李佳桐+張春熹+張指揮+薛龍生+徐雪潔

摘 要： 為了減小動態(tài)環(huán)境下光纖陀螺信號的隨機(jī)誤差，采取振動試驗對光纖陀螺的動態(tài)誤差進(jìn)行激發(fā)，通過對試驗數(shù)據(jù)的Allan方差分析，得到了振動過程中光纖陀螺信號隨機(jī)誤差的變化特性。采用基于AR（2）模型的Kalman濾波方法和小波濾波方法對光纖陀螺信號進(jìn)行消噪處理，分析結(jié)果顯示上述兩種方法都能夠有效地消除振動基座下FOG信號的隨機(jī)誤差，并且小波濾波方法要優(yōu)于Kalman濾波方法。

關(guān)鍵詞： 振動基座； Allan方差分析； Kalman濾波； 小波濾波； 消噪

中圖分類號： TN911?34； U666.1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）04?0156?03

Contrast and study on de?noising methods for FOG signals under condition of vibrating base

LI Jia?tong1， ZHANG Chun?xi1， ZHANG Zhi?hui2， XUE Long?sheng3， XU Xue?jie3

（1. school of Instrument Science and Optoelectronics Engineering， Beijing University of Aeronautics and Astronautics， Beijing 100083， China；

2. Unit 61135 of PLA， Beijing 102211， China； 3. Unit 95801 of PLA， Beijing 100076， China）

Abstract： In order to reduce the random error of FOG signal in dynamic environment， a vibration test was done to arouse the dynamic error of FOG. The change characteristics of random error of FOG signal in vibration process was got by means of the Allan variance analysis of the test data. Kalman filtering method based on the AR（2） model and wavelet filtering method were used to execute the de?noising of the FOG signal. The analysis results show that both of the methods can eliminate the random error of the FOG signal under the condition of vibrating base effectively and the wavelet filtering method is better than Kalman filtering method.

Keywords： vibrating base； Allan variance analysis； Kalman filtering； wavelet filtering； de?noising

光纖陀螺FOG（Fiber Optic Gyroscope）具有其他陀螺無法比擬的優(yōu)點(diǎn)，在航空、航天、航海、機(jī)器人控制、石油鉆井等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1]。FOG的誤差包括確定性誤差和隨機(jī)誤差[2?3]。確定性誤差可通過轉(zhuǎn)臺標(biāo)定進(jìn)行精確補(bǔ)償，因此，無法精確補(bǔ)償?shù)碾S機(jī)誤差就成為了影響儀表精度的主要因素。對于FOG信號進(jìn)行濾波處理可以明顯地減小隨機(jī)誤差，常用的濾波主要方法有Kalman濾波方法和小波濾波方法。

1 Allan方差分析法

1.1 Allan方差分析法原理

Allan方差分析是由美國國家標(biāo)準(zhǔn)局的David Allan提出的數(shù)據(jù)處理方法，國際上研制光纖陀螺的單位大多沿用了這一數(shù)據(jù)處理技術(shù)[4?5]。Allan方差分析法是測量和評價光纖陀螺儀各類誤差和噪聲特性的一種重要手段[6]，其突出特點(diǎn)是能夠細(xì)辨識和表征FOG信號的噪聲源和噪聲統(tǒng)計特性，并有效地分離出噪聲源的噪聲系數(shù)。設(shè)有N個采樣時間為[τ0]的數(shù)據(jù)，建立時間為[τ0]，[2τ0]，…，[nτ0k

[θ（t）=Ω（t′）dt′] （1）

使用離散時間段[t=kτ0，k=1，2，???，N]作為角度測量，其表達(dá)式可以表述為[Θk=Θ（kτ0）]。用[Ωk（τ）=θk+m-θkττ=mτ0]來表示時間[tk]和[tk+τ]間的平均速率，則Allan方差可以定義為如下形式：

[σ2（τ）=12（Ωk+m-Ωk）2=12τ2（θk+2m-2θk+m+θk）2] （2）

并可以按照式（3）進(jìn)行估算：

[σ2（τ）=12τ2（N-2m）k=1N-2m（θk+2m-2θk+m+θk）2] （3）

如果FOG信號各個噪聲源的統(tǒng)計特性獨(dú)立，則各個誤差的平方和即為Allan方差，因此可以將Allan方差表示為式（4）的形式[8]：

[σ2τ=σ2Nτ+σ2Bτ+σ2Kτ+σ2Rτ+ σ2Qτ+σ2Mτ+σ2Sτ+...] （4）

對FOG信號的隨機(jī)誤差進(jìn)行分離計算，就能夠獲得游走系數(shù)N、零偏穩(wěn)定性系數(shù)B、速率隨機(jī)游走系數(shù)K、斜坡速率R和量化噪聲Q這五項主要的隨機(jī)誤差。

1.2 FOG信號的Allan方差分析

將FOG固定在振動臺上，采集靜止數(shù)據(jù)900 s，隨后啟動設(shè)備，開始振動，做加速度為1 g，掃頻為5～200 Hz的振動，采集振動數(shù)據(jù)900 s，采樣時間為10 ms。靜基座和振動基座下FOG的輸出信號分別如圖1和圖2所示。

圖1 靜態(tài)條件下FOG輸出信號

圖2 振動條件下FOG輸出信號

Allan方差對上述的兩組試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分析結(jié)果如表1所示。由表1分析可知，振動基座會導(dǎo)致FOG信號隨機(jī)誤差的數(shù)值大幅增加。

2 基于ARMA模型的Kalman濾波方法

2.1 FOG信號的建模

對FOG信號隨機(jī)誤差的建立通常使用使用時間序列法，它可以準(zhǔn)確地描述FOG信號隨機(jī)誤差的過程變化，常用的模型有AR模型和ARMA模型兩種。建模的過程如下：

（1） 辨識數(shù)據(jù)。應(yīng)用時間序列建模，要求待建模的數(shù)據(jù)必須是正態(tài)、平穩(wěn)和零均值序列，如果數(shù)據(jù)沒有沒達(dá)到要求，必須進(jìn)行相應(yīng)處理才可以使用時間序列法對數(shù)據(jù)序列進(jìn)行建模。

（2） 估計參數(shù)。對于辨識后達(dá)到建模要求的數(shù)據(jù)建模，進(jìn)行參數(shù)估計。在實際建模工作中，通常模型的階次都不會超過2到3階，因此需要選擇模型一般就只有AR（1）、AR（2）、AR（3）、ARMA（1，1）、ARMA（2，1）五種。

（3） 適用檢驗。使用檢驗準(zhǔn)則對模型進(jìn)行檢驗，根據(jù)檢驗結(jié)果來選擇合適的模型，常用的檢驗準(zhǔn)則有：AIC準(zhǔn)則、殘差平方和檢驗等。

表1 FOG信號隨機(jī)誤差項數(shù)值比較

本文使用AIC準(zhǔn)則對建立的振動基座下FOG信號隨機(jī)誤差的模型進(jìn)行檢驗，檢驗結(jié)果如表2所示。

表2 FOG隨機(jī)噪聲各模型參數(shù)及AIC值

比較分析后可知， AR（2）模型的AIC值最小，因此AR（2）模型可以作為合適的數(shù)學(xué)模型。

2.2 FOG信號的Kalman濾波

為了達(dá)到減小振動基座下FOG信號隨機(jī)誤差的目的，使用已經(jīng)確立的AR（2）模型對FOG信號進(jìn)行Kalman濾波。狀態(tài)方程如式（5）所示：

[Xk=AXk-1+BWk] （5）

式中：[A=-1.645 30.917 910]；[Xk=xkxk-1]；[Wk=αk0]；[B=1000]。

設(shè)[Zk]為FOG信號的量測量，式（6）為量測方程：

[Zk=HXk+Vk] （6）

式中，[H=10]；[Vk]為量測誤差。

對于上述系統(tǒng)方程，式（7）為離散卡爾曼濾波方程：

[Xk，k-1=AXk-1Pk，k-1=APk-1ATk-1+BQBTPk=I-KkHPk，k-1Xk=Xk，k-1+KkZk-HXk，k-1Kk=Pk，k-1HTHPk，k-1H+R-1] （7）

其中，選取測量值初值作為狀態(tài)量初值， FOG零偏穩(wěn)定性的平方作為量測噪聲方差。

濾波后的FOG振動信號如圖3所示。

圖3 Kalman濾波后的FOG輸出信號

3 小波濾波方法

小波濾波方法能夠在輸出信號中提取有用信號，并去掉干擾信號。閾值去噪法、波變換模極大值去噪法和空域相關(guān)去噪法是三種比較常用的小波濾波方法，其中的閾值去噪法以去噪效果良好，算法簡單且計算量小的特點(diǎn)得到廣泛的應(yīng)用。本文使用閾值去噪法的FOG的振動信號進(jìn)行濾波消噪處理，步驟如下：

（1） 信號分解。為減少信號損失，本文選擇Daubechies小波對FOG振動信號進(jìn)行小波分解；

（2） 閾值確定。采取VisuShink閾值選取準(zhǔn)則：計算公式為[λ=σ2lnN]，式中[σ]為噪聲信號的標(biāo)準(zhǔn)差，N為信號的長度。對于大于[λ]的系數(shù)保留下來，而小于[λ]的系數(shù)設(shè)置為零。

（3） 小波重構(gòu)。以小波分解的各高頻系數(shù)和最低層次的低頻系數(shù)為依據(jù)進(jìn)行重構(gòu)。

為滿足對慣組采樣數(shù)據(jù)的實時處理，采用遞推滑動窗的小波變換快速算法[9?10]。設(shè)FOG的采樣值為[xi]，當(dāng)[i2j0]時，[ai=xi，i=1，2，…，k]。初始階段選取較小的[j0]，當(dāng)[xi]取到[i=2j0+1]時，濾波的窗口寬度為[2j0+1]，對窗口寬度進(jìn)行更新，處理輸出數(shù)據(jù)，當(dāng)數(shù)據(jù)長度增加到[k=27=128]時，固定窗口寬度。

當(dāng)[k2j0]時，有：

[ai=xk-L+i， i=1，2，…，Lxk+L+i， i=L+1，L+2，…，2L] （8）

周期延拓數(shù)據(jù)序列，就可以得到長度為[2j0+1]的數(shù)據(jù)序列。對[ai]進(jìn)行Mallat分析，選取Daubechies小波，小波基選取db4，得到各個小波層的分解系數(shù)，選擇合適的閾值，濾波尺度選取為5，然后使用相同的小波基和分解尺度對信號進(jìn)行重構(gòu)，最后把重構(gòu)后的數(shù)據(jù)[sk]作為[k=2j0]時刻的輸出值，在[k=2j0+1]時刻，取得最新得到的[2j0]個采樣值，延拓對稱周期，進(jìn)行去噪處理，將[sk+1]作為[2j0+1]時刻的輸出，依次類推實現(xiàn)滑動窗口的實時濾波。小波濾波后的FOG輸出信號如圖4所示。

圖4 小波濾波后的FOG輸出信號

4 FOG濾波后數(shù)據(jù)的比較分析

對濾波前和兩種方法濾波后的數(shù)據(jù)進(jìn)行均值和標(biāo)準(zhǔn)差的比較，結(jié)果如表3所示。

表3 濾波前后慣組信號均值和標(biāo)準(zhǔn)差比較

Allan方差分析兩種方法濾波后數(shù)據(jù)，結(jié)果如表4所示。

表4 Kalman濾波和小波濾波FOG信號隨機(jī)誤差系數(shù)比較

由圖3和圖4比較可知，兩種濾波方法都能夠有效減小FOG信號的噪聲，小波濾波方法對于噪聲減小的幅度更為明顯；由表3對比分析可知，濾波前后的FOG信號的均值基本沒有改變，濾波后的FOG信號的標(biāo)準(zhǔn)差有明顯的減小，小波濾波后FOG信號的標(biāo)準(zhǔn)差減小的幅度更大；由表4對比分析可知，兩種濾波方法都能明顯降低振動條件下FOG信號的各隨機(jī)誤差數(shù)值，且小波濾波效果更為明顯。

5 結(jié) 語

本文分別使用基于時間序列AR（2）模型的Kalman濾波方法和小波濾波方法對振動基座下FOG信號進(jìn)行濾波消噪，對濾波后的數(shù)據(jù)進(jìn)行均值、標(biāo)準(zhǔn)差和Allan方差分析，分析可知，Kalman濾波方法和小波濾波方法都能夠明顯減小振動基座下FOG信號的噪聲，小波濾波方法的消噪效果要明顯優(yōu)于Kalman濾波方法的消噪效果。

參考文獻(xiàn)

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對濾波前和兩種方法濾波后的數(shù)據(jù)進(jìn)行均值和標(biāo)準(zhǔn)差的比較，結(jié)果如表3所示。

表3 濾波前后慣組信號均值和標(biāo)準(zhǔn)差比較

Allan方差分析兩種方法濾波后數(shù)據(jù)，結(jié)果如表4所示。

表4 Kalman濾波和小波濾波FOG信號隨機(jī)誤差系數(shù)比較

由圖3和圖4比較可知，兩種濾波方法都能夠有效減小FOG信號的噪聲，小波濾波方法對于噪聲減小的幅度更為明顯；由表3對比分析可知，濾波前后的FOG信號的均值基本沒有改變，濾波后的FOG信號的標(biāo)準(zhǔn)差有明顯的減小，小波濾波后FOG信號的標(biāo)準(zhǔn)差減小的幅度更大；由表4對比分析可知，兩種濾波方法都能明顯降低振動條件下FOG信號的各隨機(jī)誤差數(shù)值，且小波濾波效果更為明顯。

5 結(jié) 語

本文分別使用基于時間序列AR（2）模型的Kalman濾波方法和小波濾波方法對振動基座下FOG信號進(jìn)行濾波消噪，對濾波后的數(shù)據(jù)進(jìn)行均值、標(biāo)準(zhǔn)差和Allan方差分析，分析可知，Kalman濾波方法和小波濾波方法都能夠明顯減小振動基座下FOG信號的噪聲，小波濾波方法的消噪效果要明顯優(yōu)于Kalman濾波方法的消噪效果。

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對濾波前和兩種方法濾波后的數(shù)據(jù)進(jìn)行均值和標(biāo)準(zhǔn)差的比較，結(jié)果如表3所示。

表3 濾波前后慣組信號均值和標(biāo)準(zhǔn)差比較

Allan方差分析兩種方法濾波后數(shù)據(jù)，結(jié)果如表4所示。

表4 Kalman濾波和小波濾波FOG信號隨機(jī)誤差系數(shù)比較

由圖3和圖4比較可知，兩種濾波方法都能夠有效減小FOG信號的噪聲，小波濾波方法對于噪聲減小的幅度更為明顯；由表3對比分析可知，濾波前后的FOG信號的均值基本沒有改變，濾波后的FOG信號的標(biāo)準(zhǔn)差有明顯的減小，小波濾波后FOG信號的標(biāo)準(zhǔn)差減小的幅度更大；由表4對比分析可知，兩種濾波方法都能明顯降低振動條件下FOG信號的各隨機(jī)誤差數(shù)值，且小波濾波效果更為明顯。

5 結(jié) 語

本文分別使用基于時間序列AR（2）模型的Kalman濾波方法和小波濾波方法對振動基座下FOG信號進(jìn)行濾波消噪，對濾波后的數(shù)據(jù)進(jìn)行均值、標(biāo)準(zhǔn)差和Allan方差分析，分析可知，Kalman濾波方法和小波濾波方法都能夠明顯減小振動基座下FOG信號的噪聲，小波濾波方法的消噪效果要明顯優(yōu)于Kalman濾波方法的消噪效果。

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