王雪紅 劉曉青

（河海大學(xué)水利水電工程學(xué)院，南京 210098）

在實(shí)際生產(chǎn)、生活以及科學(xué)研究中為了及時(shí)、準(zhǔn)確、全面、系統(tǒng)地掌握事物的性態(tài)及發(fā)展趨勢(shì)，需要對(duì)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)按照科學(xué)的理論和方法進(jìn)行分析統(tǒng)計(jì)、回歸預(yù)測(cè)等.

隨著科技水平的提高，根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的理論、方法得到了較大的發(fā)展并已應(yīng)用于工程實(shí)際中.最小二乘法容易通過(guò)計(jì)算機(jī)的簡(jiǎn)單程序?qū)崿F(xiàn)，程序已經(jīng)模塊化，用戶使用起來(lái)比較方便，對(duì)工程觀測(cè)資料的分析多采用最小二乘法.但由于最小二乘法在求解時(shí)需要對(duì)估計(jì)目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)，過(guò)程比較繁瑣，還要求優(yōu)化模型具有連續(xù)、可導(dǎo)的性能，因而對(duì)于非線性問(wèn)題，可能遇到函數(shù)不可導(dǎo)的情況而難以找到全局最優(yōu)解.近年來(lái)，BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（BP－ANNs）［7］、遺傳算法（GA）［10］、群體智能算法如：蟻群算法（ACO）［8］、粒子群算法（PSO）［9］、人工魚群算法（AFSA）［11］、人工蜂群算法（ABC）［3］等一些新興的智能算法在求解多元回歸問(wèn)題中得到越來(lái)越普遍的應(yīng)用，但是這些智能算法在應(yīng)用中會(huì)出現(xiàn)易陷入局部最優(yōu)、早熟、收斂速度慢、穩(wěn)定性差等問(wèn)題，不少學(xué)者試圖通過(guò)算法的混合來(lái)提高計(jì)算性能并取得了一定的效果.

細(xì)菌群體趨藥性算法是一種考慮單個(gè)細(xì)菌活動(dòng)和細(xì)菌之間關(guān)系的混合算法，其優(yōu)化速度和精度超過(guò)了其他一些常見的群體優(yōu)化算法［1］.細(xì)菌群體趨藥性算法源于細(xì)菌趨藥性算法，早期細(xì)菌趨藥性算法的研究是基于Berg、Brown和Dahlquist提出的細(xì)菌趨藥性微觀模型，Sibvue D.Muller及其同事們?cè)诖嘶A(chǔ)上進(jìn)一步綜合，并且結(jié)合最新的生物學(xué)研究成果提出了細(xì)菌趨藥性算法（Bacterial Chemotaxis，BC）［6］；國(guó)內(nèi)最先研究該算法的浙江大學(xué)李威武等［1］通過(guò)研究模擬細(xì)菌個(gè)體間的信息傳遞與共享機(jī)制，在基本BC算法的基礎(chǔ)上引入了群體交互概念，從而提出了細(xì)菌群體趨藥性算法，它極大地提高了細(xì)菌趨藥性算法的優(yōu)化能力，且優(yōu)化速度和精度較好.本文利用細(xì)菌趨藥性算法進(jìn)行多元非線性回歸分析并將其應(yīng)用到混凝土重力壩位移的監(jiān)測(cè)中，為解決混凝土壩監(jiān)測(cè)中的回歸問(wèn)題提供了一種新方法.

1 多元回歸數(shù)學(xué)模型

1.1 多元線性回歸的數(shù)學(xué)模型

假如變量y與另外p個(gè)變量x1，x2，…，xp的內(nèi)在聯(lián)系是線性的，它的第k試驗(yàn)數(shù)據(jù)是（xk1，xk2，…，xkm，yk），k＝1，2，…，N，則數(shù)據(jù)有如下的結(jié)構(gòu)形式：

式中，β0，β1，…，βm是m＋1個(gè)待估計(jì)參數(shù)；x1，x2，…，xm是m個(gè)觀測(cè)或可以確定的一般變量；ε1，ε2，…，εn是n個(gè)相對(duì)獨(dú)立且服從同一正態(tài)分布N（0，σ2）的隨機(jī)變量.

若令

則數(shù)學(xué)模型可以寫成：

其中，ε是n維隨機(jī)變量，它的分量是相互獨(dú)立的.

1.2 多元非線性回歸的數(shù)學(xué)模型

非線性回歸模型的一般形式為

式中，xi為系統(tǒng)輸入量，yi為系統(tǒng)輸出變量，θ＝［θ1，θ2，…，θk］T為待定參數(shù)向量，e為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，（xi，yi）是已知數(shù)據(jù)對(duì)，i＝1，…，n.該非線性回歸數(shù)學(xué)模型的求解就是根據(jù)已知數(shù)據(jù)對(duì)求解向量θ，求解偏差平方和使

最小，非線性回歸模型參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題實(shí)質(zhì)就是非線性函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題［2］.

2 細(xì)菌群體趨藥性算法（BCC）

2.1 算法的基本原理

BC算法是從生物行為中獲取靈感的方法，很多學(xué)者對(duì)生物體對(duì)自身環(huán)境的反應(yīng)進(jìn)行了研究［3－4］.假定細(xì)菌的軌跡是由一系列直線組成的，細(xì)菌運(yùn)動(dòng)速度一樣；細(xì)菌改變運(yùn)動(dòng)方向時(shí)，向左或向右的概率相同；細(xì)菌在各段軌跡上移動(dòng)時(shí)間和各段軌跡間的夾角都由概率分布決定；夾角和時(shí)間的概率分布和先前軌跡的參數(shù)無(wú)關(guān).BCC是在BC的基礎(chǔ)上提出來(lái)的，假定細(xì)菌在引誘劑環(huán)境中通過(guò)一些簡(jiǎn)單的假設(shè)方式進(jìn)行通信.細(xì)菌不僅使用自己的運(yùn)動(dòng)位置信息也利用其他細(xì)菌的位置信息進(jìn)行函數(shù)優(yōu)化［1］.

2.2 算法的計(jì)算步驟

BCC算法應(yīng)用于多維函數(shù)優(yōu)化的步驟：

T0為最小平均移動(dòng)時(shí)間、tc為相關(guān)時(shí)間、b為與維數(shù)無(wú)關(guān)的參數(shù)［6］.

1）計(jì)算細(xì)菌的移動(dòng)速度v.通常假定其為常數(shù)1；

2）計(jì)算細(xì)菌在新方向上的移動(dòng)時(shí)間t.其數(shù)值由概率分布決定：

式中，T0為最小平均移動(dòng)時(shí)間，fpr為當(dāng)前點(diǎn)和上一個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值的差，1pr為變量空間中連接當(dāng)前點(diǎn)和上一個(gè)點(diǎn)的向量的模.

3）計(jì)算新的運(yùn)動(dòng)方向.新方向通過(guò)在平面（xi，xi＋1）上的φi使用高斯概率密度分布來(lái)計(jì)算，其中φi從坐標(biāo)軸xi測(cè)量，用來(lái)判斷向左或向右轉(zhuǎn)，分別為

其中，φi∈［0°，180°］

向左或向右采用同樣的概率密度分布，因而φi的概率密度分布為

細(xì)菌在每次移動(dòng)到新位置之前，要感知它周圍的環(huán)境，試探旁邊是否有其他位置更好的細(xì)菌.如果有，那么它有可能趨向移動(dòng)到這些擁有較好位置細(xì)菌的中心點(diǎn).在移動(dòng)步數(shù)為k時(shí)細(xì)菌i附近有更好位置的同伴的中心點(diǎn)由下式?jīng)Q定：

rand（0，2）指（0，2）之間的隨機(jī)數(shù).

3 細(xì)菌群體趨藥性算法在回歸分析中的實(shí)現(xiàn)

為了驗(yàn)證細(xì)菌趨藥性算法在回歸分析中應(yīng)用的可行性，以混凝土重力壩位移模型為研究對(duì)象，取溢流壩段壩頂某部位測(cè)點(diǎn)2010年1月10日～2012年8月5日（每天觀測(cè)一次）順河向位移、水位、溫度、時(shí)間數(shù)據(jù)各142個(gè).由于篇幅有限各數(shù)據(jù)不一一列出，僅給出某測(cè)點(diǎn)順河向位移及上游庫(kù)水位隨時(shí)間變化過(guò)程線，如圖1所示.

圖1 某測(cè)點(diǎn)順河向位移及上游庫(kù)水位隨時(shí)間變化過(guò)程線

回歸的實(shí)質(zhì)就是使ffitness＝∑（δ－＾δ）2趨近于0，其中δ為實(shí)測(cè)值；＾δ為預(yù)報(bào)值.

做回歸分析之前根據(jù)3σ原則提出數(shù)據(jù)中的奇異點(diǎn)，首先將多項(xiàng)式＾δ中的每一項(xiàng)中的已知值計(jì)算出來(lái)，轉(zhuǎn)化為線性模型的形式，使用matlab中的lsqcurvefit進(jìn)行多元非線性回歸分析；然后，采用BCC算法優(yōu)化該回歸分析問(wèn)題中的未知參數(shù)及∑（δ－＾δ）2，選取最大迭代步數(shù)500、細(xì)菌個(gè)數(shù)50，各參數(shù)的初始取值范圍參考利用最小二乘法得到的參數(shù)取值區(qū)間，所得結(jié)果見表1.最小二乘法和BCC算法所得到的復(fù)相關(guān)系數(shù)都比較大，可用于短期內(nèi)位移的預(yù)報(bào)分析.

表1 回歸模型參數(shù)及復(fù)相關(guān)系數(shù)表

由表1可以看出，利用BCC算法所得參數(shù)與最小二乘法所得參數(shù)基本一致，說(shuō)明該算法在優(yōu)化多元函數(shù)回歸參數(shù)問(wèn)題中是可行的、有效的，參數(shù)值也較穩(wěn)定.另外，最小二乘法和BCC算法得到的∑（δ－＾δ）2分別為6.514 1、6.246 7，即BCC算法得到的∑（δ－＾δ）2較小.使用Matlab2012a進(jìn)行運(yùn)算，最小二乘法的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間為6.482 8s，BCC算法的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間為5.064 7s，在相同樣本數(shù)條件下，基于BCC算法回歸分析的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間小于基于最小二乘算法回歸分析系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間.

4 結(jié) 論

細(xì)菌群體趨藥性算法采用了細(xì)菌群體交互模式，各細(xì)菌的移動(dòng)步長(zhǎng)按照概率分布隨機(jī)取值，具有突破局部最值限制的尋優(yōu)機(jī)制，因而大大提高了細(xì)菌的全局尋優(yōu)性能且具有很好的收斂速度和計(jì)算精度，具有極大的研究發(fā)展?jié)摿?

本文利用細(xì)菌群體趨藥性算法進(jìn)行回歸分析，雖然模型采用參數(shù)個(gè)數(shù)、數(shù)據(jù)較多，且各組數(shù)據(jù)具有一定的隨機(jī)性，但也取得了相對(duì)滿意的結(jié)果且比最小二乘法計(jì)算得到的觀測(cè)值和預(yù)報(bào)值之間的誤差平方和∑（δ－＾δ）2小，且基于BCC算法回歸分析的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間小于基于最小二乘算法回歸分析系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間.說(shuō)明了BCC算法應(yīng)用于回歸模型參數(shù)估計(jì)是可行的，效果也較傳統(tǒng)的最小二乘法好，從而為回歸分析提供了一種新思路.另外，對(duì)細(xì)菌群體趨藥性算法采取一定的改進(jìn)策略來(lái)提高尋優(yōu)速率，可使其更好地應(yīng)用于生產(chǎn)生活中.

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