姚 諫，盧哲剛

（1.浙江樹人大學(xué) 城建學(xué)院，杭州 310015；2.浙江大學(xué) 結(jié)構(gòu)工程研究所，杭州 310058；3.浙江綠城建筑設(shè)計有限公司，杭州 310007；）

RL型截面冷彎薄壁型鋼的畸變屈曲荷載算式

姚 諫1，2，盧哲剛2，3

（1.浙江樹人大學(xué) 城建學(xué)院，杭州 310015；2.浙江大學(xué) 結(jié)構(gòu)工程研究所，杭州 310058；3.浙江綠城建筑設(shè)計有限公司，杭州 310007；）

為了對RL型截面冷彎薄壁型鋼的畸變屈曲作進一步研究，以既有研究成果為基礎(chǔ)，根據(jù)廣義梁理論推導(dǎo)了兩端簡支和固支邊界條件下RL型截面冷彎薄壁型鋼的畸變屈曲荷載計算式。通過求解矩陣的廣義特征值，利用推導(dǎo)的算式計算RL型截面型鋼構(gòu)件在軸壓、繞弱軸和強軸彎曲下的畸變屈曲荷載和屈曲半波長，并與有限條軟件CUFSM分析結(jié)果和既有理論公式的解相比，結(jié)果表明所得算式具有較高的精度。公式推導(dǎo)過程和結(jié)論可以為工程設(shè)計和進一步研究中計算畸變屈曲荷載提供參考。

冷彎薄壁型鋼；RL型截面；廣義梁理論；荷載

畸變屈曲作為控制冷彎薄壁型鋼設(shè)計的一種重要屈曲模式，得到了研究人員的高度關(guān)注和廣泛研究。迄今為止，研究最多的發(fā)生畸變屈曲的典型截面有以下3種：普通卷邊槽型或卷邊Z型（以下簡稱C或Z型）、帶后翼緣的槽型（以下簡稱RA型［1］）和帶后翼緣與后卷邊的槽型（以下簡稱RL型［1］）。對于筆者研究的RL型截面（見圖1），文獻［2］基于穩(wěn)定理論，給出了軸心壓力作用下兩端簡支構(gòu)件的畸變屈曲荷載計算式；文獻［3］采用與文獻［2］相同的模型，對腹板提供給翼緣的轉(zhuǎn)動約束剛度進行深入的研究，給出了兩端簡支的RL型截面構(gòu)件在軸心壓力和繞弱軸彎矩作用下的畸變屈曲荷載簡化計算式。已有的對C或Z型、RA型截面的研究中［4－11］，廣義梁理論（Generalized Beam Theory，以下簡稱GBT）給出的計算結(jié)果?？梢宰鳛槠渌芯康木_解，文獻［4］、［12-15］給出了 C或Z型、RA 型截面在多種邊界和荷載情況下的畸變屈曲荷載計算公式，但對于RL型截面目前仍沒有相應(yīng)的計算式。筆者根據(jù)GBT的基本原理，推導(dǎo)了兩端簡支和固支的RL型截面構(gòu)件，在軸心壓力、繞弱軸和強軸彎矩作用下的計算式。需要說明的是，筆者基于GBT給出的RL截面構(gòu)件的計算式與文獻［14］給出的RA型截面計算式一樣，其中包括一個求解10×10階廣義特征值的過程，通常需借助軟件（如 Matlab）完成，因此也屬于準解析的計算式。

圖1 3種典型截面示意圖

1 RL截面基于GBT的計算公式

GBT最早是由Schardt提出的，用于分析冷彎薄壁構(gòu)件的穩(wěn)定［16］，它將構(gòu)件的屈曲模態(tài)分解為一系列橫截面變形模態(tài)（包括整體、畸變和局部屈曲）的線性組合。當一些模態(tài)的作用不顯著時，GBT可以選擇性地對作用顯著的模態(tài)進行研究。

對于每一個模態(tài)，都有以下平衡方程［3，5］

式中：x為構(gòu)件縱向坐標；函數(shù)φj（x）為模態(tài)j對應(yīng)的沿構(gòu)件縱向的振幅函數(shù)；E、G為彈性模量和剪切模量；Cij、Dij、Bij分別為與屈曲時的模態(tài)i、j相關(guān)的截面翹曲常數(shù)、扭轉(zhuǎn)常數(shù)、橫向彎曲剛度，Xkij為與屈曲前模態(tài)k、屈曲時模態(tài)i、j相關(guān)的幾何剛度，Wk為截面應(yīng)力合力，分別按式（2）計算。

式中：t、K 為板件的厚度和彎曲剛度（K＝Et3／［12（1－v2）］）；s為沿截面板厚中線的曲線坐標；c為沿曲線坐標的截面周長。u、v、w為沿x、s、z坐標的位移，如圖2所示。

圖2 構(gòu)件坐標示意圖

對于RL型截面構(gòu)件，在軸向壓力、繞截面弱軸或強軸的彎矩作用下發(fā)生畸變屈曲時，圖3所示模態(tài)（對稱S、反對稱D）是截面畸變過程中的主要模態(tài)，即包括翼緣、卷邊、后翼緣及后卷邊4塊板件的畸變。采用伽遼金法求解相應(yīng)的平衡微分方程，求解時不同邊界條件下構(gòu)件位移函數(shù)的選取可參考文獻［14］。限于篇幅，筆者直接給出構(gòu)件畸變屈曲荷載計算式的表達式。

圖3 RL型截面畸變的主要模態(tài)

1）對于軸心受壓柱，相關(guān)的屈曲模態(tài)主要為S。對于兩端簡支和固支的構(gòu)件，屈曲荷載的表達式均可寫為

式中：μB、μC為與構(gòu)件變形相關(guān)的參數(shù)，取決于描述振幅函數(shù)的選取，與構(gòu)件的邊界條件和屈曲半波數(shù)n有關(guān)，而CS、DS、BS（為了與文獻［12-15］中的命名統(tǒng)一，分別為CSS、DSS、BSS的簡寫）分別為對應(yīng)模態(tài)S的翹曲常數(shù)、扭轉(zhuǎn)常數(shù)和橫向彎曲剛度。

當構(gòu)件兩端簡支時，對式（3）關(guān)于構(gòu)件長度L求導(dǎo)，即d P／d L＝0，可得構(gòu)件的屈曲半波長和屈曲荷載的最小值為

式中XS為X1SS的簡寫，為軸向荷載下與模態(tài)S相關(guān)的幾何剛度。

2）對于受彎構(gòu)件，當構(gòu)件繞弱軸彎曲時，相關(guān)的主要屈曲模態(tài)也為S，屈曲荷載和半波長計算與軸心受壓柱相同，僅幾何剛度XIIS的計算略有差異（見本文第2.2節(jié)，XIIS為繞截面弱軸（Ⅱ軸）彎曲時與模態(tài)S相關(guān)的幾何剛度）。當構(gòu)件繞強軸彎屈曲時，相關(guān)的主要屈曲模態(tài)為S＋D組合，對于簡支和固支的構(gòu)件，其屈曲荷載的表達式也均可寫為

當構(gòu)件兩端簡支時，由于對式（5）求導(dǎo)較為麻煩，文獻［14］提出下式計算畸變屈曲時半波長（誤差很小，一般≤1%）：

此時的屈曲荷載可用式（6）的計算結(jié)果帶入式（5）求得。對于兩端固支的構(gòu)件，由于構(gòu)件發(fā)生畸變屈曲時，沿構(gòu)件長度的半波數(shù)與構(gòu)件長度等因素有關(guān)，可以根據(jù)伽遼金法假設(shè)的位移函數(shù)以及發(fā)生屈曲時的荷載來加以確定。

式（3）～（6）中的參數(shù)μB、μC可按下列取值：

1）對于兩端簡支的構(gòu)件，采用正弦的振幅函數(shù)可以得到屈曲荷載的精確解［3］，參數(shù)μB、μC表達式為

2）對于兩端固支的構(gòu)件，其屈曲荷載隨構(gòu)件長度變化而變化，通過假定的位移函數(shù)，再利用式（3）或（5），可以得到屈曲荷載的近似解［15］，參數(shù)μB、μC表達式為

2 RL截面的參數(shù)確定

計算構(gòu)件的畸變屈曲荷載時，截面的翹曲常數(shù)CS、CD，扭轉(zhuǎn)常數(shù)DS、DD以及彎曲剛度BS、BD的計算只與截面尺寸參數(shù)有關(guān)，而幾何剛度XS、、還與屈曲前的荷載情況有關(guān)。采用軟件Matlab推導(dǎo)這些參數(shù)的計算表達式，在此之前，需先求解一個廣義特征值問題，以求得S、D模態(tài)下RL截面10個節(jié)點的廣義翹曲位移。

2.1 節(jié)點位移

計算步驟如下：

1）初始形函數(shù)uk（s）。選取方法為依次在RL型截面各個節(jié)點上施加單位翹曲位移uk＝－1，在相鄰節(jié)點間線性分布，且uk－1＝uk＋1＝0。圖4為在節(jié)點5上施加單位翹曲位移的示意。

圖4 初始形函數(shù)施加示意圖

3）根據(jù)式（2）和假設(shè)的初始形函數(shù)積分計算矩陣［C］，結(jié)果見附錄。根據(jù)式（9）計算矩陣［B］。此處矩陣［B］、［C］都是高度耦合的矩陣，并且只用于截面參數(shù)分析。

2.2 截面參數(shù)計算公式

利用上述節(jié)點位移計算表達式，由式（2）可得橫截面力學(xué)參數(shù)CS、BS、DS和CD、BD、DD（γ＝1、－1，下標分別為S、D）為

表1 截面軸向位移U 1～U 5的取值

3 計算式驗證

為了驗證得到的計算式的正確性，把計算式得到的結(jié)果與有限條軟件CUFSM的分析結(jié)果進行比較。CUFSM軟件是用于兩端簡支的冷彎薄壁構(gòu)件的計算程序［17－18］，通過把構(gòu)件長度劃分得足夠精細，可以準確地分析具有各種形式截面（開口或閉口）構(gòu)件的屈曲行為，所以把其計算結(jié)果作為精確解，與計算式的計算結(jié)果以及文獻［2］和［3］給出算式的計算結(jié)果比較。由于CUFSM無法計算兩端固支的構(gòu)件，以下主要比較兩端簡支構(gòu)件的計算結(jié)果。所有算例的截面如表2所示，截面厚度均為1.0 mm。

表2 RL型截面尺寸 mm

對于給定截面，先利用Matlab或者Maple軟件求解一個廣義特征值問題，依據(jù)附錄計算矩陣［B］、［C］，由式（10）求解得到相對于模態(tài)S和D的特征值以及相應(yīng)的特征向量，特征向量即為S、D模態(tài)截面各節(jié)點的廣義翹曲位移。軸壓下構(gòu)件發(fā)生畸變屈曲時主要模態(tài)為S，根據(jù)式（12）～（16）可計算得S模態(tài)下的向量｛u｝、｛m｝、｛v｝、｛φ｝、｛w｝，進一步可計算得到截面參數(shù)CS、BS、DS以及XS。最后，根據(jù)邊界條件求取構(gòu)件的畸變屈曲荷載：當兩端簡支時，按式（4）計算構(gòu)件的屈曲臨界荷載和屈曲半波長；當兩端固支時，需利用式（3），假設(shè)屈曲半波長為L／n替代式中的L，并分別取屈曲半波數(shù)n＝1，2，3…，計算得到的最小值即為構(gòu)件的畸變屈曲荷載。繞截面強軸或弱軸彎曲時的計算大致與上述過程相同，此處不再贅述。

表3和表4分別給出了構(gòu)件軸心受壓、繞截面弱軸彎曲和繞截面強軸彎曲時畸變屈曲荷載的計算結(jié)果與比較。

表3 軸心受壓時計算結(jié)果比較 N

從表3可知，與CUFSM提供的精確解相比，筆者算式、文獻［2］算式以及文獻［3］算式的精度都比較高，計算數(shù)據(jù)誤差在5%以內(nèi)，筆者算式誤差在3%以內(nèi)，計算精度更高。

而根據(jù)表4的對比可見，構(gòu)件繞弱軸彎曲屈曲時，筆者算式與文獻［3］簡化公式的精度都較高，最大誤差均在2%以內(nèi)。但筆者算式同時可用于計算兩卷邊寬度bs與ba不等的情況，并具有較高的精度。對繞強軸彎曲屈曲的情況，筆者算式除個別截面的誤差達8%外，計算精度仍然比較高。

表4 繞弱軸彎曲、繞強軸彎曲時計算結(jié)果比較N·m

使用基于GBT的算式和CUFSM軟件計算屈曲半波長時會發(fā)現(xiàn)，構(gòu)件在軸心受壓和繞弱軸彎曲下屈曲半波長與繞強彎曲下的屈曲半波長相比略大。這與文獻［3］、［19］等對于C型截面的研究結(jié)果是一致的。表5僅給出軸心受壓時屈曲半波長的數(shù)值。

由表5可見，基于GBT的計算公式與文獻［3］給出的簡化公式的結(jié)果都非常精確，誤差均在1%以內(nèi)，而文獻［2］公式給出的結(jié)果最大誤差為9%，偏差相對較大。

表5 屈曲半波長計算結(jié)果比較

4 結(jié)論

根據(jù)廣義梁理論的基本原理，推導(dǎo)了帶后翼緣與后卷邊的槽型（RL型）截面冷彎薄壁型鋼構(gòu)件在軸心受壓、繞弱軸彎曲或強軸彎曲時發(fā)生彈性畸變屈曲的臨界荷載計算式。算式包括了兩端簡支和固支2種邊界條件。通過與有限條結(jié)果以及既有理論公式的計算結(jié)果比較分析，表明筆者推導(dǎo)提出的計算式具有較高的精度，且算式形式較為簡單。

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［19］程捷.冷彎薄壁卷邊截面受彎構(gòu)件的畸變屈曲［D］.杭州：浙江大學(xué)，2010.

附錄A

［F］、［C］為對稱矩陣，［w··］為非對稱矩陣，其中各元素表達式為

（編輯 胡英奎）

Distortional Buckling Formulae of Cold-Formed Thin-Walled Rack Members Upright with Rear Flange and Additional Lip Stiffeners

Yao Jian1，2，Lu Zhegang2，3

（1.College of Urban Construction，Zhejiang Shuren University，Hangzhou 310015，P.R.China；2.Institute of Structural Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310058，P.R.China；3.Zhejiang Greentown Architectural Design Co，Ltd，Hangzhou 310007，P.R.China）

According to the generalised beam theory based on the exist studies，the aim of this paper is to derive the distortional buckling formulae of pined or fixed cold-formed thin-walled rack members upright with rear flanges and additional lip stiffeners.The formulae is adopted to calculate the distortional buckling load and the buckling half-wave length of the member subjected to axial compression or minor and major axis bending.Meanwhile，the results are compared to those of finite strip program CUFSM and other analytical formulae.The derived formulae is proved to be accurate enough.As a result，it may be directly used in practical design as well as further study.

cold-formed thin-walled section；rack section upright with rear flange and additional lip stiffener；generalised beam theory；loads

TU318

A

1674-4764（2014）02-0006-08

10.11835／j.issn.1674-4764.2014.02.002

2013-02-21

浙江省科技計劃項目（2011C31006）；教育部博士學(xué)科點專項科研基金（J20120118）

姚 諫（1958-），男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、FRP研究，（E-mail）yaojian58＠hzcnc.com。