秦同,王碩,高艾,朱圣英,崔平遠

(1.北京理工大學(xué)深空探測技術(shù)研究所,北京100081;2.飛行器動力學(xué)與控制教育部重點實驗室,北京100081)

一種火星大氣密度三維解析模型

秦同1,2,王碩1,2,高艾1,2,朱圣英1,2,崔平遠1,2

(1.北京理工大學(xué)深空探測技術(shù)研究所,北京100081;2.飛行器動力學(xué)與控制教育部重點實驗室,北京100081)

根據(jù)火星大氣數(shù)據(jù)庫,建立了以高度和經(jīng)緯度為輸入的火星三維解析大氣密度模型;在豎直方向上,采用分層指數(shù)模型;在水平方向上,將指數(shù)模型中的參考密度和參考高度視為經(jīng)緯度的多項式函數(shù),并通過最小二乘曲面擬合得到了多項式系數(shù)。相比傳統(tǒng)的指數(shù)模型,三維指數(shù)模型不僅反映了火星大氣密度隨高度的變化規(guī)律,而且能夠體現(xiàn)出大氣密度在水平方向上的變化。與大氣數(shù)據(jù)庫相比,三維密度模型具有解析形式,計算速度快,仿真過程中只需存儲簡單的多項式系數(shù)即可實現(xiàn)密度的實時計算和調(diào)用,適用于地面實時仿真。

火星大氣密度;三維解析模型;分層指數(shù)模型;多項式曲面擬合

0 引言

火星大氣密度是火星著陸過程的重要環(huán)境參數(shù),是火星著陸系統(tǒng)設(shè)計與著陸過程仿真的主要大氣參數(shù),尤其在進入段,大氣密度會影響氣動力,進而關(guān)系到動力學(xué)模型的精確性。建立火星大氣密度模型,用于地面仿真驗證,對著陸任務(wù)的成功至關(guān)重要?，F(xiàn)有的火星大氣模型主要包括兩類,火星大氣數(shù)據(jù)庫和火星大氣簡化模型?；鹦谴髿鈹?shù)據(jù)庫是基于火星大氣環(huán)流模型和實際任務(wù)數(shù)據(jù)構(gòu)建而成,包含了豐富的數(shù)據(jù)信息,適用于系統(tǒng)設(shè)計、性能分析等任務(wù)?；鹦谴髿夂喕Ｐ褪抢脭?shù)據(jù)庫的數(shù)據(jù)通過曲線擬合得到的指數(shù)模型,包含的大氣信息較為單一,但使用過程中計算量小、速度快,適用于實時仿真。

火星大氣數(shù)據(jù)庫主要有NASA的火星全球參考大氣模型(Mars Global Reference Atmospheric Model,Mars-GRAM)[1-2]和歐洲的火星氣候數(shù)據(jù)庫(Mars Climate Database,MCD)[34]。Mars-GRAM由馬歇爾太空飛行中心的自然環(huán)境部門研發(fā),已廣泛應(yīng)用于多個任務(wù)。該數(shù)據(jù)庫0～80 km高度范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)是基于NASA埃姆斯火星大氣環(huán)流模型(Ames Mars General Circulation Model, AMGCM)[5]計算得到的,高于80 km的數(shù)據(jù)則基于火星熱層大氣環(huán)流模型(Mars Thermosphere General Circulation Model,MTGCM)[6]計算得到。其最新版本是Mars-GRAM 2010。歐洲的火星氣候數(shù)據(jù)庫的主要研發(fā)部門是法國的動力氣象實驗室,該項目同時受到歐空局和法國國家研究中心的支持,并作為歐空局火星環(huán)境模型的組成部分,得到了廣泛應(yīng)用。其數(shù)據(jù)是基于全球氣候環(huán)流模型(General Circulation Model,GCM)仿真得到的,并經(jīng)過“海盜號”和后續(xù)多個火星任務(wù)的觀測數(shù)據(jù)驗證。最新版本為MCD 5.0。MCD數(shù)據(jù)庫包含了一系列大氣靜態(tài)參數(shù)(溫度、密度、氣壓等),且其中的數(shù)據(jù)已經(jīng)與實際任務(wù)觀測數(shù)據(jù)進行了比對,其有效性得以驗證[7],部分數(shù)據(jù)也得以修正。Justus等(2006)[8]和Mooij(2006)等[9]將MCD數(shù)據(jù)庫和Mars-GRAM數(shù)據(jù)庫的密度數(shù)據(jù)與火星全球勘測者的觀測數(shù)據(jù)作了對比分析,發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)庫與實測數(shù)據(jù)的差值在10%以內(nèi)。Mars-GRAM和MCD包含了大氣密度、溫度、壓強等多項大氣參數(shù),是目前能夠比較精確全面地反映火星大氣特性的數(shù)據(jù)庫。然而由于數(shù)據(jù)龐大,調(diào)用過程繁瑣,耗時長,因此此類數(shù)據(jù)庫不適用于實時仿真。

實時仿真中常用的火星大氣簡化模型有5種[10-13],如表1所示。模型多為大氣密度隨海拔高度變化的一維指數(shù)模型或分層指數(shù)模型,以及氣溫、壓強、密度隨高度變化的模型,由實際任務(wù)數(shù)據(jù)或火星大氣數(shù)據(jù)庫提供的數(shù)據(jù)擬合得到。然而,火星表面的地形起伏會對大氣運動造成一定的影響,不同區(qū)域同一高度的大氣密度也有較大差別。因此,火星大氣密度不僅僅與高度有關(guān),還與經(jīng)緯度有密切關(guān)系。表1中所列簡化模型,雖然形式簡單,但未體現(xiàn)出密度在水平層面上的變化,因此精度較低。

本文利用火星大氣數(shù)據(jù)庫的的數(shù)據(jù)[14],通過數(shù)據(jù)擬合的方法得到了以高度和經(jīng)緯度為輸入的三維解析火星大氣密度模型。根據(jù)大氣數(shù)據(jù)庫的密度數(shù)據(jù)可知,大氣密度在高度層上并非是嚴格的指數(shù)形式,而是在一定的高度范圍內(nèi)呈現(xiàn)出明顯的指數(shù)變化規(guī)律,因此三維密度模型在高度層上采用分層指數(shù)模型,將0～147 km劃分為五層,每層的高度分別為:0～50 km、50～80 km、80～110 km、110～130 km、130～147 km,此處的高度是指高于火星參考半徑(3 370 km)的高度。分層的目的是使得每一層的大氣密度隨高度的變化呈現(xiàn)出嚴格的指數(shù)規(guī)律,以提高擬合精度。同時,將指數(shù)函數(shù)中的參考密度和參考高度視為經(jīng)緯度的多項式函數(shù),通過最小二乘法擬合得到多項式的系數(shù),以此將經(jīng)緯度信息引入到密度模型中。相比傳統(tǒng)的指數(shù)模型,三維指數(shù)模型具有更高的精度。與氣候數(shù)據(jù)庫相比,三維指數(shù)模型具有解析表達式,計算速度快,仿真過程中只需存儲簡單的多項式系數(shù)即可實現(xiàn)密度的實時計算和調(diào)用,適用于地面實時仿真驗證。

表1 火星大氣簡化模型Table 1 The simplified Mars atmosphere models

1 三維大氣密度模型的建立

建立三維大氣密度模型首先需要獲取三維空間上的密度數(shù)據(jù)。在高度層上,將高于火星參考半徑0～147 km的高度按照1 km的間隔均勻劃分;在水平層上,將經(jīng)緯度按照2°的間隔劃分網(wǎng)格,通過已公開的大氣數(shù)據(jù)庫[14],可得到三維空間節(jié)點上的密度數(shù)值。在垂直方向上,用分層指數(shù)模型擬合大氣密度,如式(1)所示

式中,θ為經(jīng)度;φ為緯度;ρir(θ,φ)為第i層的參考密度;his(θ,φ)為第i層的參考高度;Ci為第i層的指示系數(shù),當(dāng)高度處于第i層時,Ci取1,否則Ci取為0。第1層到第5層的高度分別為:0～50 km, 50～80 km,80～110 km,110～130 km,130～147 km。由于在高度上劃分了5層,因此對于每一個經(jīng)緯度節(jié)點都對應(yīng)5個參考高度和參考密度,本文采用Matlab優(yōu)化工具箱中的非線性擬合函數(shù)lsqcurvefit計算得到了每一個高度層的參考高度和參考密度。對于每一個高度層,由于在水平方向上也將經(jīng)緯度劃分了網(wǎng)格,因此,同樣需要通過曲線擬合得到每個經(jīng)緯度節(jié)點上的參考高度和參考密度。為了將經(jīng)緯度作為輸入量引入大氣密度模型中,將每一層的ρr和hs均視為經(jīng)緯度的多項式函數(shù),如式(2)和式(3)所示

式中,m為多項式的階次;a和b為多項式的系數(shù)。由于每個經(jīng)緯度節(jié)點上的參考密度和參考高度已知,因此可以通過曲面擬合的思想得到多項式的系數(shù)。本文采用最小二乘法進行多項式曲面擬合。將多項式系數(shù)視為未知量,每一個經(jīng)緯度節(jié)點均可得到如式(2)和式(3)所示的方程,聯(lián)立所有經(jīng)緯度點上的方程,得到矩陣方程式(4)和式(5)

其中,

為經(jīng)緯度構(gòu)成的系數(shù)矩陣。

為計算參考密度的多項式系數(shù)。

為計算參考高度的多項式系數(shù)。

為n個經(jīng)緯度節(jié)點上的參考密度。

為n個經(jīng)緯度節(jié)點上的參考高度。

當(dāng)A的行數(shù)大于其列數(shù),即經(jīng)緯度節(jié)點數(shù)大于多項式系數(shù)的個數(shù)時,便可利用最小二乘法解超定線性方程組,如式(11)和式(12)所示

式(4)～(12)給出了一個高度層上擬合參考密度和參考高度的多項式系數(shù)的計算過程,其他高度層的多項式系數(shù)計算過程相同。在得到5個高度層上的多項式系數(shù)后,式(1)～(3)便構(gòu)成了以高度和經(jīng)緯度為輸入的三維解析火星大氣密度模型。只需事先存儲多項式系數(shù),即可實現(xiàn)大氣密度的實時計算與調(diào)用。

2 模型分析

相比傳統(tǒng)的一維指數(shù)模型,三維密度模型優(yōu)點在于將經(jīng)緯度引入了模型,反映出了密度在水平方向上的變化規(guī)律。圖1給出了依據(jù)傳統(tǒng)指數(shù)模型(表1中的模型1)和三維密度模型計算的美國7次火星著陸任務(wù)著陸區(qū)域密度隨高度的變化。

圖1 美國七次火星著陸任務(wù)著陸區(qū)域密度隨高度的變化Fig.1 The change of density with height at the landing targets of the American seventh Mars landing missions

從圖1可以看出,利用三維密度模型計算的不同著陸區(qū)域的密度有較大區(qū)別。若采用傳統(tǒng)指數(shù)模型,則無法體現(xiàn)密度在不同區(qū)域的差異,在進行地面仿真時會與實際情況出現(xiàn)較大差異,而采用三維密度模型則相對準(zhǔn)確地反映出密度隨著陸區(qū)域的變化。

目前對火星大氣模型的評估主要以大氣數(shù)據(jù)庫和實測數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)。為提高多項式擬合精度,同時考慮到計算量的限制,將經(jīng)緯度按照2°的間隔均勻劃分網(wǎng)格,并取擬合參考高度和參考密度的多項式階數(shù)為18階。此外,若階數(shù)過高,LTL的非奇異性會減弱,計算精度降低。圖2～圖4給出了不同高度下,三維密度模型計算的全球密度與MCD數(shù)據(jù)庫的對比。

圖2 高度30 km處火星全球大氣密度對比Fig.2 The Mars global atmospheric density comparison at the height of 30 km

圖2中的空白區(qū)域表示此處受地形遮擋,沒有大氣。通過圖2～圖4可以看出,在同一參考高度面上,低緯度地區(qū)密度大,高緯度地區(qū)密度小,且差異較大。若采用一維指數(shù)模型,必然會出現(xiàn)較大的誤差。從對比分析結(jié)果可以看出,數(shù)據(jù)擬合得到的三維密度模型與MCD數(shù)據(jù)庫相比,密度值近似相同,三維模型較精確地反應(yīng)了數(shù)據(jù)庫的密度特征,且密度誤差在合理范圍內(nèi),體現(xiàn)了三維密度模型的有效性。

圖3 高度60 km處火星全球大氣密度對比Fig.3 The Mars global atmospheric density comparison at the height of 60 km

表2給出了三維密度模型相比MCD數(shù)據(jù)庫以及傳統(tǒng)指數(shù)模型相對MCD數(shù)據(jù)庫的誤差統(tǒng)計特性。通過三維密度模型計算得到的空間節(jié)點密度數(shù)據(jù)與MCD數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)相比,誤差小于50%的占到90.08%,而采用傳統(tǒng)指數(shù)模型時,此比例僅為38.46%,說明三維密度模型更接近大氣數(shù)據(jù)庫。

圖4 高度90 km處火星全球大氣密度對比Fig.4 The Mars global atmospheric density comparison at the height of 90 km

表2 三維密度模型與MCD數(shù)據(jù)庫相比及傳統(tǒng)指數(shù)模型與MCD數(shù)據(jù)庫相比的誤差統(tǒng)計特性Table 2 The error statistic characteristics obtained from the comparison between the MCD database and the traditional exponential model and the comparison between the MCD database and the 3-D density model %

地面實時仿真對大氣模型的計算量和調(diào)用時間有嚴格要求,表3給出了使用不同方式計算一個點的大氣密度所需的時間以及各模型存儲量的大小。計算環(huán)境為Matlab2007。處理器類型為Intel(R) Core(TM)2 Quad CPU Q9550@2.83 GHz,內(nèi)存4 G,系統(tǒng)為Windows7 32位操作系統(tǒng)。表3中,三維數(shù)據(jù)插值是指先通過大氣數(shù)據(jù)庫輸出空間節(jié)點密度數(shù)據(jù),再利用這組數(shù)據(jù)進行三維插值得到某一空間點的密度;二維插值的方式是指先通過數(shù)據(jù)擬合得到所有經(jīng)緯度節(jié)點的參考高度和參考密度,利用這兩組數(shù)據(jù)進行二維插值得到某一點的參考高度和參考密度,再利用指數(shù)模型得到密度;傳統(tǒng)指數(shù)模型僅僅指表1中的模型2。

由于傳統(tǒng)指數(shù)模型形式簡單,因此其實時性最優(yōu)越,且不需要事先存儲數(shù)據(jù),然而3.1小節(jié)的分析已經(jīng)指出,該模型精度低,誤差大。盡管MCD數(shù)據(jù)庫能詳細地反應(yīng)火星大氣密度的分布,但其調(diào)用時間長,難以滿足實時仿真的需求,且由于該數(shù)據(jù)庫包含了大量的在導(dǎo)航制導(dǎo)仿真中無用的數(shù)據(jù),因此會占據(jù)極大的存儲空間。數(shù)據(jù)插值方式的計算時間相比MCD數(shù)據(jù)庫明顯減少,但仍然會占用較大的存儲空間。本文建立的三維密度模型在實時性上僅次于傳統(tǒng)指數(shù)模型,計算一次密度所需時間約為2 210—4s,滿足實時性需求。在使用該模型時,只需事先存儲多項式的系數(shù)即可,占用的存儲空間較小。

表3 不同模型的計算時間及存儲量對比Table 3 The comparison of the calculation time and required storage of different models

3 結(jié)論

本文基于火星大氣數(shù)據(jù)庫,通過數(shù)據(jù)擬合的方法,建立了以高度和經(jīng)緯度為輸入的新型火星大氣三維密度模型。該三維模型在高度層上采用分層指數(shù)函數(shù),將高于火星參考半徑0～147 km的高度分為5層,使得每個高度層內(nèi)密度隨高度的變化呈現(xiàn)出明顯的指數(shù)規(guī)律。為體現(xiàn)密度在水平方向上的變化,將每一個高度層的參考密度和參考高度視為經(jīng)緯度的多項式函數(shù),并通過最小二乘擬合得到多項式的系數(shù)。三維密度模型與MCD數(shù)據(jù)庫相比誤差較小,證明了數(shù)據(jù)擬合的有效性。同時,三維密度模型具有解析表達式,計算量少,存儲空間較小,適用于地面實時仿真。

致謝

本文密度數(shù)據(jù)來自MCD4.3數(shù)據(jù)庫,由歐洲火星氣候數(shù)據(jù)庫研究團隊提供,在此致以感謝。

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秦同(1989—),博士研究生,研究方向為火星軟著陸自主導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制

通信地址:北京市海淀區(qū)中關(guān)村南大街5號北京理工大學(xué)宇航學(xué)院22號信箱

電話:010—68918910

E-mail:phd.qintong@gmail.com

[責(zé)任編輯:高莎]

Three-Dimensional Analytical Model for Mars Atmospheric Density

QIN Tong1,2,WANG Shuo1,2,GAO Ai1,2,ZHU Shengying1,2,CUI Pingyuan1,2
(1.Institute of Deep Space Exploration Technology,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China;2.Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vehicle,Ministry of Education,Beijing 100081,China)

This paper utilizes the data from the Mars atmosphere database and establishes a three-dimensional analytical atmospheric density model of Mars with the altitude,longitude and latitude as its input..The layered exponential model is adopted vertically.At horizontal direction,the reference density and reference altitude are assumed to be polynomial functions of longitude and latitude.The coefficients of the polynomial are obtained by surface fitting which is based on the method of least squares.Compared with the traditional exponential density model,the 3-D model proposed in this paper expresses the variation of density with not only altitude but also longitude and latitude.Compared with the Mars atmosphere data,the 3-D model has an analytical formulation and requires less calculation time.As long as the polynomial coefficients are stored in simulation,the real-time calculation and calling of the atmospheric density can be achieved,which applies to the ground real-time simulation.

Mars atmospheric density;3-D analytical model;layered exponential model;polynomial surface fitting

P185.3

:A

:2095-7777(2014)02-0117-06

2014-03-01;

2014-03-25

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(2012CB720000)