王風(fēng)濤，景敏卿，劉 恒

(西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，陜西 西安 710049)

高速圓柱滾子軸承動(dòng)力學(xué)分析

王風(fēng)濤，景敏卿，劉 恒

(西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，陜西 西安 710049)

建立相應(yīng)坐標(biāo)系，對(duì)滾動(dòng)軸承中滾子與滾道、滾子與保持架、保持架與引導(dǎo)套圈之間的相互幾何作用進(jìn)行分析，計(jì)算出各部件之間作用力和力矩，采用牛頓-歐拉方程建立6自由度滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)滾動(dòng)軸承進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，為圓柱滾子軸承設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

高速圓柱滾子軸承；6自由度；動(dòng)力學(xué)分析

Abstract:high speed cylindrical roller bearing , 6 DOF, dynamic analysis

1 前言

滾動(dòng)軸承由于其具有的摩擦系數(shù)小、極限轉(zhuǎn)速高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、制造成本低、易達(dá)到較高制造精度等諸多優(yōu)點(diǎn)，在現(xiàn)代工業(yè)中有著廣泛的應(yīng)用。但隨著旋轉(zhuǎn)機(jī)械朝著高速化、高精度、高可靠性發(fā)展，對(duì)滾動(dòng)軸承動(dòng)態(tài)性能要求越來越高，且滾動(dòng)軸承基本組成部件及相互間的潤(rùn)滑膜本身也構(gòu)成了一個(gè)較為復(fù)雜的多場(chǎng)耦合動(dòng)力系統(tǒng)，這對(duì)滾動(dòng)軸承的設(shè)計(jì)仿真技術(shù)提出了較高的要求，而滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)仿真無疑是其中最重要的組成部分[1]。

在滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)仿真方面，國(guó)外一直處于領(lǐng)先地位：R.J.Klecrnet等[2]以擬靜力學(xué)理論為基礎(chǔ)研制了圓柱滾子軸承分析程序CYBEAN；Hadden等[3]以擬動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)開發(fā)了SHABERTH程序；日本NSK公司[4]以擬動(dòng)力學(xué)為基礎(chǔ)開發(fā)了滾動(dòng)軸承分析軟件BRAIN；Walters[5]首先以動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)編寫了仿真程序BASDAP；Gupta[6]根據(jù)六自由度滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)編制了較為全面仿真程序 ADORE；瑞典SKF公司與PELAB[7]合作開發(fā)了三維滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)仿真軟件包BEAST； Sadehi.F[8]在FAG資助下也開發(fā)了滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)仿真分析程序。在國(guó)內(nèi)，很多學(xué)者也進(jìn)行了相應(yīng)滾動(dòng)軸承仿真技術(shù)的開發(fā)，但多數(shù)以擬靜力學(xué)分析和擬動(dòng)力學(xué)分析為主[9-11]，雖然也有相關(guān)學(xué)者開發(fā)了動(dòng)力學(xué)分析程序，但并沒有實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)軸承6自由度動(dòng)力學(xué)仿真分析[12-15]。

針對(duì)滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)發(fā)展趨勢(shì)，本文以Hertz線接觸理論和空間幾何理論為基礎(chǔ)，對(duì)軸承各部件之間的相互作用關(guān)系進(jìn)行分析，采用牛頓-歐拉方程建立6自由度圓柱滾子軸承多體動(dòng)力學(xué)模型，以變步長(zhǎng)龍格-庫塔數(shù)值積分方法求解該模型，獲得了軸承各部件動(dòng)態(tài)特性分析結(jié)果，實(shí)現(xiàn)軸承的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析，尋找軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)與其動(dòng)態(tài)特性之間的聯(lián)系，為圓柱滾子軸承設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)與參考。

2 動(dòng)力學(xué)建模

鑒于圓柱滾子軸承實(shí)際物理模型較復(fù)雜，為了便于進(jìn)行建模分析，做以下假設(shè)：零件質(zhì)心與形心重合；軸承各部件都是剛性的，忽略柔性變形，接觸時(shí)產(chǎn)生局部彈性變形；外圈與軸承座固結(jié)，內(nèi)圈限制軸向運(yùn)動(dòng)，其它部件為六自由度；保持架兜孔為矩形；軸承內(nèi)部溫度恒定。

為了方便進(jìn)行部件受力分析，如圖1 所示，需要建立以下坐標(biāo)系：全局慣性坐標(biāo)系OXYZ，滾子定體坐標(biāo)系BXbYbZb，滾子方位坐標(biāo)系A(chǔ)XaYaZa，套圈定體坐標(biāo)系RXrYrZr，保持架定體坐標(biāo)系CXcYcZc，兜孔坐標(biāo)系DXdYdZd，其它坐標(biāo)系（根據(jù)需要建立），坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換矩陣采用卡登角[6,14]建立。

圖1 圓柱滾子軸承坐標(biāo)系

2.1 滾子與套圈相互作用

為了考慮滾子的凸度及滾子傾斜、歪斜時(shí)與滾道的作用關(guān)系，對(duì)滾子進(jìn)行切片處理，針對(duì)滾子的每片與套圈的作用關(guān)系進(jìn)行分析。滾子與套圈的相互作用關(guān)系如圖2 所示：接觸坐標(biāo)系中，滾子與套圈法向接觸力Q，切向牽引力Ft。

圖2 滾子與套圈相互作用圖

滾子方位坐標(biāo)系中，作用于滾子的力矢量為：

式中：Tpa——接觸坐標(biāo)系到滾子方位坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。

慣性坐標(biāo)系中，作用于套圈的力矢量為：

式中：Tai——滾子方位坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。

滾子定體坐標(biāo)系中，滾子的力矩矢量為：

式中： Tib——慣性坐標(biāo)系到滾子定體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，

套圈定體坐標(biāo)系中，套圈的力矩矢量為：

式中：Tir——慣性坐標(biāo)系到套圈定體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，

滾子與滾道總的作用力：

滾子與滾道總的作用力矩為：

式中：s ——滾子切片數(shù)。

2.2 滾子與保持架相互作用

為了考慮滾子的凸度及滾子傾斜、歪斜時(shí)與保持架的作用關(guān)系，對(duì)滾子進(jìn)行切片處理，針對(duì)滾子的每片與保持架作用關(guān)系進(jìn)行分析。滾子與保持架的相互作用關(guān)系如圖3 所示：兜孔坐標(biāo)系中，滾子與保持架兜孔左側(cè)法向接觸力Qcb2，牽引力Fcb2；滾子與保持架兜孔右側(cè)法向作用力Qcb1，牽引力Fcb1。

圖3 滾子與保持架相互作用圖

滾子與兜孔左側(cè)作用時(shí)，滾子方位坐標(biāo)系中，作用于滾子的力矢量為：

式中：Tdc——兜孔坐標(biāo)系到保持架坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，

Tci——保持架坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。

慣性坐標(biāo)系中，作用于保持架力矢量為：

滾子定體坐標(biāo)系中，滾子力矩矢量為：

保持架定體坐標(biāo)系中，套圈力矩矢量為：

滾子與兜孔右側(cè)作用時(shí)，采用同樣方法獲得：作用于滾子的力矢量，力矩矢量；作用于保持架力矢量，力矩矢量。

滾子與保持架總的作用力為：

滾子與保持架總的作用力矩為：

式中：s ——滾子切片數(shù)。

2.3 保持架與套圈相互作用

保持架與引導(dǎo)套圈的相互作用關(guān)系如圖4所示：接觸坐標(biāo)系中，保持架與套圈的法向接觸力Qcr，切向牽引力Fcr。

圖4 保持架與套圈相互作用圖

慣性坐標(biāo)系中，引導(dǎo)套圈對(duì)保持架作用力矢量為：

式中：Tpr——接觸坐標(biāo)系到套圈坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。

保持架對(duì)引導(dǎo)套圈作用力矢量為：

保持架坐標(biāo)系中，保持架的作用力矩矢量為：

套圈坐標(biāo)系中，套圈作用力矩矢量為：

2.4 滾子與擋邊相互作用

滾子與套圈擋邊的相互作用關(guān)系如圖5 所示：接觸坐標(biāo)系中，滾子與左側(cè)擋邊的法向接觸力Qbf1，牽引力Fbf1；滾子與右側(cè)擋邊的法向接觸力Qbf2，牽引力Fbf2。

圖5 滾子與擋邊相互作用圖

滾子與左側(cè)擋邊作用時(shí)，滾子方位坐標(biāo)系中，作用于滾子的力矢量為：

式中：Tfi——左邊擋邊坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。

慣性坐標(biāo)系中，作用于套圈力矢量為：

滾子定體坐標(biāo)系中，滾子力矩矢量為：

套圈定體坐標(biāo)系中，套圈力矩矢量為：

滾子與右側(cè)擋邊作用時(shí)，采用同樣的方法獲得：作用于滾子的力矢量，力矩矢量作用于套圈力矢量，力矩矢量。

滾子與擋邊總的作用力為：

滾子與擋邊總的作用力矩為：

2.5 動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)方程

獲得圓柱滾子軸承部件之間相互作用關(guān)系后，采用牛頓—?dú)W拉動(dòng)力學(xué)方程建立圓柱滾子軸承的運(yùn)動(dòng)控制方程。

內(nèi)圈在慣性坐標(biāo)系中建立質(zhì)心受力運(yùn)動(dòng)微分方程，內(nèi)圈定體坐標(biāo)系中建立力矩運(yùn)動(dòng)微分方程：

式中： mr——內(nèi)圈質(zhì)量，

Irx、Iry和Irz——內(nèi)圈的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，

其中 ：

考慮到滾子的受力方向，在慣性圓柱坐標(biāo)系中建立單個(gè)滾子的質(zhì)心受力運(yùn)動(dòng)微分方程，滾子定體坐標(biāo)系中建立力矩運(yùn)動(dòng)微分方程：

式中： mb——滾子質(zhì)量，

Ibx、Iby和Ibz——滾子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，

Nb——滾子數(shù)目。

其中：

保持架在慣性坐標(biāo)系中建立質(zhì)心受力運(yùn)動(dòng)微分方程，保持架定體坐標(biāo)系中建立力矩運(yùn)動(dòng)微分方程：

式中： mc——保持架質(zhì)量，

Icx、Icy和Icz——保持架的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

其中：

2.6 擬靜力學(xué)

由于滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)模型較為復(fù)雜，計(jì)算量大，而且不易收斂，因此為了使動(dòng)力學(xué)求解快速收斂，獲得理想的結(jié)果，采用擬靜力學(xué)分析結(jié)果作為動(dòng)力學(xué)分析的初值，具體建模過程參考Gupta的著作[6]。

3 動(dòng)力學(xué)程序結(jié)構(gòu)

根據(jù)上述滾子軸承的受力分析和運(yùn)動(dòng)控制方程建立圓柱滾子軸承動(dòng)力學(xué)分析模型，通過相應(yīng)的數(shù)值求解方法進(jìn)行求解，可以獲得各個(gè)部件質(zhì)心相應(yīng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，因此圓柱滾子軸承整個(gè)動(dòng)力學(xué)分析程序結(jié)構(gòu)如圖6 所示。

圖6 程序結(jié)構(gòu)圖

4 程序仿真結(jié)果

4.1 圓柱滾子軸承參數(shù)

圓柱滾子軸承幾何參數(shù)和材料參數(shù)如表1所示。滾子軸承的潤(rùn)滑參數(shù)具體如下：滾子/套圈、滾子/保持架和保持架/套圈：K0=0，km=0.05，k∞=0.04，um=2.0m/s；材料參數(shù)：彈性模量2.0×1011N/m2，密度7.75× 103kg/m3，泊松比0.25。

工況：內(nèi)圈轉(zhuǎn)速20 000r/min，徑向載荷15 000N。

表1 圓柱滾子軸承參數(shù)

4.2 擬靜力學(xué)仿真結(jié)果

從圖7 擬靜力學(xué)的分析結(jié)果可以看出：軸承中主要有5個(gè)滾子承受載荷，第7個(gè)滾子承受載荷最大，而且所有滾子都有徑向位移，同時(shí)根據(jù)已有文獻(xiàn)分析[9]可知：除了受載區(qū)滾子由于承受內(nèi)圈作用，徑向位移值較大外，其他滾子由于離心力與外滾道發(fā)生作用，它們的徑向位移值基本一致。

圖7 擬靜力學(xué)分析結(jié)果

圖8 滾子1軸向位移

圖9 滾子1徑向位移

圖10 滾子1公轉(zhuǎn)速度

4.3 滾子動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果

由圖8 ～圖14 可以看出：滾子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)從0.07s開始趨于穩(wěn)定；滾子軸向位移經(jīng)過最終的距離震蕩之后，漸漸趨于穩(wěn)定；滾子徑向位移呈現(xiàn)周期性振動(dòng)，振動(dòng)最大幅值與擬靜力學(xué)分析結(jié)果接近；從滾子的公轉(zhuǎn)速度和自轉(zhuǎn)速度可以看出，滾子在進(jìn)出受載區(qū)時(shí)，出現(xiàn)加速與減速現(xiàn)象；根據(jù)現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)公式獲得滾子的公轉(zhuǎn)速度為886.1rad/ s，自轉(zhuǎn)速度為6 645.7rad /s，而本程序仿真出的公轉(zhuǎn)速度和自轉(zhuǎn)速度與已有經(jīng)驗(yàn)公式的值基本一致，雖有誤差，但在誤差允許范圍之內(nèi)；滾子傾斜與歪斜（滾子繞坐標(biāo)軸Zb的擺動(dòng)為歪斜，繞坐標(biāo)軸Yb的擺動(dòng)為傾斜）經(jīng)過開始的震蕩后，也趨于穩(wěn)定，而相應(yīng)角度值出現(xiàn)周期規(guī)律，最大幅值為0.005 3rad，相對(duì)較小，說明軸承系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。

圖11 滾子1自轉(zhuǎn)速度

圖12 滾子1傾斜角

圖13 滾子1歪斜角

圖14 內(nèi)圈豎直位移

圖15 內(nèi)圈水平位移

圖16 內(nèi)圈傾斜角

圖17 內(nèi)圈歪斜角

圖18 保持架空間質(zhì)心軌跡

圖19 保持架轉(zhuǎn)速

圖20 保持架傾斜角

圖21 保持架歪斜角

4.4 內(nèi)圈動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果

由圖14 ～圖17 可以看出：與滾子分析結(jié)果類似，內(nèi)圈的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)從0.07s開始趨于穩(wěn)定；內(nèi)圈的豎直振動(dòng)和水平振動(dòng)逐漸趨于穩(wěn)定，并且呈現(xiàn)周期性振動(dòng)；滾子在進(jìn)入受載區(qū)時(shí)，內(nèi)圈的振動(dòng)就會(huì)增大，這是由于內(nèi)圈在受載區(qū)與滾子作用造成，出受載區(qū)之后，滾子由于離心力影響不再與內(nèi)圈接觸，此時(shí)內(nèi)圈的振動(dòng)位移又會(huì)下降；內(nèi)圈的傾斜角與歪斜角（內(nèi)圈繞坐標(biāo)軸Zr的擺動(dòng)為歪斜，繞坐標(biāo)軸Yr的擺動(dòng)為傾斜）呈現(xiàn)周期性規(guī)律，但擺角較小，對(duì)軸承系統(tǒng)影響較小。

4.5 保持架動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果

由圖18 ～圖21 可以看出：從0.07s開始，保持架的振動(dòng)逐漸趨于穩(wěn)定，且振動(dòng)趨勢(shì)與國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者[8,14]分析結(jié)果在趨勢(shì)上較為接近，振動(dòng)幅值為保持架與引導(dǎo)套圈的間隙值；保持架的軸向位移極值也為滾子與保持架的軸向間隙；保持架的轉(zhuǎn)速也是0.07s以后趨于穩(wěn)定狀態(tài)，并且在一個(gè)恒定值附近波動(dòng)，與滾子的公轉(zhuǎn)速度規(guī)律基本一致，符合現(xiàn)有文獻(xiàn)中的結(jié)果；保持架出現(xiàn)負(fù)歪斜角和負(fù)傾斜角（保持架繞坐標(biāo)軸Zc的擺動(dòng)為歪斜，繞坐標(biāo)軸Yc的擺動(dòng)為傾斜），這是載荷過大引起的；同時(shí)由于承受相對(duì)較大的徑向載荷，保持架的打滑率較小。

5 結(jié)束語

已開發(fā)的圓柱滾子軸承6自由度動(dòng)力學(xué)分析程序，可以獲得滾子、保持架和套圈的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，也可輸出相應(yīng)的作用力與力矩，了解軸承的動(dòng)態(tài)特性，為圓柱滾子軸承的設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

為了獲得更加接近實(shí)際的圓柱滾子軸承分析結(jié)果，改進(jìn)軸承固態(tài)潤(rùn)滑模型，后續(xù)需要引入彈流潤(rùn)滑模型，進(jìn)而可以更加真實(shí)、精確地模擬圓柱滾子軸承的動(dòng)力學(xué)特性，指導(dǎo)圓柱滾子軸承的設(shè)計(jì)工作。

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（編輯：鐘 媛）

Dynamic analysis of high speed cylindrical roller bearing

Wang Fengtao,Jing Minqing, Liu Heng
( School of Mechanical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049,China)

The corresponding coordinate systems are set up, the geometric interactions between roller and raceway, between roller and cage, between cage and guide ring are analyzed, and then the Newton-Euler equation is adopted to establish the six degrees of freedom dynamic model of cylindrical roller bearing, the dynamic analysis of high speed cylindrical roller bearing is made. The theoretical basis is provided for the design of cylindrical roller bearing based on the dynamic result.

TH 133.33+2

A

1672-4852（2014）04-0003-07

2014-08-13.

王風(fēng)濤（1985-），男， 在讀博士.