，b2，…，b5］T后，根據(jù)閉環(huán)和開環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系式 H（=進(jìn)一步計(jì)算出開環(huán)系統(tǒng)參數(shù) θ＝［d，d，）G12…，d5，b1，b2，…，，其中 di=ai-bi，i=1，2，…5，為自適應(yīng)控制、故障診斷等提供系統(tǒng)開環(huán)模型。雖然實(shí)際磁軸承系統(tǒng)的功率放大器、轉(zhuǎn)子環(huán)節(jié)具有一定非線性特性，當(dāng)轉(zhuǎn)子位移較小時(shí)，線性化后的模型基本可反映系統(tǒng)真實(shí)特性。

2 基于“自適應(yīng)遺傳算法”的磁軸承系統(tǒng)辨識(shí)方法

磁軸承系統(tǒng)各變量示意圖如圖3所示。以輸出誤差為準(zhǔn)則的系統(tǒng)辨識(shí)方法則是求出模型參數(shù)使得輸出誤差 e的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)最小，這里設(shè)為。

圖3 輸出誤差示意圖Fig.3 Schematic of output error

由圖3可得：

都是確定信號(hào)，而w是零均值隨機(jī)信號(hào)，通常假設(shè) w 和 y、?相互獨(dú)立，亦即

由于E（WTW）為僅與噪聲方差有關(guān)的常數(shù)，而（Y（Y-≥0，所以在 E（）取最小值時(shí)必然有YY，進(jìn)而有因此只要噪聲 W 和 Y、獨(dú)立統(tǒng)計(jì)，以輸出誤差為準(zhǔn)則的辨識(shí)方法辨識(shí)精度便不受噪聲有色特性影響。

各染色體的交叉概率和變異概率的計(jì)算公式為

其中：Pcmax、Pcmin、Pmmax、Pmmin分別為當(dāng)前種群最大、最小交叉概率和最大、最小變異概率；f′為參與交叉的兩個(gè)染色體的較小適應(yīng)度；f為變異染色體的適應(yīng)度。Pcmin和Pmmin與上一代的種群相同，而Pcmax和Pmmax的計(jì)算公式為

其中：Pc1、Pc2、Pm1、Pm2為進(jìn)化過程中的最大、次大交叉概率和最大、次大變異概率；Tmax為設(shè)定的最大遺傳代數(shù)；Ts為最優(yōu)個(gè)體適應(yīng)度連續(xù)不變的代數(shù)；Tc為控制參數(shù)。這樣，當(dāng)種群進(jìn)入停滯狀態(tài)時(shí)，適當(dāng)加大了種群的交叉概率和變異概率，從而增加了種群的多樣性，幫助種群盡快打破僵局，有效防止早熟。

3 實(shí)驗(yàn)

采用實(shí)驗(yàn)室自行研制的磁懸浮控制力矩陀螺系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，設(shè)備如圖4所示，主要包括：磁懸浮控制力矩陀螺、電源、電路板以及數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)等。輸入信號(hào)為M序列電壓信號(hào)，采樣頻率為1 kHz。

圖4 實(shí)驗(yàn)用磁軸承系統(tǒng)Fig.4 Experimentalmagnetic bearing system

磁軸承在長期運(yùn)行中隨著溫度、濕度等環(huán)境因素的變化以及其他影響因素的影響，其輸出端噪聲的頻譜寬度難以確定，因此在實(shí)驗(yàn)中在輸出端疊加不同頻帶寬度的噪聲信號(hào)，來驗(yàn)證在不同頻帶寬度的噪聲信號(hào)的影響下“自適應(yīng)遺傳算法”均有較高精度。其辨識(shí)結(jié)果如表1所示。

表 1 兩種算法對(duì)實(shí)際系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)果Tab.1 Identification results of two algorithms for the actual system

從表1可以看出，自適應(yīng)遺傳算法在噪聲頻譜寬度為10 rad/s和1000 rad/s時(shí)均有較高精度，而卡爾曼濾波算法由于頻譜寬度的增加辨識(shí)精度下降。

圖5為表1最后一組數(shù)據(jù)，即頻譜寬度為1000 rad/s時(shí)，系統(tǒng)輸出與卡爾曼濾波、自適應(yīng)遺傳算法辨識(shí)模型輸出的比較結(jié)果。從圖中可以看出，磁軸承系統(tǒng)輸出信號(hào)的數(shù)據(jù)點(diǎn)均勻分布在自適應(yīng)遺傳算法辨識(shí)模型輸出的兩端，而卡爾曼濾波辨識(shí)模型輸出與系統(tǒng)輸出之間有較大誤差，說明在這種噪聲的影響下卡爾曼濾波辨識(shí)結(jié)果有一定誤差，而自適應(yīng)遺傳算法仍然有較高精度，與仿真結(jié)果一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了方法在有色噪聲條件下該方法的有效性。

圖5 真實(shí)系統(tǒng)輸出與各辨識(shí)模型輸出比較圖Fig.5 Com parison chart between real system output w ith the identification model output

4 結(jié)語

現(xiàn)有的磁軸承系統(tǒng)辨識(shí)方法由于受有色噪聲干擾，辨識(shí)精度較低，無法滿足應(yīng)用要求。本文利用自適應(yīng)遺傳算法對(duì)此軸承系統(tǒng)模型進(jìn)行辨識(shí)，這種方法以輸出誤差均方根作為適應(yīng)度，在進(jìn)化過程中考慮了整體種群的進(jìn)化程度，使交叉概率和變異概率在停滯階段適當(dāng)增加，從而避免種群“早熟”。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，這種方法與具有較高辨識(shí)精度的“卡爾曼濾波”相比精度大幅度提高，充分驗(yàn)證了方法的有效性。

[1] R Amano，S Kamada，T Sugiura.Dynamics of a flexible rotor with circumferentially non-uniform magnetization supported by a superconducting magnetic bearing[J].IEEE Trans.Applied Superconductivity，2013，23（3）：2104-2107.

[2] B Han，S Zheng，X Hu.Dynamic factor models of a thrust magnetic bearing with permanent magnet bias and subsidiary air gap[J].IEEE Trans Magnetics，2013，49（3）：1221-1230.

[3] N S Gibson，G D Buckner.Real-time adaptive control of active magnetic bearings using linear parameter varying models[C]//in Proc.IEEE of 2002 Southeast Conf.，Columbia，SC，2002.

[4] R Gouws，G Schoo.A comparative study on fault detection and correction techniques on active magnetic bearing systems[C]//Proc.of 2007 Africon，Windhoek，2007.

[5] V B Tadic Analyticity，convergence，and convergence rate of recursive maximum-likelihood estimation in hidden markov models[J].IEEE Trans.Info.Theory，2010，56（12）：6406-6432.

[6] J Hu，X L Ding.Kalman-filter-based approach for multisensor，multitrack，and multitemporal InSAR[J].IEEE Trans Geoscience and Remote Sensing，2013，51（7）：4226-4239.

[7] C Gahler，R Herzog.Identification of magnetic bearing systems[C]//4th Int.Symp.on Magnetic Berings，ETH Zurich，1994.

[8] C G R Herzog.Multivariable identification of active magnetic bearing systems[C]//5th Int.Symp.on Magnetic Bearings，Kanazawa，1996.

[9]V Venkataraman，G L Fan，J P Havlicek.Adaptive Kalman filtering for histogram-Based appearance learning in infrared imagery[J].IEEE Trans Image Processing，2012，21（11）：4622-4635.

[10]K Ikeda1，Y Mogami1，T Shimomura1.Bias-compensated least squares method in closed loop enviornment estimation under coloured noise[C]//in Proc.2009 ICROS-SICE Int.Joint Conf.，F(xiàn)ukuoka，2009.

[11]A Bertrand，M Moonen，A H Sayed.Diffusion bias-compensated RLS estimation over adaptive networks[J].IEEE Trans.Sig.Processing，2011，59（11）：5212-5224.

[12]N Qiu，Q S Liu，Q Y Gao，et al.Combining genetic algorithm and generalized least dquares for geophysical potential field data optimized inversion[J].IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters，2011，7（4）：660-664.

[13]Ip，WH DingweiWang.Aircraft ground service scheduling problems and their genetic algo rithm with hybrid assignment and sequence encod ing scheme[J].Systems Journal，IEEE，2013，7（4）：649-651.

[14]任海艷，陳飛翔.自適應(yīng)遺傳算法的改進(jìn)及在曲線化簡中的應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2012，48（11）：152-155. ■