劉 凱，申小敏，陳志江

(廣東工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，廣州 510006)

電力系統(tǒng)無功優(yōu)化一直是電力系統(tǒng)研究的重要內(nèi)容之一，其主要研究內(nèi)容是在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)與負(fù)荷分布確定的情況下，通過對某些控制變量的優(yōu)化計(jì)算，使該系統(tǒng)的性能在滿足特定約束條件的前提下達(dá)到最優(yōu)。無功優(yōu)化是一個(gè)多目標(biāo)、多約束、動(dòng)態(tài)且具有不確定性的非線性規(guī)劃問題［1］。它一般涉及到選擇無功補(bǔ)償?shù)牡攸c(diǎn)，投切無功補(bǔ)償容量，調(diào)節(jié)變壓器分接頭位置和選擇合適的發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓等［2］。其中，發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓是連續(xù)的控制變量，而有載調(diào)壓變壓器分接頭的檔位與投切的電容組數(shù)卻是離散的控制變量，使無功優(yōu)化求解過程變得十分復(fù)雜。然而，隨著電力系統(tǒng)不斷發(fā)展，無功優(yōu)化正逐漸應(yīng)用于電力系統(tǒng)運(yùn)行各個(gè)領(lǐng)域，并對其優(yōu)化方案和控制手段的要求越來越嚴(yán)格。因此，對現(xiàn)有的無功優(yōu)化算法進(jìn)行改進(jìn)和拓展迫在眉睫。

1 無功優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

無功優(yōu)化數(shù)學(xué)模型是在系統(tǒng)安全運(yùn)行和發(fā)電機(jī)組運(yùn)行約束條件的前提下，以系統(tǒng)有功網(wǎng)損Ploss最小、電壓的偏移量dv最小和靜態(tài)電壓穩(wěn)定裕度VSM最大為目標(biāo)所建立的多目標(biāo)數(shù)學(xué)模型，該模型表達(dá)式如下［3－4］:

式中:Gij為節(jié)點(diǎn)i、j之間的電導(dǎo);Vi和Vj分別為節(jié)點(diǎn)i、j的電壓幅值;θij為節(jié)點(diǎn)i、j之間的電壓相角差;Vl為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)l的實(shí)際電壓;VN為標(biāo)準(zhǔn)電壓;ΔVmaxl為最大允許電壓偏差，其中為系統(tǒng)的負(fù)荷節(jié)點(diǎn)數(shù)。

上述多目標(biāo)的對應(yīng)約束條件包含潮流方程等式約束、電壓幅值約束、無功補(bǔ)償容量、變壓器抽頭位置和無功出力等不等式約束。

2 傳統(tǒng)的無功優(yōu)化算法在無功優(yōu)化中的應(yīng)用

在20世紀(jì)60年代后，許多運(yùn)籌學(xué)上的優(yōu)化方法都在最優(yōu)潮流計(jì)算中得到了研究和應(yīng)用。優(yōu)化方法主要有非線性規(guī)劃法、線性規(guī)劃法、混合整數(shù)規(guī)劃法以及動(dòng)態(tài)規(guī)劃法四大類。另外，比較常用的經(jīng)典算法有:簡化梯度算法、牛頓法、和內(nèi)點(diǎn)法。

2．1 簡化梯度法

1968年，H．W．Dommel和 W．F．Tinney第一次將簡化梯度法［5］引入到求解最優(yōu)潮流問題，此算法的出現(xiàn)對后來無功優(yōu)化的研究產(chǎn)生了較大的影響。它以極坐標(biāo)形式的牛頓－拉弗遜潮流計(jì)算為基礎(chǔ)，首先運(yùn)用拉格朗日乘子來處理等式約束條件，接著再運(yùn)用Kuhn－Tucke罰函數(shù)來處理不等式約束條件，最后沿控制變量的負(fù)梯度方向?qū)?yōu)。但是，簡化梯度法在接近最優(yōu)點(diǎn)時(shí)會(huì)出現(xiàn)鋸齒現(xiàn)象，導(dǎo)致收斂性差，且每次迭代都要重新計(jì)算潮流。對此，文獻(xiàn)［6］提出了修正的簡化梯度法，并引入一個(gè)近似的簡化海森矩陣的逆矩陣來修正負(fù)簡化梯度，該方法不僅減少了計(jì)算量，避免了數(shù)值穩(wěn)定性問題的求逆過程，而且具有比簡化梯度法更快的收斂速度。文獻(xiàn)［7］提出了一種改進(jìn)的簡化梯度法，該方法結(jié)合簡化梯度法和共軛梯度法，充分利用了各自算法的優(yōu)點(diǎn)，克服了梯度法的很多不足，加快了計(jì)算速度。尤其在接近最優(yōu)點(diǎn)時(shí)，運(yùn)用該方法能得到較好的收斂效果。

2．2 牛頓法

在20世紀(jì)80年代，不少國內(nèi)外專家開始提出用牛頓法求解最優(yōu)潮流問題。牛頓法是基于非線性規(guī)劃的拉格朗日乘數(shù)法，把拉格朗日函數(shù)的二次導(dǎo)數(shù)組成的海森矩陣與網(wǎng)絡(luò)等式方程的一次導(dǎo)數(shù)組成的雅克比矩陣再用牛頓法聯(lián)立求解。牛頓法收斂速度較快，收斂性較好，而且適合應(yīng)用于節(jié)點(diǎn)數(shù)很多的大電網(wǎng)［8］。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［9］對牛頓法最優(yōu)潮流進(jìn)行了改進(jìn)，將發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)的有功功率、無功功率以及補(bǔ)償?shù)臒o功作為狀態(tài)量，簡化了不等式約束的處理。改進(jìn)的牛頓法不需要罰函數(shù)法，這使得算法程序?qū)崿F(xiàn)更簡捷快速，但該方法不能有效地處理無功優(yōu)化中大量不等式條件的約束。文獻(xiàn)［10］提出了一種新的基于非線性互補(bǔ)問題函數(shù)(NCP)的半光滑牛頓方法。通過引入NCP函數(shù)，不僅能夠增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性，而且能有效處理無功優(yōu)化模型中的不等式約束問題。

2．3 內(nèi)點(diǎn)法

美國專家Karmarkar在1984年提出了一個(gè)線性規(guī)劃的內(nèi)點(diǎn)法，20世紀(jì)90年代開始把它應(yīng)用到電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流的優(yōu)化中。內(nèi)點(diǎn)法是拉格朗日函數(shù)、牛頓法和對數(shù)障礙函數(shù)法3種方法的組合，該方法不僅繼承了牛頓法的優(yōu)點(diǎn)，而且解決了牛頓法不可避免的試驗(yàn)迭代。然而，如何探測與處理優(yōu)化過程中的不可求解的問題是內(nèi)點(diǎn)法的一個(gè)難點(diǎn)。文獻(xiàn)［11］中提出了原－對偶內(nèi)點(diǎn)法最優(yōu)潮流方法，它繼承了牛頓法的超稀疏性，克服了牛頓法無法跨越的預(yù)估違約約束和迭代過程等缺點(diǎn)，從而使編程簡單，計(jì)算量小，計(jì)算速度快。文獻(xiàn)［12］在常規(guī)的非線性原－對偶內(nèi)點(diǎn)法的基礎(chǔ)上對修正方式進(jìn)行了快速解耦和系數(shù)矩陣的常數(shù)化，提高了其收斂速度與算法穩(wěn)定性，但高階修正方程的求解是制約內(nèi)點(diǎn)法的一個(gè)瓶頸。

3 現(xiàn)代人工智能搜索算法在無功優(yōu)化中的應(yīng)用

由于傳統(tǒng)的優(yōu)化算法在不同程度上都存在著一些問題。例如，對離散變量的處理缺乏指導(dǎo)性，而且經(jīng)常求得的是局部最優(yōu)解。因此，不少專家學(xué)者逐漸把研究系統(tǒng)無功優(yōu)化方法轉(zhuǎn)向人工智能搜索算法?，F(xiàn)代人工智能搜索算法的優(yōu)點(diǎn)是其所具有的“魯棒性”對無功優(yōu)化問題提供了較為可靠的解。當(dāng)今常用的現(xiàn)代智能搜索算法有遺傳算法、粒子群算法、多智能體算法等。

3．1 遺傳算法

在20世紀(jì)70年代初期，遺傳算法由美國密執(zhí)安大學(xué)的Holland．J．H教授提出，在20世紀(jì)80年代末到90年代初開始運(yùn)用到電氣系統(tǒng)無功優(yōu)化求解問題當(dāng)中。遺傳算法是把自然界中基于自然遺傳和自然選擇的理論引入到數(shù)學(xué)理論中來而開拓的一種全新尋優(yōu)算法。它是一種自適應(yīng)全局優(yōu)化搜索算法，在解決多變量、非線性、不連續(xù)和多約束的問題上顯示了其獨(dú)特的優(yōu)勢，即對求解信息要求較少、建模簡單、適用領(lǐng)域非常廣泛。其主要的缺點(diǎn)是“早熟收斂”及收斂速度較慢。因此，為了改善遺傳算法的性能，各種改進(jìn)的算法也應(yīng)運(yùn)而生，其中包括編碼方式、適應(yīng)度函數(shù)、選擇操作、交叉操作和變異操作，并且這些算法還與其他算法進(jìn)行組合，進(jìn)行優(yōu)勢互補(bǔ)。文獻(xiàn)［13］針對無功優(yōu)化中具有連續(xù)性和離散性的特點(diǎn)，對原始的遺傳算法編碼方式交叉算子和變異算子進(jìn)行了重新的選取，提出了一種改進(jìn)自適應(yīng)變異概率遺傳算法，通過在算法后期加大變異概率，增大種群多樣性。在典型自適應(yīng)變異概率的基礎(chǔ)上，考慮算法所處的階段，改進(jìn)自適應(yīng)變異概率遺傳算法，既能保持典型自適應(yīng)概率較快收斂的特性，又通過在算法后期產(chǎn)生的更多新基因維持種群多樣性，它能保持較快收斂的特性并具有更強(qiáng)的尋優(yōu)能力。通過以往電網(wǎng)實(shí)例的優(yōu)化計(jì)算結(jié)果表明，在網(wǎng)絡(luò)電壓質(zhì)量提高時(shí)，系統(tǒng)的有功損耗也明顯降低了。如文獻(xiàn)［14］提出了在不同優(yōu)化階段，構(gòu)造分階段適應(yīng)性函數(shù)，對目標(biāo)函數(shù)的每個(gè)罰因子采用不同的權(quán)重，并且引入了選擇式雜交方式等改進(jìn)措施。仿真結(jié)果表明，組合的算法大大提高了計(jì)算的尋優(yōu)速度與收斂精度。文獻(xiàn)［15］提出了一種基于遺傳算法和內(nèi)點(diǎn)法的無功優(yōu)化混合策略，它不考慮無功優(yōu)化中的離散約束，首先采用內(nèi)點(diǎn)法求解得到初始解，再針對種群個(gè)體的不同特點(diǎn)，分別對遺傳算法和內(nèi)點(diǎn)法進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，使兩者的優(yōu)化結(jié)果互為基礎(chǔ)，相互利用，從而確保了混合策略的整體尋優(yōu)效率。文獻(xiàn)［16］提出了一種改進(jìn)小生境遺傳算法來克服小生境遺傳算法中小生境難以確定的不足，改善遺傳算法容易陷入局部收斂和早熟的缺點(diǎn)。算法通過模糊動(dòng)態(tài)聚類方法實(shí)現(xiàn)小生境種群的劃分，形成小生境進(jìn)化環(huán)境，再利用適應(yīng)度共享技術(shù)調(diào)整小生境內(nèi)個(gè)體的適應(yīng)度，由此提高全局搜索能力;運(yùn)用隔代小生境共享機(jī)制、最優(yōu)個(gè)體鄰域搜索及保留策略，改善了算法的計(jì)算速度和收斂速度。對節(jié)點(diǎn)算例進(jìn)行了優(yōu)化計(jì)算和分析，結(jié)果表明該算法在應(yīng)用電力系統(tǒng)無功優(yōu)化問題當(dāng)中，具有穩(wěn)定、高效、更好的全局尋優(yōu)能力等優(yōu)點(diǎn)。根據(jù)生物免疫原理，文獻(xiàn)［17］提出了一種免疫遺傳算法，它具有抗原識(shí)別、記性功能、抗體的抑制和促進(jìn)等顯著特點(diǎn)。免疫算法將目標(biāo)函數(shù)與約束條件當(dāng)作抗原，把所求問題的解當(dāng)作抗體。該算法通過親和度的計(jì)算來評(píng)價(jià)抗體并促進(jìn)或抑制抗體的產(chǎn)生，以減少進(jìn)化過程中陷入局部最優(yōu)解的可能性;通過抗原的記憶功能，很好地保持了個(gè)體的多樣性。將人工免疫系統(tǒng)中抗體多樣性等特點(diǎn)再融入到遺傳算法中，形成改進(jìn)免疫遺傳算法(IGA)［18］，它采用保優(yōu)抗體中的免疫疫苗，接種最佳基因的新方法，加快了計(jì)算速度，克服了早熟現(xiàn)象，從而提高了局部搜索能力，避免陷入局部最優(yōu)，加快了計(jì)算的速度。

3．2 粒子群算法

粒子群算法是近些年新興的一類基于群智能的隨機(jī)優(yōu)化算法，它是由 Kennedy和 Eberhart在1995年提出的一種模擬鳥群覓食過程中遷徙和群集行為的智能算法［19］。該算法是一種新興的隨機(jī)進(jìn)化搜索算法，具有并行處理特征、魯棒性強(qiáng)、容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。粒子群優(yōu)化算法(PSO)在搜索的初期收斂速度非?？?，在后期容易陷入局部最優(yōu)，這是普通PSO算法的一個(gè)主要缺點(diǎn)。針對傳統(tǒng)粒子群優(yōu)化算法早熟與后期收斂速度慢的缺點(diǎn)，文獻(xiàn)［20］提出一種并行自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法，該算法首先將初始種群隨機(jī)劃分成若干個(gè)子群，然后分別在各子群中提出不同的方法尋優(yōu)，從而實(shí)現(xiàn)了所有子群的并行尋優(yōu)計(jì)算。為避免各子群陷入局部極值點(diǎn)，再采用二值交叉算子使各子群間的信息共享并更新相關(guān)粒子位置，在維持了種群的多樣性同時(shí)保證了算法的全局搜索能力。各子群尋優(yōu)過程中，根據(jù)利己、利他及自主三個(gè)方向?qū)Ξ?dāng)前搜索方向自適應(yīng)更新，極大地提高了算法的收斂速度。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［21］又提出了一種基于向量評(píng)價(jià)的自適應(yīng)粒子群算法來解決多目標(biāo)無功優(yōu)化問題。該算法首先解得問題的Pateto最優(yōu)解集，再從Pateto最優(yōu)解集中采用基于決策者偏好及投影尋蹤聚類模型來進(jìn)行不同量綱的多目標(biāo)整合，最終選取到合適的最優(yōu)解，進(jìn)而使結(jié)果更加真實(shí)可靠。對于有著許多控制變量的大規(guī)模實(shí)際電網(wǎng)來說，控制變量分布在不同區(qū)域使得無功優(yōu)化問題的求解變得復(fù)雜?；诖耍墨I(xiàn)［22］采用分層控制中的分解－協(xié)調(diào)思想，將大規(guī)模的系統(tǒng)分解成若干個(gè)小系統(tǒng)來單獨(dú)優(yōu)化。子系統(tǒng)應(yīng)用協(xié)同進(jìn)化原理，使其對應(yīng)的解逐漸逼近原問題的最優(yōu)解。它將大系統(tǒng)的高維解空間分為多個(gè)低維解集的組合。結(jié)果證明，此方法降低了大規(guī)模計(jì)算的復(fù)雜性，提高了全局尋優(yōu)能力，避免了過早地陷入局部最優(yōu)解。針對混合算法在電力系統(tǒng)中的優(yōu)勢，文獻(xiàn)［23］提出了基于改進(jìn)粒子群算法和預(yù)測校正內(nèi)點(diǎn)法的解耦無功優(yōu)化算法，在時(shí)代因子和鄰近變異策略基礎(chǔ)上，采用分段處理方法對粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)。利用預(yù)測校正算法替代原－對偶內(nèi)點(diǎn)，使得在內(nèi)點(diǎn)法尋優(yōu)過程中的迭代步長增大，同時(shí)避免了尋優(yōu)過程中出現(xiàn)振蕩。若分別把改進(jìn)粒子群算法和預(yù)測校正內(nèi)點(diǎn)算法用于無功優(yōu)化的離散優(yōu)化和連續(xù)優(yōu)化子問題上，會(huì)使整體的尋優(yōu)速度更快，效果更佳。文獻(xiàn)［24］將混沌優(yōu)化算法融合到粒子群算法中，提出了混沌粒子群算法應(yīng)用到求解多目標(biāo)無功優(yōu)化問題。該算法采用混沌思想，增加初始化種群的多樣性，通過粒子群無功優(yōu)化算法計(jì)算各個(gè)粒子對應(yīng)的適應(yīng)值，并按照其大小擇優(yōu)選取適當(dāng)種群進(jìn)行混沌優(yōu)化，使無功優(yōu)化目標(biāo)跳出局部極值區(qū)域，再根據(jù)無功優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值自適應(yīng)地調(diào)整其慣性權(quán)重系數(shù)，提高局部與全局的搜索能力。通過算例結(jié)果分析表明，采用自適應(yīng)混沌粒子群算法進(jìn)行無功優(yōu)化，能夠及時(shí)跳出局部極值得到全局最優(yōu)解，且收斂速度快。針對風(fēng)力不確定性導(dǎo)致粒子適應(yīng)度不穩(wěn)定的風(fēng)電系統(tǒng)，文獻(xiàn)［25］提出了基于動(dòng)態(tài)云進(jìn)化粒子群算法。根據(jù)粒子的適應(yīng)度值，該算法選取優(yōu)異的個(gè)體進(jìn)行進(jìn)化，以降低劣性粒子比例，增強(qiáng)搜索速度。通過云發(fā)生器，使優(yōu)異個(gè)體進(jìn)化得到的種群趨于正態(tài)分布，從而改善粒子分布，避免“早熟”;動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)飛行速度，進(jìn)一步改善粒子分布，提高搜索精度。仿真結(jié)果證明了該方法的有效性與結(jié)果的可靠性。綜合以上所言，粒子群改進(jìn)的新算法的發(fā)展趨勢主要包括位置、速度更新公式的改進(jìn)、控制參數(shù)修正、增加種群多樣性的算法及算法的混合等。

3．3 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化法是Stom與Price于1995年提出的一種基于種群進(jìn)化的多點(diǎn)搜索算法，它是現(xiàn)代最好的啟發(fā)式算法之一。從表面上看，它與PSO算法有相似之處，同時(shí)具備遺傳算法的一些特征，因此它更像PSO算法與遺傳算法的綜合。針對多目標(biāo)多變量復(fù)雜問題的尋優(yōu)方面，它是一種非常具有潛力的優(yōu)化算法。差分進(jìn)化算法利用2個(gè)隨機(jī)選取的矢量參數(shù)的差向量作為第3個(gè)矢量參數(shù)的隨機(jī)變化源，通過對當(dāng)前種群進(jìn)行重組、變異和選擇等操作產(chǎn)生新一代種群，并逐步使種群進(jìn)化到包含或接近最優(yōu)解的狀態(tài)［26］。傳統(tǒng)的差分算法、控制參數(shù)是保持不變的，且變異參數(shù)決定了收斂速度，而交叉參數(shù)對問題的復(fù)雜性較敏感，容易過早收斂陷入局部最優(yōu)。文獻(xiàn)［27］應(yīng)用一種混合差異進(jìn)化算法，該算法中提出了一種加速操作和種群遷移操作。仿真結(jié)果表明，它與單純的差異進(jìn)化法、粒子群算法相比，具有收斂度更快、魯棒性更強(qiáng)、計(jì)算精度更高等優(yōu)點(diǎn)。根據(jù)粒子群算法的慣性權(quán)重動(dòng)態(tài)調(diào)整思想的啟發(fā)，文獻(xiàn)［26］提出一種改進(jìn)的的差分進(jìn)化算法，該算法對DE算法的控制參數(shù)也采用進(jìn)化動(dòng)態(tài)調(diào)整的策略，根據(jù)混沌理論的遍歷性，對搜索過程中重疊的個(gè)體，利用混沌變量搜索來提高算法的整體搜索能力。測試與算例表明，改進(jìn)的DE算法更加快速、高效和準(zhǔn)確。根據(jù)量子計(jì)算中的并行、坍縮等特性和算法組合尋優(yōu)，文獻(xiàn)［28］提出了一種基于量子差分進(jìn)化算法的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化方法，該方法不僅增強(qiáng)了對解空間的遍歷能力，而且通過量子計(jì)算的概率表達(dá)特性來增加種群多樣性，從而很好地避免算法的早熟現(xiàn)象，全面提高了全局尋優(yōu)能力。

4 展望

本文在分析常用的無功優(yōu)化算法基礎(chǔ)上，重點(diǎn)介紹了應(yīng)用廣泛的經(jīng)典傳統(tǒng)算法與人工智能算法，每一種算法都會(huì)在原始算法上進(jìn)行改進(jìn)，從而使計(jì)算的速度與精度得到很大的改善。組合算法通過發(fā)揮各自優(yōu)勢，彌補(bǔ)某些缺點(diǎn)來改善算法的尋優(yōu)效率。組合優(yōu)化算法在未來需要更深層次的研究與探討。另外，開發(fā)新的智能算法如區(qū)間算法［29］、雜草優(yōu)化算法［30］等應(yīng)用到電力系統(tǒng)無功優(yōu)化中也是未來無功優(yōu)化研究的一個(gè)方向。

目前，無功優(yōu)化相對來說研究得比較成熟。無論是在數(shù)學(xué)模型還是優(yōu)化算法上都取得了一定的成果。對于動(dòng)態(tài)的無功優(yōu)化問題我們研究得較少，今后需要對它作更深入的探索和研究。另外，新的電力系統(tǒng)環(huán)境下的無功優(yōu)化也需要進(jìn)一步對其探究。

［1］諸駿偉．電力系統(tǒng)分析(上冊)［M］．北京:中國電力出版社，1995．ZHU Junwei．Power system analysis(Volume 1)［M］．Beijing:China Electric Power Press，1995．

［2］陳海炎，陳金富，段獻(xiàn)忠．含風(fēng)電機(jī)組的配電網(wǎng)無功優(yōu)化［J］．中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2008，28(7):40-45．CHEN Haiyan，CHEN Jinfu，DUAN Xianzhong．Reactive power optimization of distribution network containing wind power generators［J］．Proceedings of the CSEE，2008，28(7):40-45．

［3］ YOSHIDA H，KAWATA K，F(xiàn)UKUYAMA Y．Particles warm optimization for reactive power and voltage control considering voltage security assessment［J］．IEEE Transactions on Power System，2000，15(4):1232-12391．

［4］熊虎崗，程浩忠，李宏仲．基于免疫算法的多目標(biāo)無功優(yōu)化［J］．中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2006，26(11):102-108．XIONG Hugang，CHENG Haozhong，LI Hongzhong．Multi-objective reactive power optimization based on immune algorit-hm［J］．Proceedings of the CSEE，2006，26(11):102-108．

［5］ H．W．DOMMEL，W．F．TINNEY．Option Power Flow Solution［J］．IEEE Trans on PAS，1968，87(10):1866-1876．

［6］李文沅．求解最優(yōu)潮流的修正簡化梯度法［J］．中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，1981:53-61．LI Wenyuan．Optimal power flow solution by modification of the simplified gradient method［J］．Proceedings of the CSEE，1981:53-61．

［7］劉學(xué)東，王磊，余耀．最優(yōu)潮流改進(jìn)簡化梯度法的研究及應(yīng)用［J］．山東電力技術(shù)，2003，(1):19-22．LIU Xuedong，WANG Lei，YU Yao．Research and application of improved simplifying gradient algorithm in the optimal power flow［J］．Shandong Electric Power Technology，2003，(1):19-22．

［8］張力平，何大愚，朱太秀．牛頓法最優(yōu)潮流與最優(yōu)無功補(bǔ)償［J］．中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，1987，7(1):11-19．ZHANG Liping，HE Dayu，ZHU Taixiu．Optimal power flow and optimal reactive power compensation by Newton’s method ［J］．Proceedings of the CSEE，1987，7(1):11-19．

［9］王永剛，彭世康，靳現(xiàn)林．牛頓法最優(yōu)潮流的改進(jìn)［J］．繼電器，2003，31(3):1-5．WANG Yonggang，PENG Shikang，JIN Xianlin．Improved Newton optimal power flow algorithm［J］．Relay，2003，31(3):1-5．

［10］張永平，童小嬌，吳復(fù)立，等．基于非線性互補(bǔ)問題函數(shù)的半光滑牛頓最優(yōu)潮流算法［J］．中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2004，24(9):130-135．ZHANG Yongping，TONG Xiaojiao，WU Fuli，et al．Semi-smooth newton optimal power flow algorithm based on nonlinear complementary problem function［J］．Proceedings of the CSEE，2004，24(9):130-135．

［11］李彩華，郭志忠，樊愛軍．原-對偶內(nèi)點(diǎn)法最優(yōu)潮流在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用［J］．電力自動(dòng)化設(shè)備，2002，22(8):4-7．LI Caihua，GUO Zhizhong，F(xiàn)AN Aijun．Application of primal-dual interior point method of optimal power flow to power syst-em［J］．Electric Power Automation Equipment，2002，22(8):4-7．

［12］侯芳，吳政球，王良緣．基于內(nèi)點(diǎn)法的快速解耦最優(yōu)潮流算法［J］．電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2001，13(6):8-12．HOU Fang，WU Zhengqiu，WANG Liangyuan．Optimal power solution based on fast decouple interior point algorithm ［J］．Proceedings of the EPSA，2001，13(6):8-12．

［13］靳丹，王維洲，曹俊龍，等．基于改進(jìn)自適應(yīng)變異概率遺傳算法的無功優(yōu)化方法［J］．電網(wǎng)技術(shù)，2012，31(7):6-10．JIN Dan，WANG Weizhou，CAO Junlong，et al．Reactive power optimization method based on adaptive mutation probability genetic algorithm ［J］．Power System Technology，2012，31(7):6-10．

［14］趙登福，周文華，張伏生．遺傳算法在無功優(yōu)化應(yīng)用中的改進(jìn)［J］．電網(wǎng)技術(shù)，1998，22(10):34-43．ZHAO Dengfu，ZHOU Wenhua，ZHANG Fusheng．Improvement of genetic algorithm in the application of reactive power optimization［J］．Power System Technology，1998，22(10):34-43．

［15］劉方，顏偉，DAVID C．Yu．基于遺傳算法和內(nèi)點(diǎn)法的無功優(yōu)化混合策略［J］．中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2005，25(15):67-72．LIU Fang，YAN Wei，DAVID C．Yu．Hybrid strategy based on genetic algorithm and interior point method for optimal reactive power flow［J］．Proceedings of the CSEE，2005，25(15):67-72．

［16］崔挺，孫元章，徐箭，等．基于改進(jìn)小生境遺傳算法的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化［J］．中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2011，31(19):43-50．CUI Ting，SUN Yuanzhang，XU jian，et al．Reactive power optimization of power system based on improved niche genetic algorithm［J］．Proceedings of the CSEE，2011，31(19):43-50．

［17］鐘紅梅，任震，張勇軍．免疫算法及其在電力系統(tǒng)無功優(yōu)化中的應(yīng)用［J］．電網(wǎng)技術(shù)，2004，28(3):16-19．ZHONG Hongmei，REN Zhen，ZHANG Yongjun．Immune algorithm and its application in power system reactive power optimization［J］．Power System Technology，2004，28(3):16-19．

［18］曾令全，吳昊華，劉琳琳，等．改進(jìn)免疫遺傳算法在DG系統(tǒng)無功優(yōu)化中的應(yīng)用［J］．電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2013，25(5):138-143．ZENG Lingquan，WU Haohua，LIU Linlin，et al．Application of immune genetic algorithm in DG system reactive power optimization［J］．Power System Protection and Control，2013，25(5):138-143．

［19］ KENNDY J，EBERHART R C．Particle swam optimization［C］．Proceedings of IEEE International Conference on Neutral Networks．Perth，Australia，1995:1942-1948．

［20］張文，劉玉田．自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法及其在無功優(yōu)化中的應(yīng)用［J］．電網(wǎng)技術(shù)，2006，30(8):19-24．ZHANG Wen，LIU Yutian．Adaptive particle swarm optimization and its application in reactive power power optimization［J］．Power System Technology，2006，30(8):19-24．

［21］劉佳，李丹，高立群．多目標(biāo)無功優(yōu)化的向量評(píng)價(jià)自適應(yīng)粒子群算法［J］．中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2008，28(31):22-28．LIU Jia，LI Dan，GAO Liqun．Vector evaluated adaptive particle swarm optimization algorithm for multi-objective reactive power optimization［J］．Proceedings of the CSEE，2008，28(31):22-28．

［22］趙波，郭創(chuàng)新，張鵬翔．基于分布式協(xié)同粒子群優(yōu)化算法的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化［J］．中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2005，25(21):1-7．ZHAO Bo，GUO Chuangxin，ZHANG Pengxiang．Distributed cooperative particle swarm optimization algorithm for reactive power optimization［J］．Proceedings of the CSEE，2005，25(21):1-7．

［23］張鋒，段余平，邱軍，等．基于粒子群算法與內(nèi)點(diǎn)算法的無功優(yōu)化研究［J］．電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2010，38(13):11-16．ZHANG Feng，DUAN Yuping，QIU Jun，et al．Research on reactive power flow based on particle swarm optimization and interior point method［J］．Power System Protection and Control，2010，38(13):11-16．

［24］李娟，楊琳，劉金龍，等．基于自適應(yīng)混沌粒子群優(yōu)化算法的多目標(biāo)無功優(yōu)化［J］．電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2011，39(9):26-31．LI Juan，YANG Lin，LIU Jinlong，et al．Multi-objective reactive power optimization based on adaptive chaos particle swarm optimization algorithm ［J］．Power System Protection and Control，2011，39(9):26-31．

［25］王希，王昕，李立學(xué)．基于動(dòng)態(tài)云進(jìn)化粒子群算法的風(fēng)電系統(tǒng)無功優(yōu)化方法［J］．電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2013，41(21):36-43．WNAG Xi，WANG Xin，LI Lixue．Reactive power optimization for wind power system based on dynamic cloud evolutionary particle swarm optimization［J］．Power System Protection and Control，2013，41(21):36-43．

［26］劉自發(fā)，閆景信，張建華．基于改進(jìn)微分進(jìn)化算法的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化［J］．電網(wǎng)技術(shù)，2007，31(18):68-72．LIU Zifa，YAN Jingxin，ZHANG Jianhua．Power system reactive power optimization based on improved differential evolution algorithm ［J］．Power System Technology，2007，31(18):68-72．

［27］張豐田，宋家驊，李鑒．基于混合差異進(jìn)化優(yōu)化算法的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化［J］．電網(wǎng)技術(shù)，2007，31(9):33-37．ZHANG Fengtian，SONG Jiahua，LI Jan．Hybrid differential evolution method for optimal reactive power optimization［J］．Power System Technology，2007，31(9):33-37．

［28］馬玲，于青，劉剛．基于量子差分進(jìn)化算法的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化［J］．電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2013，41(17):39-43．MA Ling，YU Qing，LIU Gang．Power system reactive power optimization based on quantum differential evolution algorithm ［J］．Power System Protection and Control，2013，41(17):39-43．

［29］ LUO J，LI W，WANG Q．Checking strong optimality of interval linear programming with inequality constraints and nonnegative constraints［J］．Journal of Computational and Applied Mathematics，2014，260:180-190．

［30］左旭坤，蘇守寶．多子群入侵雜草優(yōu)化算法研究及應(yīng)用［J］．計(jì)算機(jī)工程，2014，40(2):184-188．ZUO Xukun，SU Shoubao．Research and application of multi subpopulation invasive weed optimization algorithm ［J］．Computer Engineering，2014，40(2):184-188．