李云龍，何廣平

(北方工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，北京 100144)

平面2-DOF過驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)控制系統(tǒng)設(shè)計

李云龍，何廣平

(北方工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，北京 100144)

并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)控制器忽略了復(fù)雜的非線性動力學(xué)關(guān)系，因此控制器的實際性能往往有限。為此，以提高并聯(lián)機器人的操作精度為目標(biāo)，針對2-DOF并聯(lián)機構(gòu)，通過建立機構(gòu)的動力學(xué)數(shù)學(xué)模型及剛度矩陣，設(shè)計了計算力矩控制器?；谟嬎懔乜刂破鞯哪Ｐ陀捎诳紤]了非線性補償而極大地提高了其控制品質(zhì)。通過實驗將設(shè)計的控制器應(yīng)用到2-DOF并聯(lián)機構(gòu)，仿真和實驗結(jié)果驗證了算法的有效性和正確性。

過驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu);非線性動力學(xué)特性;計算力矩控制

過驅(qū)動機構(gòu)是指機構(gòu)中獨立驅(qū)動關(guān)節(jié)數(shù)目大于機構(gòu)自由度數(shù)目的一種并聯(lián)機構(gòu)。在并聯(lián)機構(gòu)中，采用過驅(qū)動的優(yōu)點體現(xiàn)在可以優(yōu)化輸入力、減小機構(gòu)關(guān)節(jié)間隙、消除機構(gòu)奇異點、提高機構(gòu)的容錯性能［1］。例如文獻(xiàn)［2］的研究結(jié)果表明:過驅(qū)動機構(gòu)能通過合適的非零內(nèi)力控制來消除機構(gòu)的結(jié)構(gòu)間隙，提高機構(gòu)的操作精度。過驅(qū)動機構(gòu)只存在于并聯(lián)機構(gòu)中［3］，采用過驅(qū)動技術(shù)，并聯(lián)機構(gòu)的力奇異問題能得到緩解或消除［3］，從而提高了系統(tǒng)的力操作性能。過驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)在工業(yè)領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛，例如并聯(lián)機床中［4］、仿生機械［5］和高性能戰(zhàn)機等。

目前，大多數(shù)機器人的控制器都采用運動學(xué)控制器。這類控制器忽略了各關(guān)節(jié)間的耦合關(guān)系和動力學(xué)特性，而并聯(lián)機構(gòu)的非線性動力學(xué)特性尤為突出，因而在并聯(lián)機構(gòu)的應(yīng)用中往往無法達(dá)到預(yù)期控制品質(zhì)。為此，非線性控制系統(tǒng)被提了出來，在非線性控制系統(tǒng)中，計算力矩控制是最簡單、有效的。它與PD控制相比，增加了內(nèi)環(huán)控制，完成了線性補償，使得并聯(lián)機構(gòu)系統(tǒng)跟蹤誤差小，抗干擾能力強。近些年，這一算法在機器人領(lǐng)域逐漸成為研究熱點。H CHENG等的研究結(jié)果表明:在高速下計算力矩控制的精度比PD控制要高得多［6］。L S GUO等將自適應(yīng)的計算力矩控制用于2-DOF并聯(lián)機械手的軌跡跟蹤［7］。據(jù)此，以平面2-DOF四分支過驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)為研究對象，根據(jù)拉格朗日方法建立其動力學(xué)模型。仿真和實驗結(jié)果表明，所設(shè)計的算法實現(xiàn)了滿意的控制品質(zhì)。

1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

如圖1所示，平面2-DOF并聯(lián)機構(gòu)擁有4條運動鏈，4條運動鏈結(jié)構(gòu)相同，各個運動鏈的一端用鉸鏈連接于一點，該點為末端執(zhí)行器，另一端與驅(qū)動電機相連，這端為驅(qū)動關(guān)節(jié)。機構(gòu)末端執(zhí)行器自由度數(shù)為2，而驅(qū)動關(guān)節(jié)數(shù)目為4，故該機構(gòu)為過驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)［10］。

由于該機構(gòu)具有中心對稱結(jié)構(gòu)，并聯(lián)機構(gòu)的Lagrange函數(shù)就等于4個運動鏈的Lagrange之和，故對一個運動鏈進(jìn)行動力學(xué)分析即可。圖2所示為并聯(lián)機構(gòu)簡圖，坐標(biāo)系XOY的原點位于正方形A1A2A3A4中心。機構(gòu)的8個連桿長度均為0.2 m，基座X、Y方向的間距均為0.4 m。

圖1 平面四分支過驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)實物

圖2 平面四分支過驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)簡圖

2 動力學(xué)方程建模

針對過驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)的特點，采用拉格朗日方法建立其動力學(xué)方程，拉格朗日方法是以系統(tǒng)動能和勢能建立動力學(xué)方程，其推導(dǎo)過程比較簡單，而且清楚地表示出各構(gòu)件的耦合特性。

設(shè)機構(gòu)的第i條分支鏈的2個連桿相對于重心的轉(zhuǎn)動慣量分別為Iai、Ibi，桿質(zhì)量分別為mai、mbi，rai是連桿AiBi重心到點Ai的距離，rbi是連桿BiC到點Bi的距離。由于平面機構(gòu)勢能為零，在建模過程中只考慮系統(tǒng)的動能，則該支鏈的拉格朗日函數(shù)為:

由于4個分支鏈的結(jié)構(gòu)相同，所以并聯(lián)機構(gòu)的Lagrange函數(shù)為:

記并聯(lián)機構(gòu)關(guān)節(jié)向量為q=［qa1qa2qa3qa4qb1qb2qb3qb4］T，關(guān)節(jié)力矩向量為τ= ［τa1τa2τa3τa4τb1τb2τb3τb4］。并將Lagrange函數(shù)式 (2)代入如下的Euler-Lagrange方程:

可以得到并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)模型為:

由并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)關(guān)系，可以得到如下的閉鏈約束方程:

求式 (5)關(guān)于時間的微商，可以得到并聯(lián)機構(gòu)的速度約束條件:

其中:A(q)是并聯(lián)機構(gòu)的速度約束矩陣。

在式 (4)的動力學(xué)模型上，加入約束內(nèi)力ATλ，可得:

式中:λ是一個未知乘子，代表了約束力的大小。

選擇并聯(lián)機構(gòu)末端執(zhí)行器坐標(biāo)qe=(x，y)作為并聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)模型的獨立變量，記q關(guān)于qe的速度雅克比矩陣為S，可知:

將式(8)代入式(6)，可以得到如下關(guān)系式:

由于式 (9)的為任意末端執(zhí)行器速度向量，故可推出AS為0矩陣，其轉(zhuǎn)置矩陣為:

用雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置ST左乘式(7)，將式(8)和式(10)代入式(7)，可以將并聯(lián)機構(gòu)的動力學(xué)模型簡化為如下形式:

記主動關(guān)節(jié)力矩為τa，記主動關(guān)節(jié)矢量關(guān)于末端qe的速度雅克比矩陣為J，可知STτ=JTτa，從而得到工作空間的動力學(xué)模型為:其中，J的定義為:

其中:Me=STMS表示工作空間的慣性矩陣;Ce=STM˙S+CS表示工作空間的科里奧利力與向心力矩陣。式 (12)所表示的動力學(xué)模型中僅含有兩個方程，而驅(qū)動力矩τa有4個獨立變量，因此驅(qū)動力矩τa的解不唯一。為了使得并聯(lián)機構(gòu)的控制輸入最小、運動控制更平滑，可采用歐式范數(shù)最小的驅(qū)動力矩作為解:

式中:(JT)+=J(JTJ)－1為矩陣JT的偽逆。

3 運動控制系統(tǒng)設(shè)計及實驗

3.1 控制系統(tǒng)及穩(wěn)定性分析

控制系統(tǒng)主要由上位控制計算機、四軸運動控制卡 (固高科技)、直流伺服驅(qū)動器和自帶光電編碼器的直流伺服電機四部分組成。計算機內(nèi)的PCI插槽嵌有四軸運動控制卡，計算機通過運動控制卡獲取機構(gòu)的當(dāng)前狀態(tài)和完成相關(guān)控制，同時記錄實驗數(shù)據(jù)。圖3為控制系統(tǒng)簡圖。

圖3 運動控制系統(tǒng)組成

控制系統(tǒng)中的控制器采用計算力矩控制算法［8，11］，用計算力矩設(shè)計控制方案的基本思路是:先引入控制:

這樣受控機構(gòu)方程為:

消去非線性項后化為:

因M是可逆陣，故上式轉(zhuǎn)化為一個解耦的線性定常系統(tǒng):

式中Kp和Kv均為正定矩陣，這樣閉環(huán)系統(tǒng)方程為

從而由Kp和Kv的正定性知 (e，˙e)=(0，0)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的平衡點，這就實現(xiàn)了全局穩(wěn)定的軌跡跟蹤。

針對平面2-DOF四分支過驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)控制算法計算如下:

3.2 計算力矩控制器仿真驗證

在MATLAB軟件的Simulink［9］模塊中，建立過驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)的物理模型和控制模型，運用控制模型驅(qū)動機構(gòu)運動，得到末端的仿真軌跡，并將其與理論期望軌跡相比較，從而驗證控制模型的正確性。

給機構(gòu)末端規(guī)劃圓軌跡運動:以 (0.06，0)為圓心，0.06 m為半徑的圓。圓軌跡的運動速度為0.2 m/s。圖4—6分別表示在計算力矩控制時圓軌跡的主動關(guān)節(jié)力矩輸出、主動關(guān)節(jié)角位移誤差和在操作空間末執(zhí)行器的軌跡誤差。

圖6 圓軌跡的跟蹤誤差

從所得到的仿真曲線圖中可以看出，并聯(lián)機構(gòu)在作圓周運動和正弦曲線運動時，末端運動比較平穩(wěn)，跟蹤誤差收斂于0。這說明，計算力矩控制可以消除機構(gòu)末端的軌跡跟蹤誤差及外部干擾的影響。

3.3 控制實驗及結(jié)果分析

搭建實驗平臺用于平面四分支過驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)的軌跡跟蹤控制實驗。實驗平臺如圖1所示，并聯(lián)機構(gòu)由4個直流伺服電機驅(qū)動，電機帶有光電編碼器進(jìn)行角度測量，用固高科技公司的運動控制卡 (GT-400-SV-PCI)完成伺服電機控制。實驗中的運動控制程序用Visual C++編寫，控制算法中包含數(shù)字濾波運部分，可執(zhí)行程序如圖7所示。

圖7 應(yīng)用程序

選取工作空間中的圓周軌跡作為并聯(lián)機構(gòu)末端執(zhí)行器期望運動軌跡規(guī)劃操作末端運行一個以 (0.06，0)為圓心、0.06 m為半徑的圓。圖8、圖9分別表示末端執(zhí)行器位置跟蹤曲線和軌跡跟蹤誤差。誤差產(chǎn)生的原因主要包括建模誤差、忽略了摩擦力、機構(gòu)間隙等。

圖9 圓軌跡的跟蹤誤差

圖8 圓軌跡的末端執(zhí)行器位置輸出

4 結(jié)論

針對平面2-DOF四分支過驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)進(jìn)行了動力學(xué)建模，將設(shè)計的控制算法應(yīng)用于平面2-DOF四分支過驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)，實現(xiàn)了圓軌跡實時控制。實驗結(jié)果表明:該控制系統(tǒng)相對于傳統(tǒng)PD控制［10］具有更好的軌跡跟蹤性能，實驗結(jié)果達(dá)到滿意精度。為了進(jìn)一步提高控制精度，可以在末端執(zhí)行器增加力傳感器和位置傳感器，形成全閉環(huán)控制系統(tǒng)。

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Control System Design for the Planar 2-DOF Overactuated Parallel Mechanism

LI Yunlong，HE Guangping
(College of Mechanical and Electrical Engineering，North China University of Technology，Beijing 100144，China)

In parallel mechanism kinematics controller，the complex nonlinear dynamics relationships are ignored，so the actual performance of the controller is often limited.For this，to improve the operation accuracy of parallel robot，aiming at the 2-DOF parallel mechanism，through establishing the dynamic mathematical model of mechanism and stiffness matrix，a computing torque controller was designed.Because in the model based on computing torque controller，nonlinear compensation was considered，so the control quality was enhanced greatly.The designed controller was applied to the 2-DOF parallel mechanism，simulation and experimental results verified the correctness and effectiveness of the algorithm.

Overactuated parallel mechanism;Nonlinear dynamics characteristic;Computing torque control

TH113

A

1001－3881(2014)9－029－4

10.3969/j.issn.1001－3881.2014.09.008

2013－03－27

北京市優(yōu)秀人才培養(yǎng)基金資助項目 (20051D0500201)

李云龍 (1984—)，男，研究生，主要研究方向為并聯(lián)機構(gòu)、運動控制等。E－mail:jd06063221@126.com。