杜子平,張雪峰
(天津科技大學經(jīng)濟與管理學院,天津 300222)
兩類混合藤Copula模型的比較研究
——基于外匯資產(chǎn)投資組合VaR的研究
杜子平,張雪峰
(天津科技大學經(jīng)濟與管理學院,天津 300222)
本文以中國外匯市場上四種主要外匯資產(chǎn)的投資組合作為研究對象,基于Pair Copula高維建模思想,分別建立了兩類能真實反映資產(chǎn)組合相關結(jié)構(gòu)差異性的混合藤Copula模型,即混合C藤和混合D藤Copula模型。兩類混合藤Copula模型,對傳統(tǒng)的藤Copula模型作了進一步的改進,是通過一定的選擇標準,確定模型中每個Pair Copula函數(shù)的最優(yōu)函數(shù)族,這樣可以使得所建立的模型既能考慮資產(chǎn)組合維數(shù)的影響,又能捕捉到組合內(nèi)部各資產(chǎn)相關結(jié)構(gòu)的差異性。為了得到較優(yōu)的風險分析模型,在實證研究中,將兩類模型在資產(chǎn)組合VaR計算精度方面進行比較。
Pair Copula;混合C藤;混合D藤;VaR
資產(chǎn)組合的風險不僅受到單個資產(chǎn)收益率波動變化的影響,而且受資產(chǎn)間相關結(jié)構(gòu)的影響,這就為Copula理論的應用提供了基礎。Copula理論最大優(yōu)勢就是可以將金融資產(chǎn)的邊緣分布和相關結(jié)構(gòu)分開來研究,并且不要求邊緣分布具有相同的分布形式,所以,Copula理論在金融領域的應用非常廣泛。同時,VaR又是應用最廣泛的風險度量指標,其關鍵問題就是估計模型的構(gòu)建,但對于由多個資產(chǎn)所組成的資產(chǎn)組合,要建立其VaR估計模型非常困難,而上述Copula理論的優(yōu)點則可以很好地解決這個問題。
目前,將Copula理論運用于資產(chǎn)組合VaR的研究層出不窮:傅強等(2009)[1]將極值理論與Copula函數(shù)應用于資產(chǎn)風險研究及條件VaR估計;劉少華等(2011)[2]運用多元Copula函數(shù)對中國期貨市場的套利組合風險進行了研究;He等(2009)[3]基于Copula函數(shù)研究了銀行信用風險和市場風險綜合度量方法;Tang等(2010)[4]研究了公司信用風險和市場風險的相互影響。這些應用主要集中于橢圓類或Archimedean類Copula,橢圓類Copula是以單個參數(shù)來描述多維資產(chǎn)間尾部相關性,沒有考慮維數(shù)的影響,這與實際情況存在很大偏差;而Archimedean Copula所有的隨機變量都是等價的,只需單個生成函數(shù)就可以得到完整的Copula函數(shù),但現(xiàn)實中很難保證所有變量都服從特定類型的Archimedean Copula。
所以要建立符合實際的高維Copula模型,必須考慮局部相關結(jié)構(gòu)的差異性,基于此 Bedford和Cooke(2001,2002)[5,6]在Joe的基礎上提出了Pair Copula構(gòu)建(PCC)方法,它是利用基于條件獨立的簡單Pair Copula構(gòu)造模塊對復雜多元相關結(jié)構(gòu)進行建模,是將多元聯(lián)合密度函數(shù)分解為一系列Pair Copula及條件邊緣分布密度函數(shù)的積。這樣就可以使得所建立的模型不僅能考慮到資產(chǎn)組合維數(shù)的影響,又能夠捕捉到資產(chǎn)組合中局部相關結(jié)構(gòu)的差異性。本文主要研究兩類基于Pair Copula建模思想的高維Copula建模方法,即C藤與D藤,在此基礎上,考慮對模型中每一Pair Copula函數(shù)依據(jù)一定的標準選擇最優(yōu)的函數(shù)族,將傳統(tǒng)的兩類藤Copula建模方法改進為混合C藤及混合D藤Copula模型。這里,“混合”的含義主要是指對于每一組Pair Copula函數(shù)可以依據(jù)一定的標準選擇最優(yōu)的函數(shù)族。目前,在這方面的研究還不多見。
本文系統(tǒng)地介紹了兩類藤Copula模型的理論知識;并以中國外匯市場四種主要外匯資產(chǎn)作為實證分析對象,基于兩類混合藤Copula模型建立投資組合風險分析模型;并利用Monte Carlo模擬方法估計投資組合的VaR值;最后為了得到最優(yōu)的風險分析模型,運用Kupiec失敗頻率檢驗方法檢驗兩類預測模型的有效性,并作對比分析。
值得指出的是,對于兩類混合藤Copula模型中的Pair Copula函數(shù)本文以AIC準則作為函數(shù)選擇標準。
1.邊緣分布模型的建立及其參數(shù)估計
一般地,多資產(chǎn)投資組合的風險受到兩方面客觀因素的影響:單個資產(chǎn)收益率序列的波動變化及資產(chǎn)間的相關結(jié)構(gòu)影響。對于單個金融資產(chǎn)收益率分布的刻畫有很多種方法,如傳統(tǒng)方法所采用的t分布或正態(tài)分布,但t分布無法刻畫收益率序列的非對稱性,而且t分布的自由度參數(shù)的估計也比較困難,一般來說,刻畫實際中的金融資產(chǎn)收益率序列的t分布,其自由度通常不是整數(shù),這就給模型的建立帶來很大不便,若取其近似值則又會增加模型風險;另外,大量研究表明,金融資產(chǎn)收益率序列具有尖峰、厚尾、波動聚集性的特征,所以如果運用正態(tài)分布刻畫收益率序列則會損失大量的尾部信息,且在一定程度上會低估模型參數(shù)值。GARCH類模型是一類典型的條件異方差模型,是現(xiàn)代計量經(jīng)濟學研究的重點。GARCH類模型可以很好地刻畫單個金融資產(chǎn)收益率序列的波動聚集性等特征,是刻畫金融資產(chǎn)收益率序列強有力的工具。
考慮金融時間序列的高峰、厚尾特性,本文選用t分布噪聲驅(qū)動的GARCH模型來對單個資產(chǎn)收益率序列的條件邊緣分布建模。即用如下t-GARCH(1,1)模型:
式中,rt為資產(chǎn)收益率序列;Ωt-1為t-1時期的條件集;ηt為i.i.d自由度為v的t分布;μ,ω,α,β及v為模型參數(shù)。
極大似然估計法(MLE)在計量經(jīng)濟學模型參數(shù)的估計中應用非常廣泛,且大量研究表明,MLE方法對GARCH類模型參數(shù)的估計非常有效。所以本文運用該方法來估計上述GARCH模型的參數(shù)。
2.兩類混合藤Copula模型的建立及其參數(shù)的估計
要建立更精確、更科學的高維Copula模型,不僅要考慮邊緣分布的擬合優(yōu)度,還應考慮局部相關結(jié)構(gòu)的差異性。而Pair Copula建模方法很好地解決后者問題,Bedford和Cooke(2001,2002)[5,6]基于Pair Copula思想研究了一種被稱為正則藤的圖形化建模方法,但由于他們主要研究如何利用藤結(jié)構(gòu)建立復雜的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)模型,所以在Pair Copula的選擇上僅限于Gaussian Copula函數(shù)族。實際上,該建模方法對于Pair Copula函數(shù)族的選擇沒有要求,Aas et al.(2009)[7]的研究表明該方法可以推廣到任意的Pair Copula函數(shù)族,這就為本文的研究提供了理論基礎。本文主要研究對兩類特殊的正則藤——C藤和D藤作進一步的擴展,將其中的Pair Copula根據(jù)一定的選擇標準選擇最優(yōu)的函數(shù)族,建立高維混合藤Copula模型,并將其應用于中國外匯市場投資組合的實證研究。目前在這方面的研究還不多見。
Czado(2010)[8]的研究表明C藤和D藤可以通過簡單的條件遞歸來構(gòu)建。為了與后文的研究保持一致,圖1與圖2分別給出了傳統(tǒng)意義上的四維C藤與四維D藤結(jié)構(gòu):
圖1 四維C藤結(jié)構(gòu)
由圖1可知,C藤結(jié)構(gòu)中,樹Tj(j=1,2,3)中僅有唯一的節(jié)點連接到n-j條邊,其中,每條邊對應著一個Pair Copula密度函數(shù)。n維聯(lián)合分布的密度函數(shù)f (x1,x2,…,xn)在C藤下可分解為:
圖2 四維D藤結(jié)構(gòu)
圖2所示的為四維D藤結(jié)構(gòu),D藤結(jié)構(gòu)與C藤結(jié)構(gòu)有很大的不同,樹 Tj(j= 1,2,3)中的兩條邊,變成了Tj+1中的兩個節(jié)點,如果Tj中的這兩條邊共享同一節(jié)點,則在Tj+1中這兩個節(jié)點又被同一條邊連接。其中,Tj的每條邊也對應著一個Pair Copula密度函數(shù)。n維聯(lián)合分布的密度函數(shù)f(x1,x2,…,xn)在D藤下的分解式可表示為:
(1)式與(2)式中的j表示樹的標號,i遍歷每棵樹的邊。對于每個Pair Copula的構(gòu)建涉及到形如的條件邊緣分布,對于每一j,由式(3)可以求得其邊緣條件分布函數(shù)。有:
其中,υj是υ中任一分量,υ-j是υ中不含υj的向量,Cx,υjυ-j是二元Copula分布函數(shù)。當υ為一維變量時,有:
本文對于(1)式與(2)式中Pair Copula密度函數(shù)族的選擇標準采用AIC準則,因為,Brechmann(2010)[9]的研究表明對于二維Copula函數(shù)族的選擇,AIC準則是一個有效、可靠的選擇標準。以此為基礎,本文對傳統(tǒng)的C藤與D藤作了進一步擴展,建立兩類混合藤Copula模型。
對于兩類藤Copula模型的參數(shù)估計問題,本文借鑒Aas et al.(2009)[7]研究中使用的方法,即先運用ML單獨估計每個Pair Copula函數(shù)的參數(shù)值,稱之為參數(shù)估計初值;再將參數(shù)估計初值代入兩類藤結(jié)構(gòu)的對數(shù)似然函數(shù),并最大化對數(shù)似然函數(shù)值,從而得到參數(shù)估計終值。n維C藤的對數(shù)似然函數(shù)可表示為:
而n維D藤的對數(shù)似然函數(shù)可以表示為:
(4)式與(5)式中Θ為Pair Copula函數(shù)參數(shù)集。
在計算由多個資產(chǎn)(通常指3個及3個以上)組成的資產(chǎn)組合VaR時,由于VaR的顯性解析式很難表示,所以,本文借助于Monte Carlo方法,該方法的關鍵在于對Pair Copula分解模型的仿真技術,先通過分解下的Copula分布函數(shù)求出條件分布函數(shù)x2,…,xj-1),再生成服從該多元聯(lián)合分布的仿真序列(x1,x2,…,xn),具體過程為:
①隨機生成n個獨立的服從[0,1]均勻分布的序列{ωi,i=1,2,…,n};
②求出服從Pair Copula分解的聯(lián)合分布函數(shù)的仿真序列(x1,x2,…,xn):
其中每個條件分布函數(shù)Fn|1,2,…,n-1(xjx1,x2,…,xj-1)都可以由式(3)及某種類型的Copula函數(shù)求得。
得到服從Pair Copula分解的聯(lián)合分布函數(shù)仿真序列(x1,x2,…,xn)后,代入各資產(chǎn)的邊緣分布,進而可以得到n個資產(chǎn)在t+1時刻的仿真收益率序列Ri,t+1,i=1,2,…,n。由于本文將外匯資產(chǎn)收益率序列定義為Pi,t+1= lnPi,t+1-lnPi,t,其中,Pi,t表示第i個資產(chǎn)在t時刻的價格,則在t+1時刻,第i個資產(chǎn)的價格可表示為Pi,t+1= Pitexp(Ri,t+1),則由仿真收益率序列Ri,t+1可得第i個資產(chǎn)在持有期(t,t+1]內(nèi)的損失率為:
給定置信度1-α,則由損失Lt+1的經(jīng)驗分布可求出投資組合的VaR為:,其中表示在持有期(t,t+1]內(nèi)、1-α置信度下的VaR值。
為了驗證所求得的資產(chǎn)組合VaR的有效性,本文運用Kupiec失敗率檢驗方法:記實際損失超過VaR為失敗,反之為成功。假定估計VaR的置信度為P*,實際考察天數(shù)為T,失敗天數(shù)為N,則失敗概率P的頻率估計為N/T,則對于VaR估計模型有效性的檢驗可以轉(zhuǎn)化為對于失敗概率P是否顯著不同于P*的檢驗。Kupiec給出了該檢驗最合適的極大似然統(tǒng)計量:
在該檢驗成立的條件下,統(tǒng)計量LR服從自由度為1的卡方分布。
本節(jié)選取中國外匯市場上四種外匯匯率:美元/人民幣(USD/CNY)、港幣/人民幣(HKD/CNY)、100日元/人民幣(100JPY/CNY)、歐元/人民幣(EUR/CNY)作為實證分析對象。考察的時間范圍為2006.1.11-2012.11.6,每組匯率共有1660個有效數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)來源于中國貨幣網(wǎng)。同時,將價格{Pt}定義為每日收盤價,收益率定義為Rt=lnPt+1-lnPt。其描述性特征如表1。
表1 樣本收益率序列的統(tǒng)計特性
由表1中的J-B統(tǒng)計量可以看出,四個對數(shù)收益率序列均不服從正態(tài)分布;另外,從偏度與峰度也可以看出該四個對數(shù)收益率序列具有明顯的高峰、厚尾特征,且呈現(xiàn)出一定的非對稱性。對各對數(shù)收益率序列進行ARCH-LM檢驗,發(fā)現(xiàn)它們都具有明顯的ARCH效應,故可以運用t-GARCH(1,1)模型擬合四個外匯資產(chǎn)對數(shù)收益率序列,本文置信水平取為95%。運用Matlab軟件得到各序列邊緣分布的參數(shù)估計值,如表2。
表2 對數(shù)收益率序列邊緣分布參數(shù)估計值
得到邊緣分布的參數(shù)估計值后,提出其標準化殘差序列。為了檢驗邊緣分布的擬合優(yōu)度,對標準化殘差序列進行概率積分變換,同時,對變換后的序列進行K-S檢驗,K-S檢驗方法是檢驗變換后的序列是否服從(0,1)上的均勻分布來判斷對邊緣分布的建模是否正確,通常,先檢驗概率積分變換后的序列是否獨立,再檢驗變換后的序列是否服從(0,1)上的均勻分布。本文檢驗的結(jié)果表明經(jīng)過概率積分變換后的標準化殘差序列均服從[0,1]上的均勻分布,說明所建立的t-GARCH(1,1)模型能很好地擬合各外匯資產(chǎn)對數(shù)收益率序列。
為了表述方便,分別記USD/CNY、HKD/CNY、100JPY/CNY及EUR/CNY為1、2、3及4,并分別用混合C藤及混合D藤Copula模型描述由該四個外匯資產(chǎn)所組成的投資組合的相關結(jié)構(gòu),模型結(jié)構(gòu)如圖1和圖2。運用第二節(jié)所述的參數(shù)估計方法估計兩類混合藤Copula模型的參數(shù)值。值得指出的是,對兩類混合藤結(jié)構(gòu)中的每個Pair Copula函數(shù)族的選擇擴展到以下五種:Gaussian Copula、tCopula、Gumbel Copula、Clayton Copula及FrankCopula。兩類混合藤Copula模型中所有Pair Copula的函數(shù)族、參數(shù)估計初值、終值、模型對數(shù)似然函數(shù)及AIC、BIC值如表3及表4所示。
表3 混合C藤Copula模型參數(shù)估計值、對數(shù)似然函數(shù)及AIC、BIC值
表4 混合D藤Copula模型參數(shù)估計值、對數(shù)似然函數(shù)及AIC、BIC值
由表3及表4可知,在參數(shù)估計終值下的兩類混合藤Copula模型的AIC值均小于模型在參數(shù)估計初值時的AIC值,說明模型在參數(shù)估計終值下的擬合度有了一定程度地提高。
至此,兩類混合藤Copula模型的結(jié)構(gòu)及參數(shù)估計值已經(jīng)確定,為了驗證兩類模型對中國外匯市場四種外匯資產(chǎn)投資組合相關結(jié)構(gòu)描述的準確性,進而確定較優(yōu)的模型結(jié)構(gòu),先基于兩類混合藤Copula模型估計投資組合的VaR,再利用Kupiec失敗率檢驗方法檢驗模型的預測結(jié)果。
估計由多個資產(chǎn)組成的投資組合VaR一般需借助于第三節(jié)所描述的Monte Carlo方法。分別基于兩類混合藤Copula模型模擬10000次,得到10000組t+1時刻的各外匯資產(chǎn)收益率模擬值。則資產(chǎn)組合的模擬收益率為其中ωi為各外匯資產(chǎn)在t+1時刻的投資權重,且。本文假定投資總額為4,且等權重投資于中國外匯市場四種外匯資產(chǎn),分別計算基于兩類混合藤Copula模型的該投資組合在95%置信水平下的VaR值。同時,對樣本區(qū)間內(nèi)前1000天的95%VaR估計結(jié)果進行Kupiec失敗率檢驗,并由式(6)計算統(tǒng)計量LR。計算及檢驗結(jié)果如表5所示。
表5 兩類混合藤Copula模型下資產(chǎn)組合的VaR值及檢驗結(jié)果
由第三節(jié)可知,利用Kupiec失敗率檢驗VaR估計模型有效性,可以轉(zhuǎn)化為對失敗概率P是否顯著不同于置信水平P*的檢驗。當該檢驗成立時,則統(tǒng)計量LR服從自由度為1的卡方分布,而自由度為1的卡方分布在95%置信水平下的臨界值為3.8415。由表5可知,混合C藤Copula模型下的統(tǒng)計量LR小于該臨界值,因此,混合C藤Copula模型通過了檢驗,說明基于混合C藤Copula模型的VaR預測結(jié)果是有效的;而混合D藤下的統(tǒng)計量LR大于該臨界值,說明混合D藤Copula模型沒有通過檢驗,即混合D藤Copula模型對投資組合相關結(jié)構(gòu)的描述不夠精確。
本文對兩類傳統(tǒng)的藤Copula建模方法作了進一步的擴展,利用AIC準則對模型中的每一個Pair Copula都選取最優(yōu)的函數(shù)族,從而使得所建立的模型不僅考慮到了多維資產(chǎn)的維數(shù)影響,而且還考慮到了資產(chǎn)間局部相關結(jié)構(gòu)的差異性問題,所以,相對于傳統(tǒng)的藤Copula模型,混合藤Copula模型能更好地描述多個資產(chǎn)間的相關結(jié)構(gòu)。這主要是由于高維Gaussian Copula以單個參數(shù)描述多維資產(chǎn)的相關結(jié)構(gòu),并沒有考慮到資產(chǎn)維數(shù)的影響;而多元Archimedean Copula函數(shù),其所有的隨機變量都是等價的,并且都以單個生成函數(shù)得到完整的Copula函數(shù),所以它沒有考慮到變量間相關結(jié)構(gòu)的差異性;另外,基于混合藤Copula模型計算投資組合的VaR值,由于其仿真序列是基于Pair Copula分解方法得到,所以其計算結(jié)果更加精確。
為了表明混合藤Copula模型的優(yōu)勢,本文將混合藤Copula模型與t-GARCH(1,1)相結(jié)合,并運用于中國外匯市場四種外匯資產(chǎn)投資組合的VaR估計,分別建立了混合C藤Copula模型及混合D藤Copula模型用于描述資產(chǎn)組合的相關結(jié)構(gòu),在此基礎上,借助Monte Carlo方法計算了投資組合在95%置信水平下的VaR值,并進行了Kupiec失敗率檢驗,進而確定較優(yōu)的投資組合風險分析模型,由表5的檢驗結(jié)果可以看出,混合C藤Copula模型通過了失敗率檢驗,可以很好地描述資產(chǎn)間的相關結(jié)構(gòu);而混合D藤Copula模型則未能通過檢驗,這主要是由于美元是國際支付、結(jié)算和投資的主要貨幣,美元價格變化對其他貨幣價格的變化都有重大影響,它們之間的影響關系是直接的,以圖形化的方式表達,則是美元與其它貨幣之間都有直接的邊相連接,而不是通過相互傳導性質(zhì)的間接連接,這也就符合C藤中的每棵樹中都有一個根節(jié)點的性質(zhì),所以用混合C藤Copula模型刻畫各外匯資產(chǎn)間的相關結(jié)構(gòu)更貼近現(xiàn)實。從而,在中國外匯市場四種外匯資產(chǎn)投資組合相關結(jié)構(gòu)描述的準確性上,混合C藤Copula模型優(yōu)于混合D藤Copula模型,是更好的風險分析模型。
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(責任編輯:WD)
The Comparison Study of Two Types of Mixed Vines Copula Model——Based on the Analysis of VaR of a Portfolio
DU Zi-ping,ZHANG Xue-feng
(Department of Economics and Management,Tianjin University of Science and Technology,Tianjin 300222,China)
Two types of mixed vines copula model based on Pair Copula Constructions method was used to study a portfolio of four foreign exchange assets in Foreign Exchange Market of China.The models,namely mixed C and D vines Copula model,can reflect the differences of correlation structure of a portfolio realistically.And also the two types of mixed vines Copula models improve on traditional C and D vines method and choose the best families of copula functions for every Pair Copula by a rule.They not only can take into account of the impact of dimensions,but also can capture the difference of the correlation structure among portfolio factors.In order to obtain a better VaR analysis model,we compare the two types of vines Copula models in the aspect of the portfolio VaR calculation accuracy in empirical study.
Pair Copula;Mixed C-vines;Mixed D-vines;VaR
F830.92
A
1004-292X(2014)01-0027-05
2013-07-12
國家自然科學基金項目(71071111)。
杜子平(1964-),男,山西呂梁人,副院長,教授,博士生導師,主要從事系統(tǒng)分析與金融管理、輕工技術經(jīng)濟決策與預測研究。