董華超，宋保維，王鵬

(西北工業(yè)大學 航海學院，陜西 西安710072)

0 引言

傳統(tǒng)的水下航行器(AUV)殼體設計往往利用經(jīng)驗公式［1］，估算出殼板，肋骨等多處的應力，得到殼體最大強度和穩(wěn)定性，過程繁復、精度不高。隨著未來AUV 工作環(huán)境向大深度的發(fā)展，設計要求變得愈加復雜，僅憑經(jīng)驗估算，已不能滿足設計者的要求。隨著有限元分析軟件(ANSYS)的日趨成熟，有限元仿真技術在AUV 殼體設計中得到了發(fā)展［2］，通過該技術能準確求得殼體中最大處應力，殼體失穩(wěn)臨界壓力等重要參數(shù)，對于大深度AUV 殼體設計具有重要意義。但是有限元仿真使得計算精度提高的同時也相應降低了計算效率。隨著設計變量以及設計目標的增多，利用有限元分析解決AUV 殼體多目標優(yōu)化問題計算量十分龐大。結合有限元分析尋求一種合適的近似策略，在提高計算精度的同時計算效率令人滿意成為了當務之急。李亦文等提出利用有限元分析采樣，最小二乘法構造響應面來解決車輛低速碰撞吸能結構的優(yōu)化設計［3］;甘文彪等提出利用計算流體力學(CFD)技術獲得實驗點，構造自適應響應面［4］對高超聲速飛行器尾噴管進行優(yōu)化設計。他們結合了高精度有限元計算以及代理模型的構造，但是在自適應過程中針對多目標優(yōu)化問題并沒有進行深入研究。

本文針對以上情況提出一種基于自適應響應面法的大深度AUV 殼體結構多目標優(yōu)化方法，利用實驗設計(DOE)得到初始采樣點，有限元分析計算響應值，構建代理模型，通過提出的一種空間采樣方法，在Pareto 解中重獲采樣點補充響應面，使其全局近似精度滿足設計要求，并利用灰色關聯(lián)處理Pareto 解，得到各目標值得“好壞程度”，模擬實際專家對各目標賦權，得到滿意設計。給出一套完整的AUV 殼體結構多目標自動優(yōu)化設計流程，并與傳統(tǒng)經(jīng)驗公式得到結果進行對比，具有實際工程意義。

1 多目標自適應響應面法

本文介紹的多目標自適應響應面法，是針對傳統(tǒng)的自適應響應面法解決多目標問題時提出的，該方法在每次迭代得到的Pareto 解中利用一種空間采點方法均勻取樣，能在使結果滿足精度的同時減少仿真次數(shù)。

1.1 自適應響應面法

自適應響應面法［5-6］的基本思想是先通過較少的樣本點構造近似精度不高的一階響應面，確定尋優(yōu)方向后，在最優(yōu)值附近區(qū)域內(nèi)重新取樣，并將新的樣本點引入設計空間，這樣便可以逐步構造更高階次的樣本點，在后續(xù)的迭代中優(yōu)化高精度響應面重新獲得新的設計點，循環(huán)往復直到滿足精度要求后停止。

傳統(tǒng)的單目標自適應響應面優(yōu)化［7］往往是在每一次迭代得到的最優(yōu)解附近重新采點。而多目標優(yōu)化結果往往不能得到單一的最優(yōu)解，而是一個Pareto 解集。因此本文考慮在Pareto 解集中合理均勻取點，來完善響應面。

考慮響應面的回歸系數(shù)表達式為

式中:φ=［1，x1， xN，x21，x1x2， x1xN， x2N］.

現(xiàn)依據(jù)DOE 得到S 個初始設計點構造得到二階模型回歸系數(shù)為as，已知矩陣為φs，新增一Pareto解XPareto向量，其響應值為yPareto，矩陣變?yōu)?/p>

式中:φPareto=［φ1(XPareto)，φ2(XPareto)， φNB(XPareto)］，且NB 為基項φi(XPareto)的個數(shù)，這里等于1.

新的回歸系數(shù)向量as+1的遞推公式為

記Cs=(φTsφs)-1，(3)式中Ks+1和Cs+1可由以下遞推公式計算:

通過每次從響應面優(yōu)化得到的Pareto 解中均勻取點后，按上式求得新的回歸系數(shù)。

對每次得到的響應面進行誤差分析判斷全局近似精度，定義如下:

經(jīng)過反復迭代后直到局部精度滿足(7)式停止。

(6)式、(7)式中:yi為實測值;為響應面估計值;y為實測值的平均值;S 為測試樣本集的標準差。

1.2 空間采點法

自適應循環(huán)迭代過程每一步都會產(chǎn)生大量的Pareto 解，對整個Pareto 解集進行高精度有限元仿真，需要消耗大量時間，難以實現(xiàn)。文中基于分層采樣法的思想［8］提出一種空間采點法可以盡可能均勻地在Pareto 解集中采點，在滿足近似精度的同時，減少仿真次數(shù)。

假設有兩個目標，優(yōu)化得到的Pareto 最優(yōu)前沿近似分布在一條曲線上。算法步驟如下:

1)首先利用(8)式尋找原點到最優(yōu)前沿上最近的一點。

根據(jù)(8)式得到(fcenter1，fcenter2)作為中心點。以該點為圓心，R 為半徑作圓。

2)計算Pareto 解集中與該圓輪廓線距離小于Δd 的點集。

式中:D=‖(f1，f2)-(fcenter1，fcenter2)‖表示點到圓心的距離。

3)通過第二步求得n 個滿足條件的點。

F={(f(1)1，f(1)2)，(f(2)1，f(2)2)…(f(n)1，f(n)2)}.

計算每個點到剩下n-1 個點的距離:

式中:d(i)(j)表示第i 個點到第j 個點的距離。通過d矩陣可以判斷出圓周上各點在周向的疏密關系。統(tǒng)計每個點的n -1 個相對距離中小于Δd 的個數(shù)作為Nd.

4)如果某點處的Nd大于0，說明有Nd+1 個點聚集在一起，取其中任意一個作為代表點，其他舍去;如果Nd等于0 直接選取。

5)半徑增加R，重復1 ～4 步的操作，直到Pareto前沿范圍內(nèi)的點全部包含進圓內(nèi)為止。

6)下一次迭代采點，適當改變R 的大小重復1 ～5 步的操作。

隨著目標的增多，相應增加(8)式～(10)式的維數(shù)即可。

2 基于多標度賦權求偏好解

對Pareto 解進行加權求和時，不同目標量綱不同，數(shù)量級也不一樣。往往希望先得到每個目標Pareto 解的“好壞”程度。因此本文在賦權之前對每個目標的Pareto 解進行灰色關聯(lián)分析，具體計算過程參見文獻［9］。

傳統(tǒng)AUV 殼體結構設計中，對于多個目標“孰優(yōu)孰劣”問題，往往需要請教在這個領域有豐富工程經(jīng)驗的專家。而專家在給出偏好信息時，通常只能采用例如“目標A 比目標B 重要”等這樣的語言形式來表達目標之間的相對重要性。因此本文結合AUV 殼體結構設計時實際專家賦權情況，采用一種多級標度賦值法把目標間的相對偏好量化為各目標的重要性因子［10］。如表1所示。

表1 多級標度賦值表Tab.1 Multilevel-scale evaluation

通過賦值矩陣C 計算目標fi的重要性因子wi.

式中:SLi=為目標fi對其余所有目標的標度優(yōu)序數(shù)。

3 多目標優(yōu)化流程

基于本文提出的自適應響應面方法AUV 殼體結構多目標優(yōu)化流程如圖1所示。

圖1中，DOE 采用正交實驗設計，響應面從一階開始逐漸提高精度。全局精度通過(6)式判斷，局部精度通過(7)式判斷。

4 AUV 殼體結構優(yōu)化模型

4.1 殼體結構自動化參數(shù)建模

圖2所示為AUV 一小段殼體的縱向剖切簡圖。以殼體厚度t，肋骨間距l(xiāng)，肋骨寬度t2，肋骨長度l2作為設計變量，半徑R =0.324 m，長L =1.5 m.在UG 中進行幾何自動化參數(shù)建模，產(chǎn)生x_t 文件。通過ANSYS 的命令流錄制文件，自動分析計算。

屈服極限σs=343 MPa，彈性模量E =71 GPa，泊松比μ =0.33，密度ρ =2 700 kg/m3.載荷條件為:

1)外壓:本文所設計的耐壓殼體工作在500 m水深，殼體外壓載荷pj=5.5 MPa;

圖1 優(yōu)化流程示意圖Fig.1 Flow chart of multi-objective optimization

圖2 AUV 矩形殼體肋骨結構簡圖Fig.2 AUV shell structure with rectangular ribs

2)約束:一端全固定約束，另一端只允許軸向移動;

3)軸向載荷:只允許軸向移動端加軸向載荷，其值由最大橫截面積和殼體端面面積的比乘以外壓載荷得到。

4.2 殼體結構優(yōu)化模型建立

以t、l、t2、l2為設計變量;殼體最大應力σmax最小，殼體失穩(wěn)臨界壓力pc最大，殼體質(zhì)量m 最小為優(yōu)化目標;殼體最大應力小于0.85 倍的屈服極限，且殼體失穩(wěn)臨界壓力大于1.2 倍外載荷為約束［1］。給出優(yōu)化模型為

式中:n(l)為肋骨根數(shù)。

5 優(yōu)化求解

用經(jīng)驗公式優(yōu)化得到最優(yōu)解作為初始點，并在該點附近進行正交DOE，根據(jù)第3 節(jié)的多目標優(yōu)化流程，自動計算。計算前先對3 個目標Pareto 解進行統(tǒng)一無量綱處理(其中σmax先求倒數(shù)，使得3 個目標統(tǒng)一最小最好)，Δd 設置為0.01。且采點半徑R分別選取0.04，0.06，0.08，0.1.隨迭代，從0.04 到0.1 循環(huán)采集，這樣保證盡可能均勻地采集到Pareto解，以半徑為0.1 時的空間采點示意圖如圖3所示。根據(jù)精度要求設置R2小于0.999，δ 小于0.01.采用經(jīng)典多目標優(yōu)化算法NSGA2，種群大小設置50，種群代數(shù)設置100.經(jīng)過8 次迭代，107 次仿真計算得到3 個目標的響應面如下:

求出m、σmax關于Pareto 解中最小值的灰色關聯(lián)度，pc關于Pareto 解中最大值的灰色關聯(lián)度，如圖4所示。

AUV 殼體設計專家給出目標間的相對重要程度為:m 比σmax重要的多;m 比pc重要;pc比σmax稍微重要一點。根據(jù)表1得到賦權矩陣為

圖3 空間采點示意圖Fig.3 Schematic diagram of spatial sampling points

圖4 Pareto 解經(jīng)灰色關聯(lián)后示意圖Fig.4 Prareto results after grey relational analysis

得到w1為11/54，w2為15/54，w3為28/54.定義總體性能指標F 如下:

式中:G(·)表示灰色關聯(lián)度。最終根據(jù)總體性能指標找到滿意解。仿真結果如圖5所示。

殼體質(zhì)量m 的減小勢必導致殼體處最大應力σmax變大和殼體失穩(wěn)臨界壓力pc減小。根據(jù)表2數(shù)據(jù)可知本文設計得到的優(yōu)化結果:殼體最大應力σmax在滿足約束的情況下增加41.58%，殼體失穩(wěn)臨界壓力pc在滿足約束的情況下減小25%，殼體質(zhì)量m 減小20.5%，總體性能提高14.67%.綜上可知，該方法在滿足近似精度的同時，結果可行有效，具有實際的工程意義。

圖5 優(yōu)化仿真結果圖Fig.5 Diagram of simulation of optimal solution

表2 經(jīng)驗公式結果與優(yōu)化后設計結果對比Tab.2 Comparison of original and optimized resualts

6 結論

針對大深度AUV 殼體結構多目標優(yōu)化問題，以有限元仿真技術為基礎，利用多項式近似方法構造代理模型，通過提出的空間采點法實現(xiàn)響應面的更新。本文與傳統(tǒng)利用經(jīng)驗公式計算殼體結構的設計方法進行了對比，優(yōu)化使得最終殼體結構多目標問題的總體性能提高了14.67%.本文對殼體結構有限元仿真自動優(yōu)化技術提出了一個完整設計框架，為水下航行器殼體結構設計領域提出一種新的設計思路，具有工程參考意義。

對于未來計算新型的復雜殼體結構，本文還需要從優(yōu)化算法，近似方法兩方面改進，來滿足模型高度非線性的特點。

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