杜子平，張雪峰

（天津科技大學經(jīng)濟與管理學院，天津 300222）

兩類混合藤Copula模型的比較研究
——基于外匯資產(chǎn)投資組合VaR的研究

杜子平，張雪峰

（天津科技大學經(jīng)濟與管理學院，天津 300222）

本文以中國外匯市場上四種主要外匯資產(chǎn)的投資組合作為研究對象，基于Pair Copula高維建模思想，分別建立了兩類能真實反映資產(chǎn)組合相關結(jié)構(gòu)差異性的混合藤Copula模型，即混合C藤和混合D藤Copula模型。兩類混合藤Copula模型，對傳統(tǒng)的藤Copula模型作了進一步的改進，是通過一定的選擇標準，確定模型中每個Pair Copula函數(shù)的最優(yōu)函數(shù)族，這樣可以使得所建立的模型既能考慮資產(chǎn)組合維數(shù)的影響，又能捕捉到組合內(nèi)部各資產(chǎn)相關結(jié)構(gòu)的差異性。為了得到較優(yōu)的風險分析模型，在實證研究中，將兩類模型在資產(chǎn)組合VaR計算精度方面進行比較。

Pair Copula；混合C藤；混合D藤；VaR

一、引言

資產(chǎn)組合的風險不僅受到單個資產(chǎn)收益率波動變化的影響，而且受資產(chǎn)間相關結(jié)構(gòu)的影響，這就為Copula理論的應用提供了基礎。Copula理論最大優(yōu)勢就是可以將金融資產(chǎn)的邊緣分布和相關結(jié)構(gòu)分開來研究，并且不要求邊緣分布具有相同的分布形式，所以，Copula理論在金融領域的應用非常廣泛。同時，VaR又是應用最廣泛的風險度量指標，其關鍵問題就是估計模型的構(gòu)建，但對于由多個資產(chǎn)所組成的資產(chǎn)組合，要建立其VaR估計模型非常困難，而上述Copula理論的優(yōu)點則可以很好地解決這個問題。

目前，將Copula理論運用于資產(chǎn)組合VaR的研究層出不窮：傅強等(2009)[1]將極值理論與Copula函數(shù)應用于資產(chǎn)風險研究及條件VaR估計；劉少華等(2011)[2]運用多元Copula函數(shù)對中國期貨市場的套利組合風險進行了研究；He等(2009)[3]基于Copula函數(shù)研究了銀行信用風險和市場風險綜合度量方法；Tang等(2010)[4]研究了公司信用風險和市場風險的相互影響。這些應用主要集中于橢圓類或Archimedean類Copula，橢圓類Copula是以單個參數(shù)來描述多維資產(chǎn)間尾部相關性，沒有考慮維數(shù)的影響，這與實際情況存在很大偏差；而Archimedean Copula所有的隨機變量都是等價的，只需單個生成函數(shù)就可以得到完整的Copula函數(shù)，但現(xiàn)實中很難保證所有變量都服從特定類型的Archimedean Copula。

所以要建立符合實際的高維Copula模型，必須考慮局部相關結(jié)構(gòu)的差異性，基于此 Bedford和Cooke(2001，2002)[5，6]在Joe的基礎上提出了Pair Copula構(gòu)建(PCC)方法，它是利用基于條件獨立的簡單Pair Copula構(gòu)造模塊對復雜多元相關結(jié)構(gòu)進行建模，是將多元聯(lián)合密度函數(shù)分解為一系列Pair Copula及條件邊緣分布密度函數(shù)的積。這樣就可以使得所建立的模型不僅能考慮到資產(chǎn)組合維數(shù)的影響，又能夠捕捉到資產(chǎn)組合中局部相關結(jié)構(gòu)的差異性。本文主要研究兩類基于Pair Copula建模思想的高維Copula建模方法，即C藤與D藤，在此基礎上，考慮對模型中每一Pair Copula函數(shù)依據(jù)一定的標準選擇最優(yōu)的函數(shù)族，將傳統(tǒng)的兩類藤Copula建模方法改進為混合C藤及混合D藤Copula模型。這里，“混合”的含義主要是指對于每一組Pair Copula函數(shù)可以依據(jù)一定的標準選擇最優(yōu)的函數(shù)族。目前，在這方面的研究還不多見。

本文系統(tǒng)地介紹了兩類藤Copula模型的理論知識；并以中國外匯市場四種主要外匯資產(chǎn)作為實證分析對象，基于兩類混合藤Copula模型建立投資組合風險分析模型；并利用Monte Carlo模擬方法估計投資組合的VaR值；最后為了得到最優(yōu)的風險分析模型，運用Kupiec失敗頻率檢驗方法檢驗兩類預測模型的有效性，并作對比分析。

值得指出的是，對于兩類混合藤Copula模型中的Pair Copula函數(shù)本文以AIC準則作為函數(shù)選擇標準。

二、模型的構(gòu)建

1.邊緣分布模型的建立及其參數(shù)估計

一般地，多資產(chǎn)投資組合的風險受到兩方面客觀因素的影響：單個資產(chǎn)收益率序列的波動變化及資產(chǎn)間的相關結(jié)構(gòu)影響。對于單個金融資產(chǎn)收益率分布的刻畫有很多種方法，如傳統(tǒng)方法所采用的t分布或正態(tài)分布，但t分布無法刻畫收益率序列的非對稱性，而且t分布的自由度參數(shù)的估計也比較困難，一般來說，刻畫實際中的金融資產(chǎn)收益率序列的t分布，其自由度通常不是整數(shù)，這就給模型的建立帶來很大不便，若取其近似值則又會增加模型風險；另外，大量研究表明，金融資產(chǎn)收益率序列具有尖峰、厚尾、波動聚集性的特征，所以如果運用正態(tài)分布刻畫收益率序列則會損失大量的尾部信息，且在一定程度上會低估模型參數(shù)值。GARCH類模型是一類典型的條件異方差模型，是現(xiàn)代計量經(jīng)濟學研究的重點。GARCH類模型可以很好地刻畫單個金融資產(chǎn)收益率序列的波動聚集性等特征，是刻畫金融資產(chǎn)收益率序列強有力的工具。

考慮金融時間序列的高峰、厚尾特性，本文選用t分布噪聲驅(qū)動的GARCH模型來對單個資產(chǎn)收益率序列的條件邊緣分布建模。即用如下t-GARCH(1，1)模型：

式中，rt為資產(chǎn)收益率序列；Ωt-1為t-1時期的條件集；ηt為i.i.d自由度為v的t分布；μ，ω，α，β及v為模型參數(shù)。

極大似然估計法(MLE)在計量經(jīng)濟學模型參數(shù)的估計中應用非常廣泛，且大量研究表明，MLE方法對GARCH類模型參數(shù)的估計非常有效。所以本文運用該方法來估計上述GARCH模型的參數(shù)。

2.兩類混合藤Copula模型的建立及其參數(shù)的估計

要建立更精確、更科學的高維Copula模型，不僅要考慮邊緣分布的擬合優(yōu)度，還應考慮局部相關結(jié)構(gòu)的差異性。而Pair Copula建模方法很好地解決后者問題，Bedford和Cooke(2001，2002)[5，6]基于Pair Copula思想研究了一種被稱為正則藤的圖形化建模方法，但由于他們主要研究如何利用藤結(jié)構(gòu)建立復雜的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)模型，所以在Pair Copula的選擇上僅限于Gaussian Copula函數(shù)族。實際上，該建模方法對于Pair Copula函數(shù)族的選擇沒有要求，Aas et al.(2009)[7]的研究表明該方法可以推廣到任意的Pair Copula函數(shù)族，這就為本文的研究提供了理論基礎。本文主要研究對兩類特殊的正則藤——C藤和D藤作進一步的擴展，將其中的Pair Copula根據(jù)一定的選擇標準選擇最優(yōu)的函數(shù)族，建立高維混合藤Copula模型，并將其應用于中國外匯市場投資組合的實證研究。目前在這方面的研究還不多見。

Czado(2010)[8]的研究表明C藤和D藤可以通過簡單的條件遞歸來構(gòu)建。為了與后文的研究保持一致，圖1與圖2分別給出了傳統(tǒng)意義上的四維C藤與四維D藤結(jié)構(gòu)：

圖1 四維C藤結(jié)構(gòu)

由圖1可知，C藤結(jié)構(gòu)中，樹Tj(j=1，2，3)中僅有唯一的節(jié)點連接到n-j條邊，其中，每條邊對應著一個Pair Copula密度函數(shù)。n維聯(lián)合分布的密度函數(shù)f (x1，x2，…，xn)在C藤下可分解為：

圖2 四維D藤結(jié)構(gòu)

圖2所示的為四維D藤結(jié)構(gòu)，D藤結(jié)構(gòu)與C藤結(jié)構(gòu)有很大的不同，樹 Tj(j= 1，2，3)中的兩條邊，變成了Tj+1中的兩個節(jié)點，如果Tj中的這兩條邊共享同一節(jié)點，則在Tj+1中這兩個節(jié)點又被同一條邊連接。其中，Tj的每條邊也對應著一個Pair Copula密度函數(shù)。n維聯(lián)合分布的密度函數(shù)f(x1，x2，…，xn)在D藤下的分解式可表示為：

(1)式與(2)式中的j表示樹的標號，i遍歷每棵樹的邊。對于每個Pair Copula的構(gòu)建涉及到形如的條件邊緣分布，對于每一j，由式(3)可以求得其邊緣條件分布函數(shù)。有：

其中，υj是υ中任一分量，υ-j是υ中不含υj的向量，Cx，υjυ-j是二元Copula分布函數(shù)。當υ為一維變量時，有：

本文對于(1)式與(2)式中Pair Copula密度函數(shù)族的選擇標準采用AIC準則，因為，Brechmann(2010)[9]的研究表明對于二維Copula函數(shù)族的選擇，AIC準則是一個有效、可靠的選擇標準。以此為基礎，本文對傳統(tǒng)的C藤與D藤作了進一步擴展，建立兩類混合藤Copula模型。

對于兩類藤Copula模型的參數(shù)估計問題，本文借鑒Aas et al.(2009)[7]研究中使用的方法，即先運用ML單獨估計每個Pair Copula函數(shù)的參數(shù)值，稱之為參數(shù)估計初值；再將參數(shù)估計初值代入兩類藤結(jié)構(gòu)的對數(shù)似然函數(shù)，并最大化對數(shù)似然函數(shù)值，從而得到參數(shù)估計終值。n維C藤的對數(shù)似然函數(shù)可表示為：

而n維D藤的對數(shù)似然函數(shù)可以表示為：

(4)式與(5)式中Θ為Pair Copula函數(shù)參數(shù)集。

三、投資組合VaR的估計及檢驗

在計算由多個資產(chǎn)（通常指3個及3個以上）組成的資產(chǎn)組合VaR時，由于VaR的顯性解析式很難表示，所以，本文借助于Monte Carlo方法，該方法的關鍵在于對Pair Copula分解模型的仿真技術，先通過分解下的Copula分布函數(shù)求出條件分布函數(shù)x2，…，xj-1)，再生成服從該多元聯(lián)合分布的仿真序列(x1，x2，…，xn)，具體過程為：

①隨機生成n個獨立的服從[0，1]均勻分布的序列{ωi，i=1，2，…，n}；

②求出服從Pair Copula分解的聯(lián)合分布函數(shù)的仿真序列(x1，x2，…，xn)：

其中每個條件分布函數(shù)Fn|1，2，…，n-1(xjx1，x2，…，xj-1)都可以由式(3)及某種類型的Copula函數(shù)求得。

得到服從Pair Copula分解的聯(lián)合分布函數(shù)仿真序列(x1，x2，…，xn)后，代入各資產(chǎn)的邊緣分布，進而可以得到n個資產(chǎn)在t+1時刻的仿真收益率序列Ri，t+1，i=1，2，…，n。由于本文將外匯資產(chǎn)收益率序列定義為Pi，t+1= lnPi，t+1-lnPi，t，其中，Pi，t表示第i個資產(chǎn)在t時刻的價格，則在t+1時刻，第i個資產(chǎn)的價格可表示為Pi，t+1= Pitexp(Ri，t+1)，則由仿真收益率序列Ri，t+1可得第i個資產(chǎn)在持有期(t，t+1]內(nèi)的損失率為：

給定置信度1-α，則由損失Lt+1的經(jīng)驗分布可求出投資組合的VaR為：，其中表示在持有期(t，t+1]內(nèi)、1-α置信度下的VaR值。

為了驗證所求得的資產(chǎn)組合VaR的有效性，本文運用Kupiec失敗率檢驗方法：記實際損失超過VaR為失敗，反之為成功。假定估計VaR的置信度為P*，實際考察天數(shù)為T，失敗天數(shù)為N，則失敗概率P的頻率估計為N/T，則對于VaR估計模型有效性的檢驗可以轉(zhuǎn)化為對于失敗概率P是否顯著不同于P*的檢驗。Kupiec給出了該檢驗最合適的極大似然統(tǒng)計量：

在該檢驗成立的條件下，統(tǒng)計量LR服從自由度為1的卡方分布。

四、實證研究

本節(jié)選取中國外匯市場上四種外匯匯率：美元/人民幣(USD/CNY)、港幣/人民幣(HKD/CNY)、100日元/人民幣(100JPY/CNY)、歐元/人民幣(EUR/CNY)作為實證分析對象。考察的時間范圍為2006.1.11-2012.11.6，每組匯率共有1660個有效數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于中國貨幣網(wǎng)。同時，將價格{Pt}定義為每日收盤價，收益率定義為Rt=lnPt+1-lnPt。其描述性特征如表1。

表1 樣本收益率序列的統(tǒng)計特性

由表1中的J-B統(tǒng)計量可以看出，四個對數(shù)收益率序列均不服從正態(tài)分布；另外，從偏度與峰度也可以看出該四個對數(shù)收益率序列具有明顯的高峰、厚尾特征，且呈現(xiàn)出一定的非對稱性。對各對數(shù)收益率序列進行ARCH-LM檢驗，發(fā)現(xiàn)它們都具有明顯的ARCH效應，故可以運用t-GARCH(1，1)模型擬合四個外匯資產(chǎn)對數(shù)收益率序列，本文置信水平取為95%。運用Matlab軟件得到各序列邊緣分布的參數(shù)估計值，如表2。

表2 對數(shù)收益率序列邊緣分布參數(shù)估計值

得到邊緣分布的參數(shù)估計值后，提出其標準化殘差序列。為了檢驗邊緣分布的擬合優(yōu)度，對標準化殘差序列進行概率積分變換，同時，對變換后的序列進行K-S檢驗，K-S檢驗方法是檢驗變換后的序列是否服從(0，1)上的均勻分布來判斷對邊緣分布的建模是否正確，通常，先檢驗概率積分變換后的序列是否獨立，再檢驗變換后的序列是否服從(0，1)上的均勻分布。本文檢驗的結(jié)果表明經(jīng)過概率積分變換后的標準化殘差序列均服從[0，1]上的均勻分布，說明所建立的t-GARCH(1，1)模型能很好地擬合各外匯資產(chǎn)對數(shù)收益率序列。

為了表述方便，分別記USD/CNY、HKD/CNY、100JPY/CNY及EUR/CNY為1、2、3及4，并分別用混合C藤及混合D藤Copula模型描述由該四個外匯資產(chǎn)所組成的投資組合的相關結(jié)構(gòu)，模型結(jié)構(gòu)如圖1和圖2。運用第二節(jié)所述的參數(shù)估計方法估計兩類混合藤Copula模型的參數(shù)值。值得指出的是，對兩類混合藤結(jié)構(gòu)中的每個Pair Copula函數(shù)族的選擇擴展到以下五種：Gaussian Copula、tCopula、Gumbel Copula、Clayton Copula及FrankCopula。兩類混合藤Copula模型中所有Pair Copula的函數(shù)族、參數(shù)估計初值、終值、模型對數(shù)似然函數(shù)及AIC、BIC值如表3及表4所示。

表3 混合C藤Copula模型參數(shù)估計值、對數(shù)似然函數(shù)及AIC、BIC值

表4 混合D藤Copula模型參數(shù)估計值、對數(shù)似然函數(shù)及AIC、BIC值

由表3及表4可知，在參數(shù)估計終值下的兩類混合藤Copula模型的AIC值均小于模型在參數(shù)估計初值時的AIC值，說明模型在參數(shù)估計終值下的擬合度有了一定程度地提高。

至此，兩類混合藤Copula模型的結(jié)構(gòu)及參數(shù)估計值已經(jīng)確定，為了驗證兩類模型對中國外匯市場四種外匯資產(chǎn)投資組合相關結(jié)構(gòu)描述的準確性，進而確定較優(yōu)的模型結(jié)構(gòu)，先基于兩類混合藤Copula模型估計投資組合的VaR，再利用Kupiec失敗率檢驗方法檢驗模型的預測結(jié)果。

估計由多個資產(chǎn)組成的投資組合VaR一般需借助于第三節(jié)所描述的Monte Carlo方法。分別基于兩類混合藤Copula模型模擬10000次，得到10000組t+1時刻的各外匯資產(chǎn)收益率模擬值。則資產(chǎn)組合的模擬收益率為其中ωi為各外匯資產(chǎn)在t+1時刻的投資權重，且。本文假定投資總額為4，且等權重投資于中國外匯市場四種外匯資產(chǎn)，分別計算基于兩類混合藤Copula模型的該投資組合在95%置信水平下的VaR值。同時，對樣本區(qū)間內(nèi)前1000天的95%VaR估計結(jié)果進行Kupiec失敗率檢驗，并由式(6)計算統(tǒng)計量LR。計算及檢驗結(jié)果如表5所示。

表5 兩類混合藤Copula模型下資產(chǎn)組合的VaR值及檢驗結(jié)果

由第三節(jié)可知，利用Kupiec失敗率檢驗VaR估計模型有效性，可以轉(zhuǎn)化為對失敗概率P是否顯著不同于置信水平P*的檢驗。當該檢驗成立時，則統(tǒng)計量LR服從自由度為1的卡方分布，而自由度為1的卡方分布在95%置信水平下的臨界值為3.8415。由表5可知，混合C藤Copula模型下的統(tǒng)計量LR小于該臨界值，因此，混合C藤Copula模型通過了檢驗，說明基于混合C藤Copula模型的VaR預測結(jié)果是有效的；而混合D藤下的統(tǒng)計量LR大于該臨界值，說明混合D藤Copula模型沒有通過檢驗，即混合D藤Copula模型對投資組合相關結(jié)構(gòu)的描述不夠精確。

五、結(jié)論

本文對兩類傳統(tǒng)的藤Copula建模方法作了進一步的擴展，利用AIC準則對模型中的每一個Pair Copula都選取最優(yōu)的函數(shù)族，從而使得所建立的模型不僅考慮到了多維資產(chǎn)的維數(shù)影響，而且還考慮到了資產(chǎn)間局部相關結(jié)構(gòu)的差異性問題，所以，相對于傳統(tǒng)的藤Copula模型，混合藤Copula模型能更好地描述多個資產(chǎn)間的相關結(jié)構(gòu)。這主要是由于高維Gaussian Copula以單個參數(shù)描述多維資產(chǎn)的相關結(jié)構(gòu)，并沒有考慮到資產(chǎn)維數(shù)的影響；而多元Archimedean Copula函數(shù)，其所有的隨機變量都是等價的，并且都以單個生成函數(shù)得到完整的Copula函數(shù)，所以它沒有考慮到變量間相關結(jié)構(gòu)的差異性；另外，基于混合藤Copula模型計算投資組合的VaR值，由于其仿真序列是基于Pair Copula分解方法得到，所以其計算結(jié)果更加精確。

為了表明混合藤Copula模型的優(yōu)勢，本文將混合藤Copula模型與t-GARCH(1，1)相結(jié)合，并運用于中國外匯市場四種外匯資產(chǎn)投資組合的VaR估計，分別建立了混合C藤Copula模型及混合D藤Copula模型用于描述資產(chǎn)組合的相關結(jié)構(gòu)，在此基礎上，借助Monte Carlo方法計算了投資組合在95%置信水平下的VaR值，并進行了Kupiec失敗率檢驗，進而確定較優(yōu)的投資組合風險分析模型，由表5的檢驗結(jié)果可以看出，混合C藤Copula模型通過了失敗率檢驗，可以很好地描述資產(chǎn)間的相關結(jié)構(gòu)；而混合D藤Copula模型則未能通過檢驗，這主要是由于美元是國際支付、結(jié)算和投資的主要貨幣，美元價格變化對其他貨幣價格的變化都有重大影響，它們之間的影響關系是直接的，以圖形化的方式表達，則是美元與其它貨幣之間都有直接的邊相連接，而不是通過相互傳導性質(zhì)的間接連接，這也就符合C藤中的每棵樹中都有一個根節(jié)點的性質(zhì)，所以用混合C藤Copula模型刻畫各外匯資產(chǎn)間的相關結(jié)構(gòu)更貼近現(xiàn)實。從而，在中國外匯市場四種外匯資產(chǎn)投資組合相關結(jié)構(gòu)描述的準確性上，混合C藤Copula模型優(yōu)于混合D藤Copula模型，是更好的風險分析模型。

[1]傅強，刑琳琳.基于極值理論和Copula函數(shù)的條件VaR計算[J].系統(tǒng)工程學報，2009，24(5)：531-537.

[2]劉少華，張宗成.基于POT-Copula模型的我國期貨套利組合風險分析 [J].金融理論與實踐，2011(8)：81-84.

[3]He，X and P.Gong.Measuring the coupled risks：A copulabased C VaR model[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2009，223(2)：1066-1080.

[4]Tang，D.Y and H.Yan.Market conditions，default risk and credit spreads[J].Journal of Banking&Finance，2010，34(4)：743-753.

[5]Bedford，T&Cooke，R.M.Probability density decomposition for conditionally dependent random variables modeled by vines [J].Annals ofMathematics and ArtificialIntelligence，2001 (32)：245-268.

[6]Bedford，T&Cooke，R.M.Vines-A new graphical model for dependent random variables[J].The Annals of Statistics，2002，30(4)：1031-1068.

[7]Aas K，Czado C，F(xiàn)rigessi A，Bakken H.Paircopula constructions of multiple dependence [J].Insurance：Mathematics and Economics，2009，44(3)：182-198．

[8]Czado C.Pair-Copula Constructions of Multivariate Copulas [M].Berlin Heidelberg：P.e.a.Jaworski(Ed)，2010：93-109．

[9]Brechmann，E.Truncated and simplified regular vines and their applications[D].Diploma thesis，Technische，2010.

（責任編輯：WD）

The Comparison Study of Two Types of Mixed Vines Copula Model——Based on the Analysis of VaR of a Portfolio

DU Zi-ping，ZHANG Xue-feng
（Department of Economics and Management，Tianjin University of Science and Technology，Tianjin 300222，China）

Two types of mixed vines copula model based on Pair Copula Constructions method was used to study a portfolio of four foreign exchange assets in Foreign Exchange Market of China.The models,namely mixed C and D vines Copula model，can reflect the differences of correlation structure of a portfolio realistically.And also the two types of mixed vines Copula models improve on traditional C and D vines method and choose the best families of copula functions for every Pair Copula by a rule.They not only can take into account of the impact of dimensions，but also can capture the difference of the correlation structure among portfolio factors.In order to obtain a better VaR analysis model，we compare the two types of vines Copula models in the aspect of the portfolio VaR calculation accuracy in empirical study.

Pair Copula；Mixed C-vines；Mixed D-vines；VaR

F830.92

A

1004-292X（2014）01-0027-05

2013-07-12

國家自然科學基金項目（71071111）。

杜子平（1964-），男，山西呂梁人，副院長，教授，博士生導師，主要從事系統(tǒng)分析與金融管理、輕工技術經(jīng)濟決策與預測研究。