劉 鋒，陳得良

(1.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410014；2. 湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

0 引 言

橋梁這類工程結(jié)構(gòu)，常承受不同類型、不同重量和不同速度車輛的作用。RC(鋼筋混凝土梁)梁在運(yùn)營(yíng)的過程中易產(chǎn)生裂紋，而FRP(纖維增強(qiáng)復(fù)合材料)具有質(zhì)輕、高強(qiáng)、抗疲勞等特性，因此用FRP對(duì)該類帶裂紋RC構(gòu)件進(jìn)行加固是橋梁加固的有效方法[1-3]。

FRP復(fù)合材料運(yùn)用于橋梁加固的時(shí)間相對(duì)較短，現(xiàn)還鮮有關(guān)于FRP加固具單裂紋RC梁疲勞性能的研究報(bào)道。且現(xiàn)有的研究成果主要集中于實(shí)驗(yàn)研究。為了研究FRP加固RC梁后的疲勞性能，G.Williams，等[4]對(duì)加固后的Vintage橋進(jìn)行了長(zhǎng)期監(jiān)控，并將數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)測(cè)試的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比研究。黃培彥，等[5-6]對(duì)FRP加固RC梁的疲勞主裂紋擴(kuò)展速率和主裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行了相關(guān)研究。國(guó)內(nèi)學(xué)者研究了CFL(碳纖維薄板)增強(qiáng)RC梁在循環(huán)載荷作用下的疲勞性能，并對(duì)其在隨機(jī)變幅疲勞荷載下進(jìn)行了相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究[7-8]。裂紋導(dǎo)致的應(yīng)力集中效應(yīng)在國(guó)內(nèi)外現(xiàn)有關(guān)于具單裂紋加固梁的研究還鮮有報(bào)道。在對(duì)具單裂紋加固梁進(jìn)行疲勞分析時(shí)，筆者通過引入裂紋影響因子來描述裂紋尖端附近的應(yīng)力集中現(xiàn)象，并結(jié)合加固梁對(duì)外載荷的位移響應(yīng)，分析加固梁的疲勞性能。

1 動(dòng)力學(xué)方程的建立

圖1為FRP加固具單裂紋RC簡(jiǎn)支梁模型圖，在梁上作用大小為Psinωt的簡(jiǎn)諧載荷，xC為裂紋距梁左端支座的距離，xP為載荷作用點(diǎn)距離梁左端支座的距離，AS1，AS2分別表示受壓鋼筋和受拉鋼筋的截面面積,b表示梁寬的一半，d為梁高的一半，l表示梁的全長(zhǎng)。

圖1 FRP加固具單裂紋RC梁模型Fig.1 Model of cracked RC beam strengthened with FRP

FRP加固具單裂紋RC梁由混凝土、鋼筋和FRP復(fù)合材料3種材料組成。為便于問題的研究，筆者將以上材料視為均質(zhì)的彈性材料，并引入以下假設(shè)：

1)FRP上的應(yīng)力不沿厚度方向發(fā)生變化[9]；

2)應(yīng)變沿梁截面高度線性變化；

3)鋼筋與混凝土、FRP與混凝土不產(chǎn)生相對(duì)滑移；

4)忽略梁的剪切效應(yīng)以及黏結(jié)層的作用；

5)只研究裂紋發(fā)生較小擴(kuò)展的情況。

基于以上假設(shè)，加固梁的位移模式可表示為：

(1)

(2)

式中:xC為裂紋的位置;a，d分別為裂紋的深度和梁高的1/2;α為裂紋沿尖端應(yīng)力的衰減率,本模型中α=1.276[11]；m為應(yīng)力沿橫向線性變化的斜率。

對(duì)于不超過中性軸的微小裂紋，加固梁中性軸以上的應(yīng)力、應(yīng)變可以忽略裂紋對(duì)其的影響，其中Heaviside 函數(shù)u(d-a-z)為：

(3)

通過Hamilton能量變分原理，具單裂紋加固梁的動(dòng)力學(xué)方程為：

(4)

式中：T，U和V分別為系統(tǒng)的動(dòng)能、應(yīng)變能和外力勢(shì)能;δ為變分符號(hào);t為時(shí)間變量。

混凝土、鋼筋和FRP的動(dòng)能分別為：

(5)

(6)

(7)

式中：ρC，ρS，ρF分別為混凝土、鋼筋和FRP的密度；AC為混凝土梁截面面積；AS1，AS2分別為受壓鋼筋和受拉鋼筋的截面面積；AF為FRP截面面積；VC，VS，VF分別為混凝土梁、鋼筋和FRP的體積。

對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，式(5)～式(7)的第二項(xiàng)可以忽略不計(jì)，對(duì)式(5)～式(7)沿截面高度積分可得：

(8)

含單裂紋混凝土梁、鋼筋和FRP的應(yīng)變能分別為：

(9)

(10)

(11)

將式(1)代入式(9)～式(11),并沿截面積分，得：

(12)

式中：EC，ES，EF分別為混凝土、鋼筋和FRP的彈性模量，其中：

(13)

式中：zSi(i=1,2)，zF分別為中性軸到鋼筋和FRP形心的距離。

加固梁總的動(dòng)能和應(yīng)變能為：

(14)

加固梁的外力勢(shì)能V為：

(15)

式中：q(x,t)為分布荷載，簡(jiǎn)介q。

將方程(14)和方程(15)代入方程(4)，可得：

(16)

對(duì)式(16)進(jìn)行分部積分后可得：

(17)

簡(jiǎn)支梁的邊界條件為：在x=0 和x=l處δw=0，δw″=0。

根據(jù)分離變量法，假設(shè)式(17)的解為：

w=W(x)T(t)

(18)

(19)

將式(18)和式(19)代入式(17)，可得：

(20)

式中：α1=ECf(x)+ES[fS1(x)+fS2(x)]+EFfF(x)；α2=ρCAC+ρS(AS1+AS2)+ρFAF。

(21)

整理后為：

(22)

將式(22)寫成矩陣的形式：

(23)

式中：T=[T1,T2,…,Tn]T為n階列向量。

質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K和廣義力矩陣Q可以寫成：

(24)

(25)

(26)

式中：[I] 為n×n單位矩陣。

2 疲勞壽命計(jì)算公式推導(dǎo)

現(xiàn)有研究成果表明，當(dāng)FRP加固RC梁發(fā)生以鋼筋疲勞斷裂為主導(dǎo)的破壞方式時(shí)，能最大限度地發(fā)揮加固梁上各材料的材料性能[12]。因此，筆者對(duì)加固梁進(jìn)行疲勞性能分析也是基于此種破壞方式?，F(xiàn)假設(shè)當(dāng)加固梁的裂紋擴(kuò)展到一定的深度時(shí)，由于剛度的減小梁會(huì)產(chǎn)生較大的變形，隨即鋼筋相繼發(fā)生脆性斷裂，同時(shí)加固梁完全喪失承載能力。

根據(jù)材料力學(xué)的相關(guān)知識(shí)，加固梁上任意一點(diǎn)的應(yīng)變可表示為：

(27)

式中：Ei和Ii分別表示彈性模量和慣性矩；i=C、S1、S2、F分別表示混凝土、受壓鋼筋、受拉鋼筋和FRP；M為點(diǎn)所在截面處的彎矩；y為中性軸到所要計(jì)算應(yīng)變點(diǎn)的距離。

因此，梁上任意一處的應(yīng)力可表示為：

(28)

加固梁上任意一處彎矩的大小可表示為：

M=∑EiIiw″

(29)

將式(29)代入式(28)可得：

σC=ECyw″

(30)

將FRP加固具單裂紋RC梁在Psinωt作用下的位移響應(yīng)式(18)代入式(30)可得:

(31)

根據(jù)斷裂力學(xué)的相關(guān)理論，加固梁裂紋處的裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子可表示為：

(32)

式中：F(ξ)為是應(yīng)力強(qiáng)度因子修正系數(shù)[13]，其與梁的形狀、加載方式和邊界條件有關(guān)，且

F(ξ)=1.017-2.120ξ+7.710ξ2-13.55ξ3+14.25ξ4

(33)

式中：ξ=a/h；a為裂紋長(zhǎng)度；h為梁的高度。

將式(31)代入式(32)可得：

(34)

根據(jù)相關(guān)疲勞裂紋擴(kuò)展速率研究成果，假設(shè)加固梁疲勞主裂紋的穩(wěn)定擴(kuò)展速率為da/dN，通過Paris-Erdogan方法，其可以表示為：

(35)

式中：C和m為材料常數(shù)，C=0.902，m=5.74[13]。

故，式(35)可表示為：

(36)

式中：ΔK為梁在最大交變應(yīng)力σmax和最小交變應(yīng)力σmin時(shí)計(jì)算得到的應(yīng)力強(qiáng)度因子值之差：

ΔK=Kmax-Kmin

(37)

對(duì)式(36)進(jìn)行積分可計(jì)算出加固梁的疲勞壽命：

(38)

式中：a0為裂紋的初始長(zhǎng)度；aC為裂紋臨界長(zhǎng)度；N0為a0時(shí)載荷作用的周期數(shù)；NC為aC時(shí)載荷作用的周期數(shù)。

為了提高計(jì)算精度，現(xiàn)將初始裂紋到臨界裂紋的長(zhǎng)度平均劃分成m段，即：

(39)

故加固梁總的疲勞壽命為：

(40)

3 數(shù)值分析結(jié)果與討論

圖1中FRP加固具單裂紋RC簡(jiǎn)支梁在簡(jiǎn)諧荷載作用下模型的參數(shù)如表1。

表1模型的參數(shù)Table 1 Parameters of modeling

將理論計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。為了準(zhǔn)確模擬裂紋對(duì)梁的影響，梁用SOLID95單元模擬，鋼筋用LINK8單元模擬，而FRP片材用SHELL63單元模擬。ANSYS模型未考慮鋼筋與混凝土、FRP與混凝土間的滑移，同時(shí)忽略黏結(jié)層的作用。

3.1 加固梁應(yīng)力強(qiáng)度因子分析

圖2為加固梁在跨中分別作用頻率為ω=10 Hz，大小為P=1，2，3 kN的正弦載荷時(shí)，理論計(jì)算與數(shù)值模擬的應(yīng)力強(qiáng)度因子與裂紋深度關(guān)系曲線對(duì)比圖。

圖2 不同方法分析的應(yīng)力強(qiáng)度因子與裂紋深度的關(guān)系曲線Fig.2 Relation curve of stress intensity factor and crack depth analyzed by different methods

從圖2可看出，與數(shù)值模擬的結(jié)果相比理論計(jì)算的應(yīng)力強(qiáng)度相對(duì)較小，但兩者具有相同的變化趨勢(shì)；當(dāng)a=0.04 m時(shí)兩種方法計(jì)算的應(yīng)力強(qiáng)度因子均達(dá)到最大值，而當(dāng)a>0.04 m時(shí)，兩種方法計(jì)算的應(yīng)力強(qiáng)度因子均隨裂紋深度的增加而減小，這是因?yàn)殡S著裂紋不斷擴(kuò)展，F(xiàn)RP復(fù)合材料將逐漸發(fā)揮其對(duì)梁的加固作用；當(dāng)施加的載荷較大時(shí)，兩種方法計(jì)算的結(jié)果吻合得較好。

3.2 加固梁疲勞主裂紋擴(kuò)展壽命分析

圖3為加固梁在跨中分別作用頻率為ω=10 Hz，大小為P=1，2，3 kN的正弦載荷時(shí)，理論計(jì)算與數(shù)值模擬加固梁疲勞主裂紋擴(kuò)展壽命預(yù)測(cè)值曲線。

圖3 不同方法分析的疲勞主裂紋擴(kuò)展壽命與裂紋深度的關(guān)系曲線Fig.3 Relation curve of fatigue life of crack propagation and crack depth analyzed by different methods

從圖3可看出，對(duì)加固梁疲勞主裂紋擴(kuò)展壽命進(jìn)行計(jì)算時(shí)，理論計(jì)算的結(jié)果與數(shù)值模擬的結(jié)果變化趨勢(shì)相一致，但數(shù)值模擬的結(jié)果較理論值??；加固梁在較小的載荷作用時(shí)，兩種方法計(jì)算的結(jié)果差值較大，而當(dāng)加固梁所受到的載荷較大時(shí)，理論值與數(shù)值模擬的結(jié)果吻合的較好；同時(shí)隨著裂紋深度的增加，理論值與數(shù)值模擬結(jié)果的差值逐漸增大。

4 結(jié) 論

為研究FRP加固具單裂紋RC梁在循環(huán)載荷作用下的疲勞主裂紋擴(kuò)展壽命，筆者先求出加固梁對(duì)載荷的位移響應(yīng)，再運(yùn)用材料力學(xué)和斷裂力學(xué)的相關(guān)理論計(jì)算裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，最后采用Paris-Erdogan方法對(duì)加固梁進(jìn)行疲勞壽命分析，并將該種方法計(jì)算的結(jié)果與有限元模擬的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。通過分析得出了以下結(jié)論：

1)裂紋尖端處的應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋深度的增加呈現(xiàn)先上升后下降的變化趨勢(shì)，且隨載荷的增加逐漸變大。

2)加固梁的疲勞壽命對(duì)載荷的變化較為敏感。加固梁的疲勞剩余壽命隨著裂紋的擴(kuò)展先緩慢減少，而當(dāng)a>0.15 m時(shí)裂紋梁的疲勞剩余壽命加速減少，當(dāng)a>0.55 m時(shí)梁的疲勞主裂紋擴(kuò)展壽命曲線變緩。

3)對(duì)加固梁進(jìn)行應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算時(shí)，數(shù)值模擬的結(jié)果與理論方法計(jì)算的結(jié)果具有相同的變化趨勢(shì)，但理論值均小于數(shù)值模擬的結(jié)果。當(dāng)加固梁受到較大的載荷作用時(shí)，兩者的計(jì)算結(jié)果吻合得較好。

4)對(duì)加固梁進(jìn)行疲勞主裂紋擴(kuò)展壽命分析時(shí)，理論值與數(shù)值模擬的結(jié)果具有相同的變化趨勢(shì)，但數(shù)值模擬的結(jié)果較理論值小。

[1] 王作虎,劉晶波,杜修力.FRP加固鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)尺寸效應(yīng)的研究進(jìn)展[J].建筑科學(xué)與工程學(xué)報(bào),2011,28(3)：45-55.

Wang Zuohu,Liu Jingbo,Du Xiuli.Research progress of size effect on reinforced concrete structures strengthened with FRP[J].Journal of Architecture and Civil Engineering,2011,28(3):45-55.

[2] Heffernan P J,Erki M A.Fatigue behavior of reinforced concrete beams strengthened with carbon fiber reinfoeced plastic laminates[J].Journal of Composites for Construction,2004,8(2):132-140.

[3] Wu Z J,Bailey C G,Fracture resistance of a cracked concrete beam post-strengthened with FRP sheets[J].International Journal of Fracture,2005,135:35-49.

[4] Williams G,Higgins C,ASCE P E M.Fatigue of diagonally cracked RC girders repaired with CFRP[J].Journal of Bridge Engineering,2008,13(1):24-33.

[5] 黃培彥,劉健,郭馨艷,等.FRP加固RC梁疲勞主裂紋擴(kuò)展速率研究[C]//中國(guó)力學(xué)學(xué)會(huì)學(xué)術(shù)大會(huì)2009論文摘要集.北京：中國(guó)力學(xué)學(xué)會(huì)，2009:1-6.

Huang Peiyan,Liu Jian,Guo Xinyan,et al.Study on fatigue crack propagation rate of RC beams strengthened with fiber reinforced polymer [C]// Proceedings of the 2009 Chinese Society of Theoretical and Applied Mechanics Academic Conference.Beijing:Chinese Society of Theoretical and Applied Mechanics,2009:1-6.

[6] 黃培彥,吳承華,鄭小紅,等.FRP加固RC梁主裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子[C]// 第十四屆全國(guó)疲勞與斷裂學(xué)術(shù)會(huì)議論文集.北京：中國(guó)機(jī)械工程學(xué)會(huì)，2008:1811-1814.

Huang Peiyan,Wu Chenghua,Zheng Xiaohong,et al.Stress intensity factor of the main crack in RC beam strengthened with FRP[C] //Proceedings of the 14th National Conference on Fatigue and Fracture.Beijing:Chinese Mechanical Engineering Society,2008:1811-1814.

[7] 姚國(guó)文,黃培彥.循環(huán)載荷下纖維薄板增強(qiáng)板RC梁的疲勞性能研究[J].土木工程學(xué)報(bào),2006 ,39(4):35-38.

Yao Guowen,Huang Peiyan.A study on the fatigue behavior of RC

beam strengthened with fiber laminates[J].China Civil Engineering Journal,2006,39(4):35-38.

[8] 韓強(qiáng),黃培彥,趙琛,等.隨機(jī)變幅疲勞荷載下CFL增強(qiáng)RC梁疲勞壽命的試驗(yàn)研究[J].建筑技術(shù),2009,40(4):317-320.

Han Qiang,Huang Peiyan,Zhao Chen,et al.Experimental study on fatigue life of RC beams strengthened with CFL under random-amplitude fatigue load[J].Architecture Technology,2009,40(4):317-320.

[9] Wu Zhishen,Niu Hedong.Study on debonding failure load of RC beams strengthened with FRP sheets[J].Journal of Structural Engineering,2000,46(A):1431-1441.

[10] Christides S,Barr A D S.One-dimensional theory of cracked Bernoulli-Euler beams[J].International Journal of Mechanical Sciences,1984,26:639-648.

[11] Shen M H H,Pierre C.Free vibrations of beams with a single-edge crack[J].Journal of Sound and Vibration,1994,170(2):237-259.

[12] 汪鎮(zhèn)江.FRP加固RC疲勞性能研究[D].北京:北京交通大學(xué),2006:13-15.

Wang Zhenjiang.Study on the Fatigue Characteristics of RC Beam Strengthened with FRP[D].Beijing:Beijing Jiaotong University,2006:13-15.

[13] Huang Peiyan,Liu Guangwan,Guo Xinyan,et al.Experimental study on the fatigue crack propagation rate of RC beam strengthened with carbon fiber laminat[C] // Proceedings of the International Society for Optical Engineering.Nanjing:The International Society for Optical,2008.