烏云其木格，白旭芳

(內(nèi)蒙古民族大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼，028043)

近年來，人們提出了多種實現(xiàn)量子比特的方案，如離子阱［1］、核與電子自旋［2，3］、量子點［4］等等，其中量子點量子計算機方案由于其具有能級結(jié)構(gòu)可調(diào)，可以實現(xiàn)全光操作，便于實現(xiàn)量子比特的集成等優(yōu)點，有可能作為量子光學(xué)技術(shù)的基本單元，因此許多學(xué)者對這樣量子點量子比特進(jìn)行了研究，獲得了一系列重要結(jié)果。Jordan等［5］研究了固定Zeeman能量的單自旋量子比特的一致轉(zhuǎn)動，F(xiàn)uruta等［6］研究了聲表面波量子計算機的單量子比特門及測量，Li等［7，8］提出了利用外加電場來增加量子點量子比特消相干時間的方案。另外，由于大多數(shù)人工低維結(jié)構(gòu)是離子晶體或極性材料制備的，而且因維度的降低，使得低維結(jié)構(gòu)中電子-聲子相互作用變得更加重要。事實上，電子-聲子相互作用在決定低維系統(tǒng)一些物理性質(zhì)，如輸運性質(zhì)、光學(xué)性質(zhì)方面起著重要的作用［9，10］。因此，近年來許多學(xué)者對量子點中電子與聲子相互作用對量子比特的影響進(jìn)行了研究。Wu等［11］研究了與聲子耦合雙量子點中電荷量子比特動力學(xué)，Li等［12］采用Pekar型變分法研究了拋物量子點量子比特性質(zhì)的磁場效應(yīng)。Yu等［13］和Sun等［14］分別采用Pekar型變分法研究了單電子量子點量子比特。然而，不難看出，近年來人們對量子點中電子與聲子相互作用對量子比特的影響的理論研究中，大多都為了簡單起見把量子點當(dāng)作理想的球形來處理。實際上，量子點的形狀與生長條件有關(guān)，把量子點描述成其他形狀如柱形或薄盤也許更為準(zhǔn)確［15～17］。近年來，實驗上已能作出幾個分子層厚度的準(zhǔn)二維量子點［18］。顯然，對于約束在量子點內(nèi)電子-聲子相互作用體系而言，當(dāng)厚度不為零時，將導(dǎo)致體統(tǒng)基態(tài)和激發(fā)態(tài)形式的變化。因此，面對量子點存在厚度的客觀事實，研究量子點內(nèi)電子-聲子相互作用體系的性質(zhì)隨厚度的變化是有實際意義的基本問題。筆者采用Lee-Low-Pines-Huybrechts變分方法研究了外磁場、體縱光學(xué)(longitudinal optical，LO)聲子效應(yīng)和量子點厚度對量子盤中電子-LO聲子強耦合磁極化子的振動頻率和qubit的影響。

1 理論模型與方法

假定電子被限制在厚度為L的無限高勢壘量子盤內(nèi)，并與晶體中的體縱光學(xué)(LO)聲子場相互作用。建立直角坐標(biāo)系，Oz軸在盤的中心軸線上，x-y平面與盤中心軸線垂并通過盤的中點(圖1)。設(shè)外磁場沿z軸方向，矢勢用=B(－y，x，0)/2描寫，則電子-LO聲子相互作用體系的哈密頓量為

(1)式中第一項

為電子的能量。其中:mb，=(，z)和分別為電子的帶質(zhì)量，坐標(biāo)和動量;V()和V(z)分別表示量子盤x-y平面和z方向的限定勢，

其中:ω0為量子盤的橫向受限強度。根據(jù)文獻(xiàn)［19］和［20］的討論可知，當(dāng)z方向的限制比x-y方向的限制大得多的情況下，在z方向僅有最低的電子副帶被占據(jù)，則z方向與x-y平面沒有耦合，那么上述3D問題就可以精確的用一個2D問題來近似。

(1)式中第二項

(1)式中最后一項

是電子-LO聲子相互作用項，式中Vk為相互作用的傅里葉系數(shù)，

其中:v是晶體的體積，α為電子-LO聲子耦合強度，ε∞和ε0分別是高頻和靜態(tài)介電常數(shù)。

為了討論量子盤中磁極化子的效哈密頓量，首先，對電子x-y平面的動量和坐標(biāo)引入Huybrechts線性組合算符［21］

式中λ是變分參數(shù)。其次，再討論算符函數(shù)U－1HU2在|Ψ〉態(tài)中的期待值。按照變分原理

這里

是 Lee-Low-Pines(LLP)幺正變換［22］。其中，fk和是變分參數(shù)。

是磁極化子的試探波函數(shù)。其中:φl(z)，…)為電子 z方向的波函數(shù)，|0〉b為零聲子態(tài)，|0〉a為極化子基態(tài)，由bk|0〉b=0，aj|0〉a=0確定。

將式(1)～(7)和式(9)、(10)代入式(8)，可確定變分參數(shù)λ和fk()。其中λ滿足

利用這些變分參數(shù)可以算出磁極化子的基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)為

磁極化子的第一激發(fā)態(tài)能量和波函數(shù)為

其中:λ1，λ2是方程(11)對應(yīng)l=1，2的兩個根。由此，可以構(gòu)造一個二能級體系，當(dāng)電子處于這樣一個疊加態(tài) Ψ(z，t)=(Ψ1+Ψ2)/時，即構(gòu)成一個量子點量子比特。量子比特內(nèi)電子的幾率分布為

它隨時間t做周期性振蕩的周期T0為

2 結(jié)果與討論

為了直觀地了解外磁場、LO聲子效應(yīng)和量子盤量子尺寸效應(yīng)對強耦合磁極化子量子比特的影響，在此給出了數(shù)值計算結(jié)果，如圖1～圖3。圖中各量采用極化子單位(2mb==ωLO=1)。

圖1描述了磁極化子的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)振動頻率λ1(虛線)和λ2(實線)在不同受限強度ω0下隨回旋頻率ωc的變化(圖1(a))，不同耦合強度α下隨量子盤厚度L的變化(圖1(b))。由圖1可以看出，在相同ω0，λ1＞λ2，這表明當(dāng)體系處于基態(tài)時聲子被激發(fā)的幾率要比激發(fā)態(tài)大一些，這一結(jié)果符合物理實際，否則就發(fā)生所謂“粒子(聲子)數(shù)反轉(zhuǎn)”的反?，F(xiàn)象。另外，λ1和λ2隨ωc的增加而增大。這表明，外磁場導(dǎo)致電子-晶格的極化場加強，使電子與更多聲子相互作用，進(jìn)而導(dǎo)致磁極化子振動頻率的增大。由圖1(a)可以看出，ω0對λ1和λ2隨ωc的變化產(chǎn)生顯著影響，當(dāng)ωc給定時，λ1和λ2隨ω0的增加而增大，增大的幅度(即λ1～ωc和λ2～ωc曲線的斜率)隨ω0的增加而減小。這是因為，隨著量子點限定勢(ω0)的增大，以聲子為媒介的電子-聲子之間相互作用由于粒子運動范圍縮小而增強，使電子與更多聲子相互作用，導(dǎo)致磁極化子的聲子平均數(shù)增多。從圖1(b)可以看出，λ隨L的增加而減小。這是因為，隨著量子盤厚度的增大，電子熱運動和電子-聲子相互作用因粒子縱向運動空間的增大而減弱，致使磁極化子的平均聲子數(shù)減小，表現(xiàn)了量子盤奇特的量子尺寸效應(yīng)。從圖1(b)也不難看出，當(dāng)L給定時，λ1和λ2隨α的增加而增大。這是因為，α越大意味著電子-聲子相互作用越強，進(jìn)而導(dǎo)致磁極化子振動頻率的增大。

圖2描寫了量子比特振蕩的周期T0在不同受限強度ω0下隨回旋頻率ωc的變化(圖2(a))，不同耦合強度α下隨量子盤厚度L的變化(圖2(b))。由圖2(a)可以看出，T0隨ω0的增大而增加，T0隨ωc的變化規(guī)律受ω0的影響較大。當(dāng)ω0較小時，T0隨ωc的增加而先振蕩減小后振蕩增大;當(dāng)ω0較大時，T0隨ωc的增加而小幅振蕩增大。這是由于能級E1和E0隨ωc的增加而增大的幅度與ω0的大小有關(guān)所致。這表明，可以通過實驗來控制量子點的大小或外加電磁場來改變能級間距，從而得到滿足構(gòu)造量子比特要求的磁極化子能態(tài)。由圖2(b)可以看出，T0隨L的增加而增大，這是由能級差E1－E0隨L的增加而減小所致。另外，由圖2(b)還可以看出，電聲子相互作用對量子比特振蕩的周期T0的影響(虛線)不可忽略，電聲子相互作用將導(dǎo)致T0下降，T0隨α增加而減小。這是由于隨著耦合強度的增加，由于激發(fā)態(tài)的電子-聲子耦合的強度比基態(tài)的電子-聲子耦合的強度弱，使第一激發(fā)態(tài)與基態(tài)之間能級差增加，而造成振蕩周期的減小。

圖3描寫了量子比特內(nèi)電子的幾率分布ρ。(a)在不同受限強度ω0下隨磁場的回旋頻率ωc的變化(圖3(a));在考慮與不考慮電聲子耦合α?xí)r隨量子盤厚度L的變化(圖3(b));(c)不同縱向坐標(biāo)z下隨時間t的變化(圖3(c));不同時間t下隨縱向坐標(biāo)z的變化(圖3(d))。由圖3(a)可以看出，ρ隨ω0的增加而減小。對照圖2(a)與圖3(a)不難發(fā)現(xiàn)一有趣現(xiàn)象，ρ隨ωc的變化規(guī)律與T0隨ωc的變化規(guī)律恰好相反，即當(dāng)ω0較小時ρ隨ωc的增加而先振蕩增大后振蕩減小;當(dāng)ω0較大時ρ隨ωc的增加振蕩減小。由圖3(b)可以看出，ρ隨L的增加總體上是振蕩減小，這符合一般量子阱中粒子的幾率分布規(guī)律。不過從圖3(b)還可以看出，考慮與不考慮聲子效應(yīng)對ρ隨L的增加而起伏變化影響較大:當(dāng)不考慮聲子效應(yīng)(實線)時，ρ隨L的增加而小幅振蕩并迅速減小;當(dāng)考慮聲子效應(yīng)(虛線)時，電子的波動性加強，ρ隨L的增加而起伏增多并受電聲子耦合強度α影響顯著。從圖3(c)和圖3(d)可以看出，ρ不同縱向坐標(biāo)z下隨時間t以及在不同時間t下隨縱向坐標(biāo)z的變化呈現(xiàn)出顯著的量子效應(yīng)。

圖1 振動頻率λ在不同受限強度ω0下隨回旋頻率ωc的變化(a)，不同耦合強度α下隨量子盤厚度L的變化(b)虛線和實線分別表示基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的振動頻率

圖2 振蕩的周期T0在不同受限強度ω0下隨回旋頻率ωc的變化(a)，考慮與不考慮電子-聲子耦合時隨量子盤厚度L的變化(b)

3 結(jié) 論

本次研究采用Lee-Low-Pines-Huybrechts變分方法研究了外磁場、LO聲子效應(yīng)和量子點厚度對量子盤中電子-LO聲子強耦合磁極化子的振動頻率和qubit的影響。結(jié)果表明:(1)磁極化子基態(tài)的振動頻率大于激發(fā)態(tài)的振動頻率，λ隨ωc和α的增加而增大，隨L的增加而減小;(2)量子比特振蕩的周期T0隨受限強度ω0和量子盤厚度L的增加而增大，隨耦合強度α的增加而減小;(3)量子比特內(nèi)電子的幾率分布ρ隨ω0的增加而減小，隨L的增加振蕩減小;(4)T0和ρ隨ωc的變化規(guī)律相反且受ω0和α的影響顯著。

圖3 幾率分布ρ在不同受限強度ω0下隨磁場的回旋頻率ωc的變化(a);不同耦合強度α下隨量子盤厚度L的變化(b);不同縱向坐標(biāo)z下隨時間t的變化(c);不同時間t下隨縱向坐標(biāo)z的變化(d)

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