吳超,趙振華,楊俊,李世華,郭雷

(1.東南大學(xué)自動化學(xué)院,南京210096;2.北京航空航天大學(xué)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院,北京100191)

基于約束預(yù)測控制的火星大氣進(jìn)入軌跡跟蹤

吳超1,趙振華1,楊俊1,李世華1,郭雷2

(1.東南大學(xué)自動化學(xué)院,南京210096;2.北京航空航天大學(xué)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院,北京100191)

針對火星著陸任務(wù)大氣進(jìn)入段的軌跡跟蹤控制問題,給出了一種基于約束預(yù)測控制的跟蹤策略。綜合考慮大氣進(jìn)入段動力學(xué)模型的非線性、狀態(tài)初值的不確定性、控制量限幅約束以及參數(shù)攝動,設(shè)計(jì)了基于線性化階躍響應(yīng)預(yù)測模型、反饋校正和含約束滾動優(yōu)化的約束預(yù)測控制器,并通過數(shù)學(xué)仿真對該方法進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證,結(jié)果表明:約束預(yù)測控制較PID對參考指令跟蹤精度更高,開傘點(diǎn)誤差圓半徑遠(yuǎn)小于PID方法;能得到控制量限幅約束條件下平穩(wěn)的控制曲線。

約束預(yù)測控制;火星著陸;軌跡跟蹤;線性化預(yù)測模型

0 引言

近年來,火星探測已經(jīng)成為人類向深空探測的最熱點(diǎn)目標(biāo)之一[1]。在未來的火星探測任務(wù)中,將火星表面探測定在科學(xué)價(jià)值更高、地形更復(fù)雜的區(qū)域,成為必然的要求和趨勢[23],這就要求火星著陸器有更高的著陸精度。目前,有兩種火星大氣進(jìn)入導(dǎo)引方法:一是采用數(shù)值預(yù)測—校正技術(shù);二是跟蹤參考指令。Korzun等(2010)[4]比較了兩種方法:前者無需參考指令,較依賴于模型且需要很高的在線計(jì)算能力;后者不依賴于模型,不要求很高的在線計(jì)算能力,但是對初值不確定性較敏感,需要設(shè)計(jì)跟蹤控制器予以解決。仿真結(jié)果說明跟蹤參考指令的方法更適用于火星著陸任務(wù)?；鹦谴髿膺M(jìn)入軌跡跟蹤的目的,是在大氣進(jìn)入段引導(dǎo)著陸器到達(dá)一個(gè)設(shè)計(jì)好的開傘點(diǎn)。在大氣進(jìn)入段中存在著許多不確定性因素,主要是著陸器初始狀態(tài)的不確定性和火星大氣密度的攝動[58]。為了提高跟蹤精度,不少學(xué)者嘗試設(shè)計(jì)閉環(huán)控制律,其中Bhradwaj等(1998)[5]采用反饋線性化進(jìn)行火星大氣進(jìn)入軌跡跟蹤,在模型準(zhǔn)確的情況下精度較高,但是依賴于模型信息,在未知的不確定性因素作用下精度較低;Talole等(2007)[6]嘗試了用滑模觀測器的辦法消除不確定性的影響,精度有所提升,但是由于滑模本身的特點(diǎn),得到的控制量存在抖動,對傾側(cè)角偏轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)要求較高;Li等(2012)[7]采用了基于指令發(fā)生器的直接模型參考自適應(yīng)方法進(jìn)行跟蹤導(dǎo)引,將開傘點(diǎn)精度進(jìn)一步提升,但是得到的控制傾側(cè)角仍然具有很大的抖動;Xia等(2013)[8]采用自抗擾的方法進(jìn)行阻力跟蹤,獲得了較高的跟蹤精度,得到的控制輸入無抖動。

約束預(yù)測控制(Constrained predictive control, CPC)作為先進(jìn)控制方法在工業(yè)控制過程中得到了不斷發(fā)展[910]。CPC是基于模型的,能夠在允許的模型失配范圍內(nèi)得到優(yōu)化的軌跡跟蹤控制律,具有一定的魯棒性;CPC還能夠處理實(shí)際工業(yè)控制過程中普遍存在的約束,通過合理選擇滾動優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)得到一組變化不劇烈的控制量,從應(yīng)用角度上講具有重要意義;CPC還能夠容易地處理多變量系統(tǒng)。

基于CPC的方法應(yīng)用于火星著陸還存在一些困難和挑戰(zhàn),比如如何選取恰當(dāng)?shù)念A(yù)測模型、如何選取單輸入、多輸出模型的滾動優(yōu)化性能指標(biāo)式等。

因此,本文圍繞如何設(shè)計(jì)適用于火星大氣進(jìn)入的約束預(yù)測控制器進(jìn)行了一系列研究,首先建立了火星大氣進(jìn)入動力學(xué)模型;然后設(shè)計(jì)了基于線性化預(yù)測模型、反饋校正和含約束滾動優(yōu)化的約束預(yù)測控制器;最后進(jìn)行了仿真研究,仿真結(jié)果表明在初值不確定性和參數(shù)攝動下,約束預(yù)測控制較PID控制有更高的跟蹤精度。

1 火星大氣進(jìn)入動力學(xué)模型

1.1 MSL型著陸器幾何構(gòu)型

如圖1所示,火星科學(xué)實(shí)驗(yàn)室(Mars science laboratory,MSL)的幾何構(gòu)型為雙錐體,前端為減速傘形狀。著陸器設(shè)計(jì)時(shí),使質(zhì)心偏離自身軸線,從而使質(zhì)心偏離氣動壓心,保證著陸器在配平攻角的情況下飛行。

1.2 縱向動力學(xué)模型

MSL型火星著陸器的坐標(biāo)系統(tǒng)如圖2所示。

假設(shè)火星大氣相對于火星靜止,并且不考慮外風(fēng)的影響,則著陸器在大氣進(jìn)入段的縱向動力學(xué)模型為[7]

圖1 MSL型著陸器的幾何構(gòu)型Fig.1 Geometric configuration of MSL vehicle

圖2 火星著陸器的坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.2 Coordinate system of Mars lander

式中,[h vγs]T為狀態(tài)變量;u=cosσ為控制輸入;σ為傾側(cè)角;h和s為位置坐標(biāo),其中h為著陸器的高度,s為著陸器的航程;v和γ為速度坐標(biāo),其中v為著陸器速度的大小,γ為飛行路徑角;r為著陸器質(zhì)心距火星質(zhì)心的距離,滿足r=h+rM;rM為火星半徑;g為著陸器質(zhì)點(diǎn)處的火星重力加速度,可表示為

式中,μ為火星引力常數(shù);L和D分別為升力加速度和阻力加速度,滿足

式中,CL和CD分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù);Sr為參考面積;m為著陸器的質(zhì)量;ρ為著陸器質(zhì)點(diǎn)處的火星大氣密度,滿足

其中,ρ0為火星表面的大氣參考密度;hs為尺度因子。

1.3 著陸器跟蹤控制目標(biāo)

在實(shí)際的火星探測工程大氣進(jìn)入段過程中,式(1)表示的動力學(xué)模型的初值[h0v0γ0s0]T具有不確定性,并且參數(shù)ρ在整個(gè)進(jìn)入過程中存在攝動。在模型存在初值不確定性和參數(shù)攝動的情況下,需要設(shè)計(jì)控制器來跟蹤參考指令[hrsr]T;另外,由于控制傾側(cè)角的物理特性,控制量存在限幅約束,并且最好在整個(gè)進(jìn)入過程沒有頻繁的切換。

2 約束預(yù)測控制

一般的動態(tài)矩陣控制(dynamic matrix control, DMC)分為預(yù)測模型、反饋校正和滾動優(yōu)化。本文則采用了線性化預(yù)測模型和含約束滾動優(yōu)化,形成約束預(yù)測控制來跟蹤參考軌跡,如圖3所示。

圖3 火星大氣進(jìn)入軌跡跟蹤控制系統(tǒng)框圖Fig.3 Control structure of Mars entry trajectory tracking scheme

2.1 參考軌跡

控制量的參考軌跡可以采用在線快速軌跡規(guī)劃方法得到,用此優(yōu)化方法得到控制傾側(cè)角、高度、航程、速度的參考軌跡如圖4所示。

圖4 參考控制輸入、高度、航程和速度Fig.4 Reference control input,height,downrange and velocity

2.2 線性化預(yù)測模型

采用小擾動線性化方法處理式(1)所示的非線性運(yùn)動方程。

將式(1)寫成非線性方程組的一般形式

式中,x=[hvγs]T,取

為平衡操作點(diǎn),將式(5)在平衡操作點(diǎn)處利用泰勒級數(shù)展開并保留一次項(xiàng)得

整理式(6)即可得到用增量形式來描述的線性化模型

以高度h和航程s為輸出,結(jié)合式(7)可得線性化的狀態(tài)空間為

其中,A、B、C為線性化后的狀態(tài)空間,其中易知

由式(8)表示的線性化模型為單輸入、雙輸出,需要轉(zhuǎn)換為單輸入、雙輸出階躍響應(yīng)模型[10]。令s11(t),s21(t)分別為輸出y1=h,y2=s對輸入u的階躍響應(yīng),并且構(gòu)成動態(tài)矩陣

以T為采樣周期,N為建模時(shí)域,可以得到動態(tài)矩陣S(t)的離散時(shí)間序列模型

由線性系統(tǒng)的齊次性和疊加性,根據(jù)階躍響應(yīng)的動態(tài)矩陣離散時(shí)間序列和控制輸入的增量可得預(yù)測對象在k時(shí)刻的預(yù)測輸出值

式(11)即式(1)的線性化階躍響應(yīng)預(yù)測模型,其中j=1,2,…,P,P為預(yù)測時(shí)域;模型的預(yù)測輸出為

Δu(k+j—i)為k時(shí)刻之前的輸入序列增量,即“過去的輸入”;為k時(shí)刻之后的輸入序列增量,即“未來預(yù)測的輸入”。

2.3 反饋校正

由于參數(shù)不確定性帶來的模型失配以及模型外部干擾等影響,系統(tǒng)的預(yù)測輸出值需要在預(yù)測模型輸出的基礎(chǔ)上用實(shí)際輸出來修正。即在k時(shí)刻實(shí)施控制后,由式(9)表示的階躍響應(yīng)預(yù)測模型輸出和模型實(shí)際輸出得到經(jīng)過校正的預(yù)測模型輸出

2.4 含約束滾動優(yōu)化

基于階躍響應(yīng)的約束預(yù)測控制與無約束預(yù)測控制相比,其主要區(qū)別是前者增加了硬約束。所謂“硬”約束,即實(shí)際工程問題中絕不可以跨越的約束。故約束預(yù)測控制不能和無約束預(yù)測控制一樣通過令性能指標(biāo)是對ΔUM(k)的偏導(dǎo)數(shù)為零解析出最優(yōu)控制輸入ΔUMopt(k),而是需要針對需求構(gòu)造一個(gè)優(yōu)化命題,再調(diào)用通用的二次規(guī)劃(QP)尋優(yōu)算法來求解ΔUMopt(k)的數(shù)值解序列。

取優(yōu)化性能指標(biāo)函數(shù)

受控制量的限幅約束

其中,rP1(k),rP2(k)為參考模型輸出

其中,q11,q12,q21,q22,R1均為主對角線元素。然后調(diào)用QP算法可解出ΔUopt(k)的數(shù)值解。

3 仿真研究

火星大氣進(jìn)入軌跡跟蹤仿真分為式(1)表示的控制對象模塊和式(11)～(15)表示的控制器模塊。

3.1 控制對象模塊

模型中所涉及的基本參數(shù)取值如表1所示。假設(shè)著陸器進(jìn)入時(shí)刻的初始狀態(tài)不確定性誤差服從正態(tài)分布并符合3σ原則,如表2所示。除狀態(tài)初值具有不確定性外,大氣密度也存在不確定性。假設(shè)火星大氣密度攝動15%,誤差服從正態(tài)分布并符合3σ原則[5]。

表1 火星、火星大氣及著陸器參數(shù)[11]Table 1 Parameters of Mars,its atmosphere and entry vehicle

表2 著陸器初始狀態(tài)及不確定性誤差Table 2 Initial states and errors of the vehicle

對運(yùn)動方程的小擾動線性化結(jié)果為

3.2 控制器模塊

結(jié)合預(yù)測控制參數(shù)設(shè)計(jì)理論和工程經(jīng)驗(yàn)反復(fù)試湊,設(shè)計(jì)出約束預(yù)測控制的相關(guān)參數(shù)如表3所示。本文將約束預(yù)測控制的控制結(jié)果和傳統(tǒng)的PID方法進(jìn)行了對比,PID參數(shù)調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)如表4所示。

表3 約束預(yù)測控制參數(shù)設(shè)計(jì)一覽Table 3 Control of parameters of CPC

表4 PID控制參數(shù)設(shè)計(jì)一覽Table 4 Control parameters of PID

約束預(yù)測控制和PID方法都是在同樣的控制限幅下設(shè)計(jì)的。參數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)都用到了試湊的辦法,在仿真試湊時(shí)要兼顧快速性和超調(diào)等不同指標(biāo),得到相對較優(yōu)的閉環(huán)性能。

3.3 仿真結(jié)果

對以上模塊進(jìn)行500次蒙特卡洛仿真,約束預(yù)測控制和PID控制下開傘點(diǎn)分布誤差如圖5和圖6所示,約束預(yù)測控制下某次不確定性仿真的控制輸入、高度、速度及航程如圖7所示,此組不確定性參數(shù)設(shè)置為:h,v,γ的實(shí)際初值分別是500 m、2.5 m/s和0.05°,大氣密度ρ攝動10%。

對比圖5和圖6可以發(fā)現(xiàn),在狀態(tài)初值具有不確定性且大氣密度攝動的情況下,實(shí)際開傘點(diǎn)大致沿著航向分布,約束預(yù)測控制300次開傘點(diǎn)誤差圓半徑為16 km,而采用傳統(tǒng)PID控制的誤差圓半徑則為95 km。這說明約束預(yù)測控制在模型初值攝動、參數(shù)攝動情況下對參考指令跟蹤精度更高。

圖7中的控制輸入在限幅約束下曲線平穩(wěn),無劇烈抖動的現(xiàn)象,高度誤差和航程誤差為近1 km和6 km?？梢娂s束預(yù)測控制在具有不確定性的情況下,對高度和航程進(jìn)行了較高精度的跟蹤,這是由于約束預(yù)測控制基于實(shí)際輸出對預(yù)測輸出進(jìn)行了反饋校正,并且在校正后進(jìn)行滾動優(yōu)化得到了控制輸入。

圖5 約束預(yù)測控制下開傘點(diǎn)分布誤差Fig.5 Parachute point distribution error under CPC

圖6 PID控制下開傘點(diǎn)分布誤差Fig.6 Parachute point distribution error under PID

4 結(jié)論

本文研究基于約束預(yù)測控制的火星大氣進(jìn)入段軌跡跟蹤控制,主要工作和結(jié)論如下:

1)針對火星大氣進(jìn)入段動力學(xué)模型的初值不確定性和參數(shù)攝動,構(gòu)建了基于約束預(yù)測控制的跟蹤控制框架。仿真結(jié)果表明,該方法能夠以較高的精度跟蹤參考指令,開傘點(diǎn)誤差圓半徑為16 km;

2)對比傳統(tǒng)PID控制方法,結(jié)果表明,針對初值不確定性和參數(shù)攝動,本文的方法具有更高的控制精度,并且能夠得到限幅約束條件下平穩(wěn)的控制曲線。

圖7 某次仿真的控制輸入、高度、速度及航程Fig.7 Control input,height,downrange and velocity curve

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通信地址:江蘇省南京市四牌樓2號東南大學(xué)中心樓605室(210096)

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[責(zé)任編輯:高莎]

Mars Entry Trajectory Tracking Using Constrained Predictive Control

WU Chao1,ZHAO Zhenhua1,YANG Jun1,LI Shihua1,GUO Lei2
(1.School of Automation,Southeast University,Nanjing 210096,China;2.School of Automation Science and Electrical Engineering,Beihang University,Beijing 100191,China)

Aiming at tracking the vehicle's entry optimized trajectory for Mars Landing,a new method based on constrained predictive control is proposed.The vehicle's nonlinear dynamics,the initial state uncertainties, saturation limit of the control input and the parameter perturbation are taken into consideration synthetically.A constrained predictive control(CPC)is developed which consists of a linearized step-response predictive model, feedback correction and constrained rolling optimization.The simulation results indicate that:constrained predictive control has a more accurate guidance command tracking performance compared with the PID method,therefore its radius error at the parachute deploying point is far smaller than that of the PID method;a smooth control curve can be obtained under the saturation constraint of the control input.

constrained predictive control;Mars landing;trajectory tracking;linearized predictive model

V17

:A

:2095-7777(2014)02-0128-06

吳超(1988—),男,碩士,主要研究方向:飛行器、導(dǎo)彈、衛(wèi)星等飛行控制系統(tǒng)的先進(jìn)控制方法研究。

2014-01-15;

2014-02-27

深空探測973項(xiàng)目(2012CB720003)