劉 鋒，陳得良

(1.長沙理工大學 土木與建筑學院，湖南 長沙 410014；2. 湖南大學 機械與運載工程學院，湖南 長沙 410082)

0 引 言

橋梁這類工程結構，常承受不同類型、不同重量和不同速度車輛的作用。RC(鋼筋混凝土梁)梁在運營的過程中易產(chǎn)生裂紋，而FRP(纖維增強復合材料)具有質(zhì)輕、高強、抗疲勞等特性，因此用FRP對該類帶裂紋RC構件進行加固是橋梁加固的有效方法[1-3]。

FRP復合材料運用于橋梁加固的時間相對較短，現(xiàn)還鮮有關于FRP加固具單裂紋RC梁疲勞性能的研究報道。且現(xiàn)有的研究成果主要集中于實驗研究。為了研究FRP加固RC梁后的疲勞性能，G.Williams，等[4]對加固后的Vintage橋進行了長期監(jiān)控，并將數(shù)據(jù)與實驗測試的結果進行對比研究。黃培彥，等[5-6]對FRP加固RC梁的疲勞主裂紋擴展速率和主裂紋的應力強度因子進行了相關研究。國內(nèi)學者研究了CFL(碳纖維薄板)增強RC梁在循環(huán)載荷作用下的疲勞性能，并對其在隨機變幅疲勞荷載下進行了相關實驗研究[7-8]。裂紋導致的應力集中效應在國內(nèi)外現(xiàn)有關于具單裂紋加固梁的研究還鮮有報道。在對具單裂紋加固梁進行疲勞分析時，筆者通過引入裂紋影響因子來描述裂紋尖端附近的應力集中現(xiàn)象，并結合加固梁對外載荷的位移響應，分析加固梁的疲勞性能。

1 動力學方程的建立

圖1為FRP加固具單裂紋RC簡支梁模型圖，在梁上作用大小為Psinωt的簡諧載荷，xC為裂紋距梁左端支座的距離，xP為載荷作用點距離梁左端支座的距離，AS1，AS2分別表示受壓鋼筋和受拉鋼筋的截面面積,b表示梁寬的一半，d為梁高的一半，l表示梁的全長。

圖1 FRP加固具單裂紋RC梁模型Fig.1 Model of cracked RC beam strengthened with FRP

FRP加固具單裂紋RC梁由混凝土、鋼筋和FRP復合材料3種材料組成。為便于問題的研究，筆者將以上材料視為均質(zhì)的彈性材料，并引入以下假設：

1)FRP上的應力不沿厚度方向發(fā)生變化[9]；

2)應變沿梁截面高度線性變化；

3)鋼筋與混凝土、FRP與混凝土不產(chǎn)生相對滑移；

4)忽略梁的剪切效應以及黏結層的作用；

5)只研究裂紋發(fā)生較小擴展的情況。

基于以上假設，加固梁的位移模式可表示為：

(1)

(2)

式中:xC為裂紋的位置;a，d分別為裂紋的深度和梁高的1/2;α為裂紋沿尖端應力的衰減率,本模型中α=1.276[11]；m為應力沿橫向線性變化的斜率。

對于不超過中性軸的微小裂紋，加固梁中性軸以上的應力、應變可以忽略裂紋對其的影響，其中Heaviside 函數(shù)u(d-a-z)為：

(3)

通過Hamilton能量變分原理，具單裂紋加固梁的動力學方程為：

(4)

式中：T，U和V分別為系統(tǒng)的動能、應變能和外力勢能;δ為變分符號;t為時間變量。

混凝土、鋼筋和FRP的動能分別為：

(5)

(6)

(7)

式中：ρC，ρS，ρF分別為混凝土、鋼筋和FRP的密度；AC為混凝土梁截面面積；AS1，AS2分別為受壓鋼筋和受拉鋼筋的截面面積；AF為FRP截面面積；VC，VS，VF分別為混凝土梁、鋼筋和FRP的體積。

對于細長梁，式(5)～式(7)的第二項可以忽略不計，對式(5)～式(7)沿截面高度積分可得：

(8)

含單裂紋混凝土梁、鋼筋和FRP的應變能分別為：

(9)

(10)

(11)

將式(1)代入式(9)～式(11),并沿截面積分，得：

(12)

式中：EC，ES，EF分別為混凝土、鋼筋和FRP的彈性模量，其中：

(13)

式中：zSi(i=1,2)，zF分別為中性軸到鋼筋和FRP形心的距離。

加固梁總的動能和應變能為：

(14)

加固梁的外力勢能V為：

(15)

式中：q(x,t)為分布荷載，簡介q。

將方程(14)和方程(15)代入方程(4)，可得：

(16)

對式(16)進行分部積分后可得：

(17)

簡支梁的邊界條件為：在x=0 和x=l處δw=0，δw″=0。

根據(jù)分離變量法，假設式(17)的解為：

w=W(x)T(t)

(18)

(19)

將式(18)和式(19)代入式(17)，可得：

(20)

式中：α1=ECf(x)+ES[fS1(x)+fS2(x)]+EFfF(x)；α2=ρCAC+ρS(AS1+AS2)+ρFAF。

(21)

整理后為：

(22)

將式(22)寫成矩陣的形式：

(23)

式中：T=[T1,T2,…,Tn]T為n階列向量。

質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K和廣義力矩陣Q可以寫成：

(24)

(25)

(26)

式中：[I] 為n×n單位矩陣。

2 疲勞壽命計算公式推導

現(xiàn)有研究成果表明，當FRP加固RC梁發(fā)生以鋼筋疲勞斷裂為主導的破壞方式時，能最大限度地發(fā)揮加固梁上各材料的材料性能[12]。因此，筆者對加固梁進行疲勞性能分析也是基于此種破壞方式?，F(xiàn)假設當加固梁的裂紋擴展到一定的深度時，由于剛度的減小梁會產(chǎn)生較大的變形，隨即鋼筋相繼發(fā)生脆性斷裂，同時加固梁完全喪失承載能力。

根據(jù)材料力學的相關知識，加固梁上任意一點的應變可表示為：

(27)

式中：Ei和Ii分別表示彈性模量和慣性矩；i=C、S1、S2、F分別表示混凝土、受壓鋼筋、受拉鋼筋和FRP；M為點所在截面處的彎矩；y為中性軸到所要計算應變點的距離。

因此，梁上任意一處的應力可表示為：

(28)

加固梁上任意一處彎矩的大小可表示為：

M=∑EiIiw″

(29)

將式(29)代入式(28)可得：

σC=ECyw″

(30)

將FRP加固具單裂紋RC梁在Psinωt作用下的位移響應式(18)代入式(30)可得:

(31)

根據(jù)斷裂力學的相關理論，加固梁裂紋處的裂紋應力強度因子可表示為：

(32)

式中：F(ξ)為是應力強度因子修正系數(shù)[13]，其與梁的形狀、加載方式和邊界條件有關，且

F(ξ)=1.017-2.120ξ+7.710ξ2-13.55ξ3+14.25ξ4

(33)

式中：ξ=a/h；a為裂紋長度；h為梁的高度。

將式(31)代入式(32)可得：

(34)

根據(jù)相關疲勞裂紋擴展速率研究成果，假設加固梁疲勞主裂紋的穩(wěn)定擴展速率為da/dN，通過Paris-Erdogan方法，其可以表示為：

(35)

式中：C和m為材料常數(shù)，C=0.902，m=5.74[13]。

故，式(35)可表示為：

(36)

式中：ΔK為梁在最大交變應力σmax和最小交變應力σmin時計算得到的應力強度因子值之差：

ΔK=Kmax-Kmin

(37)

對式(36)進行積分可計算出加固梁的疲勞壽命：

(38)

式中：a0為裂紋的初始長度；aC為裂紋臨界長度；N0為a0時載荷作用的周期數(shù)；NC為aC時載荷作用的周期數(shù)。

為了提高計算精度，現(xiàn)將初始裂紋到臨界裂紋的長度平均劃分成m段，即：

(39)

故加固梁總的疲勞壽命為：

(40)

3 數(shù)值分析結果與討論

圖1中FRP加固具單裂紋RC簡支梁在簡諧荷載作用下模型的參數(shù)如表1。

表1模型的參數(shù)Table 1 Parameters of modeling

將理論計算結果與有限元計算結果進行對比。為了準確模擬裂紋對梁的影響，梁用SOLID95單元模擬，鋼筋用LINK8單元模擬，而FRP片材用SHELL63單元模擬。ANSYS模型未考慮鋼筋與混凝土、FRP與混凝土間的滑移，同時忽略黏結層的作用。

3.1 加固梁應力強度因子分析

圖2為加固梁在跨中分別作用頻率為ω=10 Hz，大小為P=1，2，3 kN的正弦載荷時，理論計算與數(shù)值模擬的應力強度因子與裂紋深度關系曲線對比圖。

圖2 不同方法分析的應力強度因子與裂紋深度的關系曲線Fig.2 Relation curve of stress intensity factor and crack depth analyzed by different methods

從圖2可看出，與數(shù)值模擬的結果相比理論計算的應力強度相對較小，但兩者具有相同的變化趨勢；當a=0.04 m時兩種方法計算的應力強度因子均達到最大值，而當a>0.04 m時，兩種方法計算的應力強度因子均隨裂紋深度的增加而減小，這是因為隨著裂紋不斷擴展，F(xiàn)RP復合材料將逐漸發(fā)揮其對梁的加固作用；當施加的載荷較大時，兩種方法計算的結果吻合得較好。

3.2 加固梁疲勞主裂紋擴展壽命分析

圖3為加固梁在跨中分別作用頻率為ω=10 Hz，大小為P=1，2，3 kN的正弦載荷時，理論計算與數(shù)值模擬加固梁疲勞主裂紋擴展壽命預測值曲線。

圖3 不同方法分析的疲勞主裂紋擴展壽命與裂紋深度的關系曲線Fig.3 Relation curve of fatigue life of crack propagation and crack depth analyzed by different methods

從圖3可看出，對加固梁疲勞主裂紋擴展壽命進行計算時，理論計算的結果與數(shù)值模擬的結果變化趨勢相一致，但數(shù)值模擬的結果較理論值小；加固梁在較小的載荷作用時，兩種方法計算的結果差值較大，而當加固梁所受到的載荷較大時，理論值與數(shù)值模擬的結果吻合的較好；同時隨著裂紋深度的增加，理論值與數(shù)值模擬結果的差值逐漸增大。

4 結 論

為研究FRP加固具單裂紋RC梁在循環(huán)載荷作用下的疲勞主裂紋擴展壽命，筆者先求出加固梁對載荷的位移響應，再運用材料力學和斷裂力學的相關理論計算裂紋的應力強度因子，最后采用Paris-Erdogan方法對加固梁進行疲勞壽命分析，并將該種方法計算的結果與有限元模擬的結果進行了對比。通過分析得出了以下結論：

1)裂紋尖端處的應力強度因子隨裂紋深度的增加呈現(xiàn)先上升后下降的變化趨勢，且隨載荷的增加逐漸變大。

2)加固梁的疲勞壽命對載荷的變化較為敏感。加固梁的疲勞剩余壽命隨著裂紋的擴展先緩慢減少，而當a>0.15 m時裂紋梁的疲勞剩余壽命加速減少，當a>0.55 m時梁的疲勞主裂紋擴展壽命曲線變緩。

3)對加固梁進行應力強度因子計算時，數(shù)值模擬的結果與理論方法計算的結果具有相同的變化趨勢，但理論值均小于數(shù)值模擬的結果。當加固梁受到較大的載荷作用時，兩者的計算結果吻合得較好。

4)對加固梁進行疲勞主裂紋擴展壽命分析時，理論值與數(shù)值模擬的結果具有相同的變化趨勢，但數(shù)值模擬的結果較理論值小。

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