吳立春，倪志輝

(1.重慶第二師范學(xué)院，重慶 400067；2. 重慶交通大學(xué) 國家內(nèi)河航道整治工程技術(shù)研究中心水利水運工程教育部重點實驗室，重慶 400074；3. 重慶交通大學(xué) 西南水運工程科學(xué)研究所，重慶 400016)

0 引 言

混摻長度是水流紊動的重要特性，其垂線分布規(guī)律與水流阻力、泥沙運動及環(huán)境工程均密切相關(guān)，直接影響著底床沖刷和淤積的演變過程。因此，研究挾沙水流混摻長度的垂線分布規(guī)律既有重要的理論意義，又有助于解決實際工程問題。為此，國內(nèi)外許多學(xué)者進行了大量測量和分析工作[1-5]，這些研究大都通過明渠、圓管、平板邊界層等的水流試驗展開。L.Prandtl[1]參照分子碰撞中自由行程的概念引入混摻長度概念，表示當(dāng)流體質(zhì)點從速度的層因脈動而跳至另一層時，流體質(zhì)點的原有動量剛好轉(zhuǎn)換并等于新的一層處的動量。該兩層之間的距離稱為混摻長度l。根據(jù)L.Prandtl混摻長度理論，在近壁紊流中，假定l與從固體壁面算起的法向距離y成比例，即：

l=κy

(1)

式中：l為混摻長度，它與流動情況有關(guān)，可由試驗確定；κ為卡門常數(shù)，對于清水水流情況，κ≈ 0.4。

對于充分發(fā)展的管流和明渠，J.Nikuradse[2]提出的混摻長度分布公式：

(2)

式中：R為管的半徑或明渠的水深。

在靠近壁面的區(qū)域，式(2)給出的結(jié)果與式(1)一致。但是，在非靠近壁面的區(qū)域，黏性起決定性的作用，通常采用Van Driest[3]公式修正混摻長度的線性關(guān)系式：

(3)

式中：A=26；τw為壁面剪應(yīng)力。

為了避免確定l的計算過程過于繁瑣，Von Karman曾建議將l與時均流速的分布按式(4)建立聯(lián)系：

(4)

式(4)對于近壁水流可得出較好的結(jié)果，但缺少普適性。例如，在射流和尾跡中，速度剖面含有拐點，由式(4)會得出無限大的混摻長度。因此，Von Karman公式極少采用。

也有學(xué)者通過利用流速梯度分布公式來推導(dǎo)挾沙水流沿整個水深范圍內(nèi)的混摻長度[4-5]，在主流區(qū)，忽略黏滯切應(yīng)力，有：

(5)

由于在主流區(qū)，挾沙水流紊動切應(yīng)力基本上是線性分布：

(6)

式中：τb為床面剪切應(yīng)力，τb=ρ|u*|u*(ρ為水流密度，u*為床面摩阻流速)；y為垂向坐標(biāo)；D為水深。

聯(lián)立式(5)、式(6)得到：

(7)

由此可見，混摻長度l給予不同的假定，將會得出各種不同的流速分布式。對于簡單的剪力層型的流動，不同形式的水流可采用不同的經(jīng)驗常數(shù)。但對于紊動輸運過程占有重要地位的復(fù)雜的水流，則很難確定l。為此，筆者以挾沙水流混摻長度的運動機理為基礎(chǔ)，從分形標(biāo)度的角度探討挾沙水流混摻長度垂線分布模式，并采用最小二乘法和相應(yīng)的邊界條件，確定分布式的系數(shù)。利用現(xiàn)場資料和試驗數(shù)據(jù)進行了驗證，并與其它公式計算結(jié)果相比較,表明文中公式不僅表達式簡潔，而且可以較好地反映挾沙水流混摻長度垂線分布模式特征。

1 公式推導(dǎo)

假設(shè)混摻長度按以下方式定義：設(shè)一流體塊團，以其原有的時均速度運動，由于紊動，該塊團在橫向由y1運動到y(tǒng)2。在y2點，塊團原有速度與周圍介質(zhì)時均速度之差為▽U。如果在y2點的平均橫向脈動速度恰為▽U，則將距離y2-y1定義為混摻長度l。由于挾沙水流的含沙量分布不均勻，水流紊動作用等因素，挾沙水流中的“漩渦”水團其實是一種無規(guī)則運動，因此用分形理論描述實際運動軌跡長度l和水平投影長度間的關(guān)系。在圖1的分形結(jié)構(gòu)中，當(dāng)分形迭代次數(shù)i= 0時，圖形為直線；當(dāng)i=1時，0～l1間線形不變，而l1和l2間的線形由直線l1～l2變?yōu)檎劬€段l1～l3～l2，l3為l1～l2線段上方(或下方)任意處引入的一點。按此規(guī)則分形迭代，圖1(c)、(d)中，虛線代表i-1次迭代后的形狀，而實線則是i次迭代后的形狀。

圖1 水團的實際運動軌跡長度與水平映射距離示意Fig.1 Water masses in the actual motion path length and level mapping distance

i次分形迭代后，折線的長度與水平映射距離的平均關(guān)系為：

li=β-iyi

(8)

式中：l為分形迭代后折線的實際長度；yi是相應(yīng)的投影長度；β為反映l與yi平均關(guān)系的參數(shù)。

由分形理論知，對任一的分形迭代i，長yi的線段個數(shù)可表示為：

(9)

式中：D為分形維數(shù)，對于1維情況，0

由式(8)和式(9)知，水團的實際運動軌跡長度l與水平映射距離y之間的平均關(guān)系可以描述為：

(10)

式中：A為比例常數(shù)；l為混摻長度；y為水深。

式(10)即為筆者所建立的挾沙水流混摻長度指數(shù)公式。

2 研究方法

垂直各層上的實測值在理論上應(yīng)滿足式(10)，但由于實測值本身即存在誤差且忽略它們之間非線性作用等因素，各層的理論值與實測值之間也就存在誤差。由于未知量有2個(A和D)，而一般實測數(shù)據(jù)不一定有2層，因而，筆者采用枚舉法結(jié)合最小二乘法[6-8]的方法求解。步驟如下：

1)建立目標(biāo)函數(shù)

(11)

式中：yi表示近底第i層水深；li表示對應(yīng)的混摻長度值。

2)列舉分形維數(shù)D，從0.000 1～1，增量設(shè)為0.000 1，即共10 000組。

3)對任一個D的枚舉值，在目標(biāo)函數(shù)取極小值時滿足式(12)，求解得出A：

(12)

式中：n代表垂線用來擬合的點數(shù)。

4)計算10 000組D對應(yīng)10 000個f的最小值，使目標(biāo)函數(shù)取極小值，則各層理論值與實測值的總誤差將達到最小，從而得出D。

3 驗證與比較

為了驗證筆者所建式(10)的合理性，采用圖2～圖5[2,9-11]的現(xiàn)有典型實驗數(shù)據(jù)對公式進行驗證，并與式(1)、式(7)計算結(jié)果進行比較。圖中，實點代表實驗值，細實線代表公式(1)擬合值，虛線代表式(7)擬合值，粗實線代表筆者提出模式與實測值的最佳擬合值。

圖2 與Nikuradse實驗數(shù)據(jù)的比較Fig.2 Comparison of experimental data with Nikuradse

圖3 與Vanoni實驗數(shù)據(jù)的比較Fig.3 Comparison of experimental data with Vanoni

圖4 與Einstein和Chien實驗數(shù)據(jù)的比較Fig.4 Comparison of experimental data with Einstein and Chien

圖5 與Castro和Epik實驗數(shù)據(jù)的比較Fig.5 Comparison of experimental data with Castro and Epik

由圖2～圖5可以看出，筆者提出的式(10)的計算值均比式(1)和式(7)更接近實測值，說明前者精度更高，更能反映出挾沙水流混摻長度垂線分布的規(guī)律。

4 初步分析

4.1 分形維數(shù)的大小

長期以來，混摻長度常假設(shè)采用簡單的經(jīng)驗公式確定l。對于自由層，可假設(shè)l在橫斷面上保持為常數(shù)，且與當(dāng)?shù)貙雍瘭某烧?，其比例因子取決于自由流的類型。由此可見，混摻長度模型缺少通用性，對于不同形式的水流需采用不同的經(jīng)驗常數(shù)。這是混摻長度理論中忽略了紊動量的擴散輸運和對流輸運的必然結(jié)果。從文中挾沙水流的混摻長度的運動機理出發(fā)，結(jié)合水流紊動理論和分形理論推導(dǎo)了一種新的混摻長度垂線分布模式。由表1可以看出，筆者提出的式(10)計算擬合的參數(shù)A和D，其取值范圍均為0

表1 各組實驗數(shù)據(jù)分形維數(shù)D和A值

(續(xù)表1)

實驗組次分形維數(shù)DAEinstein和Chien(1955)(a)C?130．01750．4026(b)S?110．07980．2637(c)S?130．09030．1541(d)S?150．45730．0297Castro和Epik(1996)(a)0．34510．1203(b)0．26430．2173(c)0．71150．1735

從表1中第3組Einstein和Chien (1955)的資料可以看到，實驗條件為清水狀態(tài)C-13組時，D=0.017 5，1-D≈1，A=0.402 6，式(10)退化為Prandtl公式(l=ky，k通過實驗知約為0.40～0.41)。

4.2 分形維數(shù)與含沙量的關(guān)系

為了分析含沙量對混摻長度的影響，筆者從Einstein和Chien (1955)實驗數(shù)據(jù)中摘錄了實測含沙量，見表2。

表2 公式(10)中參數(shù)D與含沙量比較

從表2可見，當(dāng)參數(shù)D越接近0時，水流中含沙量越少。參數(shù)D與含沙量存在正比關(guān)系，D值越大，含沙量也越大，反之亦然。因此，結(jié)合公式(10)可得：混摻長度與含沙量成反比，含沙量越大，則混摻長度越小。

垂向上某一位置處可能出現(xiàn)的不同尺度紊動漩渦大小的平均量度即為該位置處的混摻長度[13]?；鞊介L度是所有漩渦的平均量度，而幾乎所有尺度的漩渦都參與動量傳遞，水體則是這些紊動的載體[14]。錢寧[15]認為：伴隨著挾沙水流黏性的增加，小尺度的漩渦會消失不見。

混摻長度與漩渦能攜帶的泥沙量有一定相關(guān)性，在宏觀上表現(xiàn)為和泥沙濃度相關(guān)[16]。泥沙對紊動的制約作用隨著濃度的增大越來越明顯，而混摻長度則隨著濃度增大而減小。泥沙的濃度分布通常表現(xiàn)為上小下大，濃度梯度對混摻起到抑制作用。這種抑制作用對泥沙本身的影響可能更為明顯，因此將導(dǎo)致混摻長度的進一步減小。在泥沙濃度足夠大，濃度梯度的抑制作用足夠明顯的情況下，水流的混摻長度可能會小于清水體混摻長度(由表1也可比較得出)。挾沙水流的混摻長度小于清水體混摻長度的現(xiàn)象，在細顆粒泥沙中更容易表現(xiàn)出來。

5 結(jié) 論

以挾沙水流混摻長度的運動機理為基礎(chǔ)，從分形標(biāo)度的角度出發(fā)去探討挾沙水流混摻長度垂線分布模式，并采用最小二乘法和相應(yīng)的邊界條件，確定了分布式的系數(shù)。利用現(xiàn)場資料和試驗數(shù)據(jù)進行了驗證，并與其它公式計算結(jié)果相比較,得出如下結(jié)論：

1)筆者提出的指數(shù)公式比線性公式和其它公式更接近實測值，精度更高。表明該公式可以較好地反映挾沙水流混摻長度垂線分布特征。

2)筆者提出的公式表達式簡潔，原理簡單、過程合理、結(jié)果可信, 建立的挾沙水流的混摻長度指數(shù)公式具有一定的合理性。

3)討論了含沙量與混摻長度的關(guān)系，即含沙量越大，混摻長度越小。這對進一步研究挾沙水流的流速垂線分布提供了有力的數(shù)據(jù)依據(jù)和研究價值。

[1] Prandtl L.Uber die ausgebiidete turbulenz [J].Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 1925, 5: 136-139.

[2] Nikuradse J.粗糙管中水流的規(guī)律[M].北京:水利出版社,1957.

Nikuradse J.Stromrngsgesetze in Rauhen Rohren [M].Beijing:Water Conservancy Press,1957.

[3] Van Driest E R.On turbulent flow near a wall [J].Journal of the Aeronautical Sciences, 1956, 23(11): 1007-1011.

[4] 倪晉仁,王光謙,張紅武.固液兩相流基本理論及其最新應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,1991.

Ni Jinren,Wang Guangqian,Zhang Hongwu.Basic Theory of Two-Phase Flow and Its New Application [M].Beijing:Science Press,1991.

[5] 張小峰,談廣鳴. 非均勻沙含沙量沿垂線分布特征[J].水利學(xué)報,1992(10):48-52.

Zhang Xiaofeng,Tan Guangming.Non-uniform sediment characteristics of vertical distribution of concentration [J].Journal of Hydraulic Engineering,1992(10): 48-52.

[6] Song Z Y,Yan Y X,Hao J L,et al.Study on the log-linear velocity profile of near-bed tidal current in estuarine and coastal waters [J].China Ocean Engineering, 2006, 20(4): 573-584.

[7] Ni Zhihui,Song Zhiyao,Wu Lichun.An approach to separating the current velocity in estuarine and coastal waters [J].Journal of Hydrodynamics, 2009, 21(4): 512-519.

[8] 倪志輝,吳立春,宋志堯.近岸海域海面風(fēng)速分布的預(yù)測方法研究[J].空氣動力學(xué)學(xué)報,2010,28(5):547-552.

Ni Zhihui,Wu Lichun,Song Zhiyao.A method of wind velocity distribution above the sea surface in near-shore waters [J].Acta Aerodynamica Sinica,2010,28(5):547-552.

[9] Vanoni V A.Transportation of suspended sediment by water [J].Transactions of ASCE,1946,111: 67-133.

[10] Einstein H A.Effect of Heavy Sediment Concentration Near the Bed on the Velocity and Sediment Distribution [M].Berkeley,California: Institute of Engineering Research,University of California,1955.

[11] Castro I P,Epik E. Boundary-layer relaxation after a separated region[J].Experimental Thermal and Fluid Science,1996,13(4):338-348.

[12] 楊大升,劉余濱,劉式適.動力氣象學(xué)[M].北京:氣象出版社,1983.

Yang Dasheng,Liu Yubin,Liu Shishi. Dynamic Meteorology [M].Beijing: China Meteorological Press,1983.

[13] 倪志輝,吳立春,舒小紅. 基于分形理論的挾沙水流摻混長度分析[J].人民黃河,2009,31(9):32-33.

Ni Zhihui,Wu Lichun,Shu XiaoHong.The mixed length of the sediment-laden flow based on fractal theory [J].Yellow River,2009,31(9): 32-33.

[14] 嚴(yán)冰.粉沙質(zhì)海岸泥沙運動及航道淤積機理研究[D].天津:天津大學(xué),2008.

Yan Bing.Study of Sediment Transport and Channel Siltation on Silty Coast [D].Tianjin:Tianjin University,2008.

[15] Chien N,Wan Z H.Mechanics of Sediment Transport [M].Reston: ASCE Press,1999.

[16] 嚴(yán)冰,張慶河.基于有限摻混長度概念的懸沙濃度垂線分布研究[J].泥沙研究,2008(1):9-16.

Yan Bing,Zhang Qinghe.Distribution of vertical suspended sediment concentration based on the finite mixing length conception [J].Journal of Sediment Research, 2008(1): 9-16.