李昭平+汪和平

2012年安徽數(shù)學理科卷第21題壓軸題是：

數(shù)列{xn}滿足：x1=0，xn+1=-x2n+xn+c（n∈N*）.（Ⅰ）證明：數(shù)列{xn}是單調遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0；（Ⅱ）求c的取值范圍，使數(shù)列{xn}是單調遞增數(shù)列.

2考題分析

該題立意新穎、設計巧妙、交匯靈活，避開了高考數(shù)列常常關注遞推式與通項、前n項和的視角，而以函數(shù)為背景給出遞推數(shù)列，與函數(shù)、不等式、數(shù)列的單調性、簡易邏輯、數(shù)學歸納法等問題有機融合，需要多個數(shù)學分支的知識和多種數(shù)學思想方法，突出試題的探索性與開放性，充分體現(xiàn)了新課改理念，對考生推理論證、抽象概括、運算求解和探究能力，以及考生縝密的思維習慣等都有很高的要求，同時也對考生應變能力與心理素質進行了有效測評，具有很好的選拔區(qū)分功能.據(jù)了解，考場中不少考生望題生畏，不清楚遞推關系反映數(shù)列哪些性質，也不知道如何去弄清楚這些性質，沒有順利求得結論.從高考閱卷信息反饋得知，本題全省50多萬考生中只有一人得滿分，難度系數(shù)在01左右.這促使我們對本題的深度思考，通過探析此類問題的命題背景，嘗試探究一般解題方法與思想，獲得一般性結論.這樣做，既豐富了函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，又拓寬了研究性學習的素材，更發(fā)展了學生的能力.

3背景探究

命題1定義在區(qū)間D上單調遞增的連續(xù)函數(shù)y=f（x），其值域也為區(qū)間D，且f（x）>x在D上恒成立.若數(shù)列{xn}滿足x1∈D，xn+1=f（xn），則數(shù)列{xn}必為單調遞增數(shù)列.

證明因為xn+1=f（xn）>xn對任意正整數(shù)n都成立，所以{xn}為單調遞增數(shù)列.

6三點啟示

6.1學會解題

解題是從明確給出的、已知的東西出發(fā)，去發(fā)現(xiàn)隱含的、存在的、待求解（證）的結論的思維活動，是一個積極而生動的創(chuàng)造過程.這個過程要求學生善于從數(shù)學問題的整體結構及條件與結論的相互聯(lián)系中去尋找解決問題的途徑，會將復雜的問題或形式轉化為簡單的問題或形式，把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，尤其是轉化為自己掌握了的基本問題.函數(shù)背景下的數(shù)列單調性問題很抽象，但結合函數(shù)圖象和性質去探究問題的背景與規(guī)律的本原，理解問題的來龍去脈，形成易于理解的簡單直觀的命題系列，以數(shù)解形、以形助數(shù)，將問題換一種形式或換一個角度去分析理解，就能有效地解決.

6.2善于教學

數(shù)學的本質是數(shù)學思維，數(shù)學教學就是要引領學生親歷探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋根求源的過程，合情推理與邏輯推理相結合的過程，不僅要獲得數(shù)學結論或抽象的數(shù)學形式，更要清楚它的直觀原型.只有切實引領學生經歷知識背景與規(guī)律的探究過程，理解問題的來龍去脈、就題論道，才能實現(xiàn)方法的靈活運用和數(shù)學思想的形成，從而提高解題能力.對文中所列的這些看似孤立、零散、較難的高考題的教學，如果沒有將問題系統(tǒng)化，恰當?shù)乩斫膺f推規(guī)律與背景，則每個題目對于學生來說是非?；逎y懂的，這樣的教學就會失去應有的價值.

6.3有效備考

在當前以高校教師為主體和主導的高考命題背景下，高等數(shù)學的影子、競賽題的影子常常出現(xiàn)，呈現(xiàn)題面新穎、方法靈活、內涵豐富的特點.如何應對這樣的考題是備考復習中要重視和研究的.這類問題的復習教學仍然應該立足基礎知識與方法，比如考題背景的各個命題是符合學生認知特點的，是學生能夠理解的.因此高考備考教學不能讓課程標準或考試大綱束縛了手腳，或者一味地去猜測考題的組合形式，應多拋出問題，從根本處出發(fā)，遵循數(shù)學的本性，立足問題本源和學生認知基礎與能力，深入理解和靈活運用數(shù)學思想方法，就能實現(xiàn)執(zhí)果索因、探本清源，達到思維能力的提高、數(shù)學方法思想的領悟和高考成績的豐收.

參考文獻

[1]李昭平，汪和平.讓過程展示思維風采[J].中學數(shù)學，2012（10）.

[2]李春雷.用函數(shù)不動點原理破解數(shù)列單調性[J].中學數(shù)學研究，2011（6）.

作者簡介李昭平，男，1963年8月生，太湖中學副校長，安徽省數(shù)學特級教師.多年來，所授班級的學生多次在全國初、高中數(shù)學奧林匹克競賽和省市青少年科技創(chuàng)新大賽中獲省等級獎，高考、會考成績優(yōu)異.曾獲得安徽省“教壇新星”、安慶市數(shù)學學科帶頭人、安慶市先進教研個人、安慶市名師、市級優(yōu)秀教師、省市優(yōu)秀科技輔導教師等榮譽稱號.2006年獲安慶市市長獎，享受安徽省人民政府特殊津貼.迄今為止，在國家級、省級具有CN刊號的報刊雜志上發(fā)表教育教學論文460余篇，在省內外進行名師交流講座70多場.endprint

2012年安徽數(shù)學理科卷第21題壓軸題是：

數(shù)列{xn}滿足：x1=0，xn+1=-x2n+xn+c（n∈N*）.（Ⅰ）證明：數(shù)列{xn}是單調遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0；（Ⅱ）求c的取值范圍，使數(shù)列{xn}是單調遞增數(shù)列.

2考題分析

該題立意新穎、設計巧妙、交匯靈活，避開了高考數(shù)列常常關注遞推式與通項、前n項和的視角，而以函數(shù)為背景給出遞推數(shù)列，與函數(shù)、不等式、數(shù)列的單調性、簡易邏輯、數(shù)學歸納法等問題有機融合，需要多個數(shù)學分支的知識和多種數(shù)學思想方法，突出試題的探索性與開放性，充分體現(xiàn)了新課改理念，對考生推理論證、抽象概括、運算求解和探究能力，以及考生縝密的思維習慣等都有很高的要求，同時也對考生應變能力與心理素質進行了有效測評，具有很好的選拔區(qū)分功能.據(jù)了解，考場中不少考生望題生畏，不清楚遞推關系反映數(shù)列哪些性質，也不知道如何去弄清楚這些性質，沒有順利求得結論.從高考閱卷信息反饋得知，本題全省50多萬考生中只有一人得滿分，難度系數(shù)在01左右.這促使我們對本題的深度思考，通過探析此類問題的命題背景，嘗試探究一般解題方法與思想，獲得一般性結論.這樣做，既豐富了函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，又拓寬了研究性學習的素材，更發(fā)展了學生的能力.

3背景探究

命題1定義在區(qū)間D上單調遞增的連續(xù)函數(shù)y=f（x），其值域也為區(qū)間D，且f（x）>x在D上恒成立.若數(shù)列{xn}滿足x1∈D，xn+1=f（xn），則數(shù)列{xn}必為單調遞增數(shù)列.

證明因為xn+1=f（xn）>xn對任意正整數(shù)n都成立，所以{xn}為單調遞增數(shù)列.

6三點啟示

6.1學會解題

解題是從明確給出的、已知的東西出發(fā)，去發(fā)現(xiàn)隱含的、存在的、待求解（證）的結論的思維活動，是一個積極而生動的創(chuàng)造過程.這個過程要求學生善于從數(shù)學問題的整體結構及條件與結論的相互聯(lián)系中去尋找解決問題的途徑，會將復雜的問題或形式轉化為簡單的問題或形式，把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，尤其是轉化為自己掌握了的基本問題.函數(shù)背景下的數(shù)列單調性問題很抽象，但結合函數(shù)圖象和性質去探究問題的背景與規(guī)律的本原，理解問題的來龍去脈，形成易于理解的簡單直觀的命題系列，以數(shù)解形、以形助數(shù)，將問題換一種形式或換一個角度去分析理解，就能有效地解決.

6.2善于教學

數(shù)學的本質是數(shù)學思維，數(shù)學教學就是要引領學生親歷探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋根求源的過程，合情推理與邏輯推理相結合的過程，不僅要獲得數(shù)學結論或抽象的數(shù)學形式，更要清楚它的直觀原型.只有切實引領學生經歷知識背景與規(guī)律的探究過程，理解問題的來龍去脈、就題論道，才能實現(xiàn)方法的靈活運用和數(shù)學思想的形成，從而提高解題能力.對文中所列的這些看似孤立、零散、較難的高考題的教學，如果沒有將問題系統(tǒng)化，恰當?shù)乩斫膺f推規(guī)律與背景，則每個題目對于學生來說是非?；逎y懂的，這樣的教學就會失去應有的價值.

6.3有效備考

在當前以高校教師為主體和主導的高考命題背景下，高等數(shù)學的影子、競賽題的影子常常出現(xiàn)，呈現(xiàn)題面新穎、方法靈活、內涵豐富的特點.如何應對這樣的考題是備考復習中要重視和研究的.這類問題的復習教學仍然應該立足基礎知識與方法，比如考題背景的各個命題是符合學生認知特點的，是學生能夠理解的.因此高考備考教學不能讓課程標準或考試大綱束縛了手腳，或者一味地去猜測考題的組合形式，應多拋出問題，從根本處出發(fā)，遵循數(shù)學的本性，立足問題本源和學生認知基礎與能力，深入理解和靈活運用數(shù)學思想方法，就能實現(xiàn)執(zhí)果索因、探本清源，達到思維能力的提高、數(shù)學方法思想的領悟和高考成績的豐收.

參考文獻

[1]李昭平，汪和平.讓過程展示思維風采[J].中學數(shù)學，2012（10）.

[2]李春雷.用函數(shù)不動點原理破解數(shù)列單調性[J].中學數(shù)學研究，2011（6）.

作者簡介李昭平，男，1963年8月生，太湖中學副校長，安徽省數(shù)學特級教師.多年來，所授班級的學生多次在全國初、高中數(shù)學奧林匹克競賽和省市青少年科技創(chuàng)新大賽中獲省等級獎，高考、會考成績優(yōu)異.曾獲得安徽省“教壇新星”、安慶市數(shù)學學科帶頭人、安慶市先進教研個人、安慶市名師、市級優(yōu)秀教師、省市優(yōu)秀科技輔導教師等榮譽稱號.2006年獲安慶市市長獎，享受安徽省人民政府特殊津貼.迄今為止，在國家級、省級具有CN刊號的報刊雜志上發(fā)表教育教學論文460余篇，在省內外進行名師交流講座70多場.endprint

2012年安徽數(shù)學理科卷第21題壓軸題是：

數(shù)列{xn}滿足：x1=0，xn+1=-x2n+xn+c（n∈N*）.（Ⅰ）證明：數(shù)列{xn}是單調遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0；（Ⅱ）求c的取值范圍，使數(shù)列{xn}是單調遞增數(shù)列.

2考題分析

該題立意新穎、設計巧妙、交匯靈活，避開了高考數(shù)列常常關注遞推式與通項、前n項和的視角，而以函數(shù)為背景給出遞推數(shù)列，與函數(shù)、不等式、數(shù)列的單調性、簡易邏輯、數(shù)學歸納法等問題有機融合，需要多個數(shù)學分支的知識和多種數(shù)學思想方法，突出試題的探索性與開放性，充分體現(xiàn)了新課改理念，對考生推理論證、抽象概括、運算求解和探究能力，以及考生縝密的思維習慣等都有很高的要求，同時也對考生應變能力與心理素質進行了有效測評，具有很好的選拔區(qū)分功能.據(jù)了解，考場中不少考生望題生畏，不清楚遞推關系反映數(shù)列哪些性質，也不知道如何去弄清楚這些性質，沒有順利求得結論.從高考閱卷信息反饋得知，本題全省50多萬考生中只有一人得滿分，難度系數(shù)在01左右.這促使我們對本題的深度思考，通過探析此類問題的命題背景，嘗試探究一般解題方法與思想，獲得一般性結論.這樣做，既豐富了函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，又拓寬了研究性學習的素材，更發(fā)展了學生的能力.

3背景探究

命題1定義在區(qū)間D上單調遞增的連續(xù)函數(shù)y=f（x），其值域也為區(qū)間D，且f（x）>x在D上恒成立.若數(shù)列{xn}滿足x1∈D，xn+1=f（xn），則數(shù)列{xn}必為單調遞增數(shù)列.

證明因為xn+1=f（xn）>xn對任意正整數(shù)n都成立，所以{xn}為單調遞增數(shù)列.

6三點啟示

6.1學會解題

解題是從明確給出的、已知的東西出發(fā)，去發(fā)現(xiàn)隱含的、存在的、待求解（證）的結論的思維活動，是一個積極而生動的創(chuàng)造過程.這個過程要求學生善于從數(shù)學問題的整體結構及條件與結論的相互聯(lián)系中去尋找解決問題的途徑，會將復雜的問題或形式轉化為簡單的問題或形式，把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，尤其是轉化為自己掌握了的基本問題.函數(shù)背景下的數(shù)列單調性問題很抽象，但結合函數(shù)圖象和性質去探究問題的背景與規(guī)律的本原，理解問題的來龍去脈，形成易于理解的簡單直觀的命題系列，以數(shù)解形、以形助數(shù)，將問題換一種形式或換一個角度去分析理解，就能有效地解決.

6.2善于教學

數(shù)學的本質是數(shù)學思維，數(shù)學教學就是要引領學生親歷探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋根求源的過程，合情推理與邏輯推理相結合的過程，不僅要獲得數(shù)學結論或抽象的數(shù)學形式，更要清楚它的直觀原型.只有切實引領學生經歷知識背景與規(guī)律的探究過程，理解問題的來龍去脈、就題論道，才能實現(xiàn)方法的靈活運用和數(shù)學思想的形成，從而提高解題能力.對文中所列的這些看似孤立、零散、較難的高考題的教學，如果沒有將問題系統(tǒng)化，恰當?shù)乩斫膺f推規(guī)律與背景，則每個題目對于學生來說是非常晦澀難懂的，這樣的教學就會失去應有的價值.

6.3有效備考

在當前以高校教師為主體和主導的高考命題背景下，高等數(shù)學的影子、競賽題的影子常常出現(xiàn)，呈現(xiàn)題面新穎、方法靈活、內涵豐富的特點.如何應對這樣的考題是備考復習中要重視和研究的.這類問題的復習教學仍然應該立足基礎知識與方法，比如考題背景的各個命題是符合學生認知特點的，是學生能夠理解的.因此高考備考教學不能讓課程標準或考試大綱束縛了手腳，或者一味地去猜測考題的組合形式，應多拋出問題，從根本處出發(fā)，遵循數(shù)學的本性，立足問題本源和學生認知基礎與能力，深入理解和靈活運用數(shù)學思想方法，就能實現(xiàn)執(zhí)果索因、探本清源，達到思維能力的提高、數(shù)學方法思想的領悟和高考成績的豐收.

參考文獻

[1]李昭平，汪和平.讓過程展示思維風采[J].中學數(shù)學，2012（10）.

[2]李春雷.用函數(shù)不動點原理破解數(shù)列單調性[J].中學數(shù)學研究，2011（6）.

作者簡介李昭平，男，1963年8月生，太湖中學副校長，安徽省數(shù)學特級教師.多年來，所授班級的學生多次在全國初、高中數(shù)學奧林匹克競賽和省市青少年科技創(chuàng)新大賽中獲省等級獎，高考、會考成績優(yōu)異.曾獲得安徽省“教壇新星”、安慶市數(shù)學學科帶頭人、安慶市先進教研個人、安慶市名師、市級優(yōu)秀教師、省市優(yōu)秀科技輔導教師等榮譽稱號.2006年獲安慶市市長獎，享受安徽省人民政府特殊津貼.迄今為止，在國家級、省級具有CN刊號的報刊雜志上發(fā)表教育教學論文460余篇，在省內外進行名師交流講座70多場.endprint