□譚元元，歐詩(shī)德

（1. 廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院，信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 南寧 530003；2. 玉林師范學(xué)院，數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 玉林 537000）

廣西城鎮(zhèn)居民人均收入和消費(fèi)的非參數(shù)回歸估計(jì)

□譚元元1，歐詩(shī)德2*

（1. 廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院，信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 南寧 530003；2. 玉林師范學(xué)院，數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 玉林 537000）

本文嘗試用非參數(shù)回歸方法研究居民人均可支配收入與消費(fèi)的關(guān)系，應(yīng)用非參數(shù)局部多項(xiàng)式估計(jì)方法對(duì)廣西1980年～2010年城鎮(zhèn)居民人均可支配收入與消費(fèi)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，克服了傳統(tǒng)線性回歸模型在討論居民人均可支配收入與消費(fèi)關(guān)系的不足。實(shí)證結(jié)果表明非參數(shù)回歸方法優(yōu)于線性回歸方法.

非參數(shù)回歸；非參數(shù)局部多項(xiàng)式；可支配收入-消費(fèi)

1 引言

居民的消費(fèi)支出和收入存在著相關(guān)關(guān)系，學(xué)者們通常用線性回歸模型和非線性回歸模型來(lái)描述這種相關(guān)關(guān)系，這種回歸模型的回歸函數(shù)形式是預(yù)先設(shè)定的，通過(guò)給出未知參數(shù)的估計(jì)，就可確定這個(gè)回歸模型，這種建模方法就是所謂的參數(shù)回歸方法.一般來(lái)說(shuō)參數(shù)模型的參數(shù)都有明確的經(jīng)濟(jì)意義，模型建立需要一系列前提條件，比如要求解釋變量為確定性變量且與誤差項(xiàng)不相關(guān)、誤差項(xiàng)要有同方差、相互獨(dú)立、服從正態(tài)分布等.如果回歸模型選取有誤，或者參數(shù)假定與實(shí)際情況相背離，模型的誤差項(xiàng)是異方差、不獨(dú)立、非正態(tài)性，那么推斷和預(yù)測(cè)結(jié)果就會(huì)出現(xiàn)較大的偏差；另一方面，回歸模型假設(shè)回歸系數(shù)在所研究的時(shí)期內(nèi)保持不變，但實(shí)際上隨著時(shí)間的推移或者截面的改變，參數(shù)也應(yīng)隨之變化.因此，直接使用經(jīng)典的參數(shù)回歸模型進(jìn)行估計(jì)缺乏穩(wěn)健性，從而導(dǎo)致得到的結(jié)論與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的偏差.

非參數(shù)回歸模型與參數(shù)回歸模型不同，它的回歸函數(shù)形式不需要事先設(shè)定，模型構(gòu)建僅需要較弱的前提條件.由于對(duì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的研究，特別是在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中，大量的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)是預(yù)先無(wú)法確認(rèn)的.例如，消費(fèi)支出與收入問(wèn)題，它們之間是存在著相關(guān)關(guān)系，但這種相關(guān)關(guān)系不一定滿足參數(shù)回歸分析所要求的條件.因此，近年來(lái)非參數(shù)回歸估計(jì)方法廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究中，并取得了較好效果.例如，張守一等人（1997）[1]應(yīng)用非參數(shù)估計(jì)方法估計(jì)居民消費(fèi)與總收入的非參數(shù)函數(shù)關(guān)系；江海峰（2006）[2]采用隨機(jī)變量密度函數(shù)的非參數(shù)核估計(jì)和核回歸，對(duì)我國(guó)2004年城鎮(zhèn)居民的實(shí)際消費(fèi)進(jìn)行實(shí)證分析；李竹渝等人（2007）[3]用非參數(shù)模型研究計(jì)量經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中若干重要問(wèn)題，對(duì)時(shí)間與收入的分布進(jìn)行解釋，并討論恩格爾曲線的非參數(shù)估計(jì)等；吳相波等人（2007）[4]探討了非參數(shù)回歸中局部線性估計(jì)的多重共線問(wèn)題，提出了有效的解決方法.葉阿忠（2008）[5]全面介紹了非參數(shù)模型的理論、方法及其在計(jì)量經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用；周先波等人（2008）[6]通過(guò)設(shè)定面板數(shù)據(jù)Working-Leser模型的非參數(shù)形式，運(yùn)用非參數(shù)局部線性估計(jì)方法給出了消費(fèi)支出份額與總消費(fèi)支出函數(shù)關(guān)系；劉浚（2009）[7]運(yùn)用非參數(shù)回歸模型研究我國(guó)GDP 與能源消費(fèi)總量之間的關(guān)系，模型擬合效果較好.這些文獻(xiàn)表明了非參數(shù)回歸方法在實(shí)際中的應(yīng)用很受關(guān)注.

然而，在應(yīng)用非參數(shù)回歸估計(jì)方法來(lái)研究經(jīng)濟(jì)中的有關(guān)消費(fèi)和收入問(wèn)題的文獻(xiàn)中，大多是研究全國(guó)居民的消費(fèi)和收入問(wèn)題，很少涉及到地方居民的消費(fèi)和收入問(wèn)題.本文使用非參數(shù)回歸方法來(lái)研究廣西消費(fèi)支出和收入問(wèn)題，通過(guò)應(yīng)用R-統(tǒng)計(jì)軟件（參見(jiàn)薛毅等人[8]）設(shè)計(jì)程序?qū)?shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，給出有關(guān)非參數(shù)回歸的計(jì)算，揭示廣西城鎮(zhèn)居民收入與消費(fèi)支出關(guān)系，為政府部門制定經(jīng)濟(jì)決策提供有價(jià)值的理論依據(jù).

2 非參數(shù)回歸模型的建立

通常的參數(shù)回歸模型是預(yù)先假定被解釋變量Y和解釋變量X之間具有某種確定的關(guān)系Y=f(X).非參數(shù)回歸不指定X與Y的關(guān)系f，設(shè)給定樣本觀測(cè)值(X1,Y1)，(X2,Y2)，…，(Xn,Yn)，并且(XI,YI)獨(dú)立同分布，可建立回歸模型：

其中m(Xi)=E(Yi|Xi)，εi為隨機(jī)誤差項(xiàng)，是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，滿足Eεi=0，Var(εi)＜+∞.根據(jù)樣本來(lái)確定未知函數(shù)m(x)=E(Y|X)，模型（1）就是非參數(shù)回歸.

關(guān)于m(x)的估計(jì)Stone（1977）[9]給出了權(quán)函數(shù)估計(jì)方法，其表達(dá)式為：

其中權(quán)函數(shù)Wni(x)=Wni(x;,X1…,Xn)，i=1,2,…,n.Wni(x)≥0,

對(duì)于核權(quán)函數(shù)的確定，比較常用的方法有Nadaraya-Watson核估計(jì)、Gasser-Muller核估計(jì)（參見(jiàn)Nadaraya(1964)[10]，Watson(1964)[11]，Gasser和Muller（1979）[12]），其表達(dá)式分別為（3）和（4）：

若模型（1）中的回歸函數(shù)m(x)在X=t處存在p+1階導(dǎo)數(shù)，x為t鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)，Tsybakov（1986）[13]提出了局部多項(xiàng)式回歸方法，由Taylor展開(kāi)式得：

這里可以視m(t)，m'(t)，m((t)為待估參數(shù).

令m(j)(t)=j!βj,(j=0,1,…,p)，則（1）的局部多項(xiàng)式估計(jì)可表示為：

非參數(shù)回歸中窗寬的選擇非常重要，對(duì)于一元密度函數(shù)核估計(jì)的窗寬選擇，可用交錯(cuò)鑒定選擇方法和直接插入，本文用直接插入法，詳細(xì)的方法參見(jiàn)葉阿忠（2008）[5]，這個(gè)計(jì)算過(guò)程較繁雜，我們可用Wand編寫的R軟件包KernSmooth中的dpik函數(shù)求出窗寬.

3 非參數(shù)回歸模型的應(yīng)用

本文采用1980年至2010年廣西城鎮(zhèn)居民人均可支配收入與消費(fèi)作為樣本數(shù)據(jù)（參見(jiàn)廣西2011年統(tǒng)計(jì)年鑒），數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)見(jiàn)以下的圖1和圖2.

圖1 廣西城鎮(zhèn)居民人均收入與消費(fèi)支出趨勢(shì)

從圖1來(lái)看，廣西在1980年到2010年期間城鎮(zhèn)居民人均可支配收入和消費(fèi)都在逐年增長(zhǎng).用一元線性回歸方法研究人均可支配收入和消費(fèi)之間的關(guān)系，表1給出了模型估計(jì)情況.

表1 系數(shù)估計(jì)

相應(yīng)的回歸模型是：

對(duì)上述線性回歸模型做回歸診斷，下面的表2給出了殘差分析的結(jié)果，圖2展示了殘差情況：擬合消費(fèi)支出的平均絕對(duì)誤差和均方誤差分別是：

表2 殘差分析

圖2 線性回歸殘差

從圖2可以看到殘差圖從左向右逐漸散開(kāi)呈漏斗狀，這表明殘差的方差不相等，即存在異方差，因此運(yùn)用一元回歸描述消費(fèi)支出與收入關(guān)系結(jié)果不太可靠.

下面利用非參數(shù)回歸模型對(duì)廣西城鎮(zhèn)居民人均可支配收入與城鎮(zhèn)居民人均消費(fèi)關(guān)系做非參數(shù)回歸估計(jì).利用R-軟件中的基于非參數(shù)回歸建模軟件包KernSmooth，可求得最佳窗寬為h=1857.398，再利用局部多項(xiàng)式回歸擬合，表3給出了擬合數(shù)據(jù)，圖3展示了擬合效果.

表3 人均消費(fèi)的非參數(shù)回歸擬合值（單位：元）

圖3 非參數(shù)回歸擬合圖

用非參數(shù)方法擬合消費(fèi)支出的平均絕對(duì)誤差和均方誤差分別是：

從上面的表3和圖3，以及平均絕對(duì)誤差和均方誤差來(lái)看，非參數(shù)回歸模型的擬合效果比線性回歸方法擬合效果好很多.另一方面，非參數(shù)回歸模型的曲線斜率是不斷變化的，這反映了人均消費(fèi)在不同時(shí)期受可支配收入影響是不同的.廣西城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入與人均消費(fèi)支出關(guān)系是上凸形狀的曲線，這表明人均消費(fèi)支出隨人均可支配收入的增加而增加，并且增加的趨勢(shì)是逐漸減緩的.

4 結(jié)論

本文運(yùn)用非參數(shù)回歸方法，探討了廣西城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入與人均消費(fèi)關(guān)系.它們之間的關(guān)系是非線性，如果運(yùn)用線性回歸方法來(lái)描述這種關(guān)系，盡管模型的決定系數(shù)很好，但不滿足線性回歸的同方差條件，結(jié)果模型擬合效果精度不高.在殘差出現(xiàn)異方差下，我們應(yīng)用非參數(shù)回歸方法構(gòu)建模型，實(shí)證結(jié)果表明用非參數(shù)回歸模型能有效地描述廣西城鎮(zhèn)居民人均可支配收入與消費(fèi)支出的非線關(guān)系，模型擬合效果很好，并且比較吻合實(shí)際情況，即基本趨勢(shì)是一個(gè)大致上凸曲線，消費(fèi)水平隨收入的增加而增加，并且增加的趨勢(shì)是逐漸減緩的，與宏觀經(jīng)濟(jì)規(guī)律相符. ■

[1]張守一，葛新權(quán)，王斌. 非參數(shù)回歸及其應(yīng)用[J]. 數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，1997，（10）：60-65，87.

[2]江海峰. 消費(fèi)函數(shù)的非參數(shù)回歸與實(shí)證分析[J]. 安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006,（4）：474-477.

[3]李竹渝，魯萬(wàn)波，龔金國(guó). 經(jīng)濟(jì)、金融計(jì)量學(xué)中的非參數(shù)估計(jì)技術(shù) [M]. 北京: 科學(xué)出版社，2007.

[4]吳相波，葉阿忠. 局部線性估計(jì)中的多重共線性問(wèn)題[J]. 統(tǒng)計(jì)與決策，2007，08: 4-6.

[5]葉阿忠. 非參數(shù)和半?yún)?shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型理論[M]. 北京:科學(xué)出版社，2008.

[6]周先波，田鳳平. 非參數(shù)估計(jì)方法在長(zhǎng)江和珠江三角洲地區(qū)城鎮(zhèn)居民消費(fèi)支出分析中的應(yīng)用[J]. 經(jīng)濟(jì)學(xué)，2008，(4): 1459-1475.

[7]劉浚.我國(guó)能源消費(fèi)與GDP關(guān)系的非參數(shù)回歸分析[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2009，12: 112-113.

[8]薛毅，陳立萍. 統(tǒng)計(jì)建模與R軟件[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社，2008.

[9]Stone, C. J. Consistent nonparametric regression [J]. The Annals of Statistics, 1977, 5(4): 595-645.

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[11]Watson, G. S. Smooth regression analysis [J]. Sankhya, Series, 1964, A(26): 359-372.

[12]Gasser, T. H. and Muller, H. G. Kernel estimation of regression function [M]. Smoothing Techniques for Curve Estimation. (Th. Casser and Rosenbitatt, eds), Lecture Notes in Mathematics, Volume 757, Springer-Verlag, Berlin, pp. 23-68, 1979.

[13]Tsybakov, A. B. Robust reconstruction of functions by the local-approximation method [J]. Problems of Information Transmission, 1986, 22: 133-146.

【責(zé)任編輯 謝文?！?/p>

The Application of Nonparametric Regression Estimation of the Per Capita Income and Consumption of Guangxi Urban Household

TAN Yuan-yuan1，OU Shi-de2
(1. College of Information and Statistics, Guangxi University of Finance and Economics, Nanning, Guangxi 530003；2. College of Mathematics and Information Science, Yulin Normal University, Yulin Guangxi 537000)

The paper attempts to introduce nonparametric regression estimation theory to study the per capita income and consumption relationship. Based on the data from the per capita income and consumption of Guangxi urban household from 1980 to 2010, we make empirical analysis with nonparametric local polynomial estimation method, and overcome the shortcoming of the traditional linear estimation method for the per capita income and consumption relationship. The result shows that nonparametric regression is superior to linear regression.

nonparametric regression, nonparametric local polynomial estimation, income-consumption

F222.1

A

1004-4671（2014）05-0012-05

2014-01-01

廣西教育廳科研項(xiàng)目（編號(hào)：200911LX388），國(guó)家統(tǒng)計(jì)局科研項(xiàng)目（編號(hào)：2012LY052）。

譚元元（1981～），女，廣西合山人，廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，碩士。主要研究方向：金融統(tǒng)計(jì)。*

歐詩(shī)德（1964～），男，廣西玉林人，玉林師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教授，博士，研究方向：金融統(tǒng)計(jì)。oushide@aliyun.com，yuanyuan39@126.com.