唐世嬌，周建庭，孫伊圣，樊甘露，鐘 恒

(1.重慶交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院，重慶 400074；2.中交第二航務(wù)工程局有限公司，湖北 武漢 430014)

各國(guó)橋梁加固技術(shù)的研究早己廣泛展開，不僅在理論上有所突破，而且在工程實(shí)踐中取得了大量的經(jīng)驗(yàn)。但是針對(duì)具體的加固工作目前還沒有形成統(tǒng)一的規(guī)范；橋梁加固的工作很大程度還是依靠經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行，這不可避免的會(huì)出現(xiàn)盲目性和主觀性，不利于工作的進(jìn)行和整體水平的提高。

增大截面加固石拱橋是一種常用的加固石拱橋方法[1]，因?yàn)槠溆兄^為成熟的理論和實(shí)踐基礎(chǔ)，在現(xiàn)階段的石拱橋加固過(guò)程中被廣泛的運(yùn)用。在選擇采用增大截面加固石拱橋的加固層厚度問(wèn)題上工程師或是憑經(jīng)驗(yàn)，或是采用條件相近的工程對(duì)比來(lái)確定尺寸，接著再通過(guò)反復(fù)試算來(lái)驗(yàn)證此加固后的截面是否能滿足承載力要求，其計(jì)算繁瑣、工程量大，同時(shí)這種設(shè)計(jì)成果存在著任意性，所得的尺寸并非最優(yōu)。

現(xiàn)階段，針對(duì)橋梁加固方案優(yōu)選方面的研究比較多，其運(yùn)用的主要數(shù)學(xué)手段有模糊數(shù)學(xué)法、層次分析法、系統(tǒng)分析法及專家系統(tǒng)法等，各有優(yōu)缺點(diǎn)。但是，具體到針對(duì)某一方案所采用的結(jié)構(gòu)構(gòu)造、尺寸卻少有被提及。筆者將采用優(yōu)選法對(duì)增大截面加固石拱橋的加固層厚度進(jìn)行研究，最終得到一個(gè)合理的，快捷的加固層厚度值。

1 基本原理

優(yōu)選法(optimization method)是指以數(shù)學(xué)原理為指導(dǎo)，合理地安排試驗(yàn)點(diǎn)，減少試驗(yàn)次數(shù)，以求迅速地找到最佳點(diǎn)的一類科學(xué)方法[2]。

優(yōu)選法來(lái)源于來(lái)回調(diào)試方法，是一種通過(guò)試驗(yàn)尋求單峰函數(shù)極值最優(yōu)解的科學(xué)方法。美國(guó)科學(xué)家J·基弗在1953年最早提出此方法，20世紀(jì)70年代中國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚在國(guó)內(nèi)推廣并取得實(shí)效。優(yōu)選法的應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛，可以解決那些試驗(yàn)指標(biāo)與因素間不能用數(shù)學(xué)公式表達(dá)，或雖有表達(dá)式但很復(fù)雜的問(wèn)題。

在單因素優(yōu)選法中，黃金分割優(yōu)選法(0.618法)、菲波那契數(shù)列優(yōu)選法(分?jǐn)?shù)法)、對(duì)分法是較常被運(yùn)用到的方法，筆者采用對(duì)分法對(duì)增大截面加固石拱橋最優(yōu)加固層厚度取值問(wèn)題進(jìn)行探討。

對(duì)分法的基本思路是首先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定試驗(yàn)范圍，假定物質(zhì)A處于 (a，b)之間，第1次在(a，b)的中點(diǎn)m1處做試驗(yàn)，如果試驗(yàn)結(jié)果表明此時(shí)物質(zhì)A的各項(xiàng)性能指標(biāo)均得到認(rèn)可，則去掉大于m1的1/2，第2次試驗(yàn)在(a，m1)的中點(diǎn)m2處進(jìn)行；反之，如果第1次試驗(yàn)結(jié)果表明此時(shí)物質(zhì)A的某項(xiàng)性能指標(biāo)不符合要求，則去掉小于m1的1/2，第2次試驗(yàn)在(m1，b)的中點(diǎn)處進(jìn)行。循環(huán)直至找到所要求的點(diǎn)。這個(gè)方法的要點(diǎn)是每個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)都取在試驗(yàn)范圍的中點(diǎn)，將試驗(yàn)范圍分為兩半。

2 基本思路

影響橋梁承載能力的因素有很多，為了簡(jiǎn)化評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，筆者僅僅考慮單個(gè)因素的影響，即只考慮對(duì)目標(biāo)承載能力F影響較大的因素：石拱橋加固層厚度x，其它因素保持不變 ，進(jìn)行多次迭代來(lái)確定F(x)在定義區(qū)間(a，b)的最大值的近似位置，從而選出一個(gè)比較合理的加固層厚度值。

為避免不必要誤解，首先對(duì)兩個(gè)記號(hào)作說(shuō)明：①(a，b)：表示實(shí)數(shù)空間上的一段開區(qū)間，但并不包括兩個(gè)邊界點(diǎn)；②p≡q：表示把q的值賦予p。

如圖1，運(yùn)用到實(shí)腹式石拱橋加固層厚度選取的對(duì)分法步驟如下：

1)確定加固層厚度的試驗(yàn)范圍 (a，b)；任一給定的試驗(yàn)精度ε>0；

2)將(a，b)均分為2份，取(a，b)的中點(diǎn)m1；

3)取(a，m1)里接近m1的點(diǎn)m2，對(duì)橋梁進(jìn)行加固承載力的評(píng)判，得到對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵截面承載能力F(m1)、F(m2)；

“??？我求你？我什么時(shí)候求過(guò)你，我用得著求你嗎？”馬國(guó)平不服氣地嚷著，“我命大福大，一點(diǎn)皮毛之傷，抓一把土撒上，血就止住了，傷就愈合了?！?/p>

4)如果F(m1)≥F(m2)，記(a，b)≡(m1，b)；否則，記(a，b)≡(a，m1)；

5)轉(zhuǎn)到第2)步，迭代計(jì)算；

6)當(dāng)b-a≤ε時(shí)，∨mx∈(a，b)為最優(yōu)解，算法終止。

圖1 優(yōu)選法推求最優(yōu)加固層厚度流程Fig.1 The deductive flow chart of the optimal reinforcement layer thickness based on optimization method

3 優(yōu)選法的運(yùn)用

3.1 最優(yōu)加固層厚度的選定

分別對(duì)跨徑為6，8，10，13，16 m的石拱橋橋梁進(jìn)行加固，并采用優(yōu)選法對(duì)其進(jìn)行評(píng)判甄選，確定其最優(yōu)加固層厚度。筆者僅對(duì)跨徑為13 m的標(biāo)準(zhǔn)實(shí)腹式石拱橋進(jìn)行描述[6]，其失跨比1/4，拱圈厚0.55 m，拱板寬7 m，材料為M7.5號(hào)砂漿砌 40 號(hào)塊石。

根據(jù)橋梁基本情況，對(duì)石拱橋進(jìn)行加固確定其加固層厚度前，可以先對(duì)石拱橋做出一個(gè)基本的判斷(圖2)，將加固層厚度值界定于一個(gè)范圍內(nèi)，為了石拱橋本身的構(gòu)造需要，加固層厚度最小應(yīng)取8 cm[5]。

圖2L=13 m時(shí)，加固層厚度排列順序Fig.2 Order figure of the reinforcement layer thickness whenL= 13 m

首先先將加固層厚度定在8～30 cm這個(gè)范圍內(nèi)(圖2)，并取精度ε=3。在該跨徑下，首先選定x=19.0 cm，計(jì)算其關(guān)鍵截面承載力，最終發(fā)現(xiàn)拱腳截面的軸向力偏心距e=M/N=0.135>0.130，此時(shí)為大偏心構(gòu)件，拱腹受拉，承載力將大幅度下降，已不能滿足規(guī)范要求。第2次選定(8,19)靠近19的點(diǎn)x=16.25 cm，同樣發(fā)現(xiàn)其拱腳截面處于大偏心的狀態(tài)，不能滿足規(guī)范要求。則可去掉8～19 cm這一段，賦予區(qū)間(19，30)，因?yàn)閎-m1=30-19=11>ε=3，則繼續(xù)在19～30 cm的范圍運(yùn)用優(yōu)選法進(jìn)行優(yōu)選。在區(qū)間(19,30)取一半值x=24.5 cm，得到其關(guān)鍵截面承載力F(24.5)，并取接近于此值的x=21.75 cm，計(jì)算得到其承載力F(21.5)，判斷在x=21.75 cm情況下，加固后橋梁承載力提升效果較x=24.5 cm好，此時(shí)賦予區(qū)間(19, 21.75)，因?yàn)榇藭r(shí)m1-a=21.75-19=2.75<ε=3，則結(jié)束迭代過(guò)程，取x=21.75 cm為此加固厚度的最優(yōu)值。對(duì)比過(guò)程如表1。

表1 L=13 m時(shí)各加固層厚度比選 Table 1 Selection of each reinforcement layer thickness when L = 13 m

注：承載力富余量取拱腳、L/4、拱頂?shù)?處截面的值進(jìn)行對(duì)比。

3.2 方程的建立

X= 15.265lnL- 17.644

(1)式中：X為加固層厚度，cm；L為所加固石拱橋跨徑，m。表2 不同跨度最優(yōu)加固層厚度 Table 2 Optimal reinforcement layer thickness value of different spans

在實(shí)際橋梁加固過(guò)程中，采用增大截面方法加固橋梁時(shí)所采用的加固結(jié)構(gòu)層的厚度還與多個(gè)因素有關(guān)，例如橋梁所處公路的公路等級(jí)、交通量、原橋的截面厚度、橋梁失跨比等。筆者在此僅僅考慮了橋梁跨徑與加固層厚度的函數(shù)關(guān)系，為了增加其可靠性，故增設(shè)一個(gè)安全系數(shù)，得到修正公式(2)：

X= 15.265lnL- 17.644 +C

(2)

3.3 C的取值分析

C的取值主要考慮兩個(gè)方面：一方面是計(jì)算承載力過(guò)程中為了簡(jiǎn)化計(jì)算而進(jìn)行的一些等效工作與假定；另一方面是考慮現(xiàn)澆鋼筋混凝土的最小尺寸要求、主拱圈必要的強(qiáng)度儲(chǔ)備等因素以確定最小加固層厚度。

實(shí)際等效工作與假定主要有幾個(gè)方面：①平面變形假定，截面法線方向與切線方向的夾角在變形前后保持不變；②忽略了一些次要因素而帶來(lái)偏于不安全的后果，如忽略了剪力的影響；③考慮了橋梁不同的狀態(tài)，計(jì)算時(shí)考慮一定的折減系數(shù)。綜合以上考慮，并參考課題組在赴西藏、貴州、重慶等眾多橋梁實(shí)地考察、調(diào)研并對(duì)其中的部分橋梁分析計(jì)算整理的基礎(chǔ)上，提出C=3.0的取值。

同時(shí)考慮主拱圈必要的強(qiáng)度儲(chǔ)備而必須設(shè)立的最小加固層厚度，在跨徑為5 m時(shí)，最小加固層厚度至少取8 cm的要求，可以反推得到C=1.1的取值。

綜合上述兩個(gè)方面，可以整理分析得到C=3.0的取值。

即采用增大截面加固時(shí)最優(yōu)加固層厚度與跨徑之間的函數(shù)關(guān)系式為：

X= 15.265lnL- 14.644

(3)式中：X為加固層厚度，cm；L為所加固石拱橋跨徑，m。

由式(3)函數(shù)線形可以看出，當(dāng)跨徑逐漸增大到一定值時(shí)，加固層的厚度就不再隨著跨徑的增大而增大，而是趨于平穩(wěn)，也就是說(shuō)，由于加固層本身的混凝土重量對(duì)原結(jié)構(gòu)的影響較大，若加固層厚度過(guò)大則其加固性價(jià)比將會(huì)降低，這也吻合了現(xiàn)實(shí)中石拱橋加固的實(shí)際情況。

在實(shí)際橋梁的加固過(guò)程中，可以運(yùn)用上述方法，輸入?yún)?shù)計(jì)算得到一個(gè)較為準(zhǔn)確的加固層厚度值，再對(duì)其進(jìn)行承載力等相關(guān)驗(yàn)算，從而避免了材料的浪費(fèi)和大量的試算驗(yàn)算工作。

3.4 工程實(shí)例

重慶市某橋是一座凈跨徑14 m，凈矢高3.7 m的等截面懸鏈線單跨實(shí)腹式石拱橋，主拱圈厚度0.5 m，寬度5 m，經(jīng)質(zhì)檢部門檢測(cè)該橋被鑒定為危橋。決定對(duì)該橋主拱圈加固處治，由專家評(píng)選擬定用增大截面

加固主拱圈，通過(guò)反復(fù)試算，并結(jié)合類似橋梁加固方案，最終擬定其加固層厚度為25 cm。

現(xiàn)采用筆者通過(guò)優(yōu)選法所得函數(shù)關(guān)系式(3)進(jìn)行計(jì)算加固層厚度。直接代入跨徑L=14 m，經(jīng)計(jì)算得到X=25.6 cm，由此可得此橋的最優(yōu)加固層厚度為25.6 cm。

將此方法得到的厚度值與專家通過(guò)經(jīng)驗(yàn)得到的厚度值進(jìn)行加固承載力對(duì)比，得到結(jié)果如表3。

表3 L=14 m時(shí)加固承載力對(duì)比 Table 3 Comparison table of shear capacity when L=14 m

通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，不同加固層厚度下的關(guān)鍵截面承載力富余量較為接近。而本文所使用的優(yōu)選法及最后所得函數(shù)關(guān)系式確定的加固層厚度在同樣能滿足承載力要求的情況下，其擬定更加快捷。

4 結(jié) 語(yǔ)

大量的石拱橋由于經(jīng)過(guò)了長(zhǎng)時(shí)間的交通壓力和荷載作用處于一個(gè)較差的工作狀態(tài)。而實(shí)施簡(jiǎn)單、快速的加固處治方法，可以迅速、經(jīng)濟(jì)地提高其承載能力，而確定橋梁加固的結(jié)構(gòu)尺寸至今規(guī)范未作明確的要求。因此，筆者運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，以滿足承載力為前提，通過(guò)分析研究得到有效方便的增大截面加固石拱橋加固層厚度的取值公式。

當(dāng)然，影響增大截面加固石拱橋加固層厚度的因素有很多，筆者僅分析了其中的跨徑這一因素；同時(shí)為了簡(jiǎn)化計(jì)算對(duì)比過(guò)程，僅以最關(guān)心的目標(biāo)承載力作為考慮因素，公式在應(yīng)用過(guò)程中難免出現(xiàn)偏差。因此，在實(shí)踐中需要不斷積累資料或進(jìn)一步考慮其他因素，完善和精確該公式。

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