王 龍

（陜西廣播電視大學(xué)延安分校，陜西延安716000）

關(guān)于不定方程x3＋8＝61y2的整數(shù)解

王 龍

（陜西廣播電視大學(xué)延安分校，陜西延安716000）

利用遞歸數(shù)列和同余式的相關(guān)性質(zhì)證明了不定方程x3＋1＝122y2僅有整數(shù)解（x，y）＝（－1，0），然后證明了不定方程x3＋8＝61y2僅有整數(shù)解（x，y）＝（－2，0）。

不定方程；遞歸數(shù)列；同余式；整數(shù)解

不定方程

（其中：D是無平方因子的正奇數(shù)）是一類基本而重要的Diophantine方程。文獻(xiàn)［1］證明了當(dāng)D是奇素?cái)?shù)時(shí)，如果D＝3，則方程（1）僅有整數(shù)解（x，y）＝（11，±21）。文獻(xiàn)［2］證明了不定方程x3－8＝7y2僅有整數(shù)解（x，y）＝（2，0）。對(duì)于不定方程x3± 1＝Dy2（D＞0）也有不少作者進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［3］給出了x3＋1＝13y2僅有整數(shù)解（x，y）＝（－1，0），文獻(xiàn)［4］證明了x3＋1＝14y2有整數(shù)解（x，y）＝（－1，0），（5，±3），文獻(xiàn)［5］證明了當(dāng)D＝301時(shí)，不定方程x3－1＝Dy2（D＞0）僅有整數(shù)解（x，y）＝（1，0），文獻(xiàn)［6］也給出了x3＋1＝7y2有整數(shù)解。

受到以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文用遞歸數(shù)列與同余式的相關(guān)性質(zhì)首先證明了不定方程x3＋1＝122y2僅有整數(shù)解（x，y）＝（－1，0），接著利用這一結(jié)果和以上知識(shí)點(diǎn)證明了不定方程x3＋8＝61y2僅有整數(shù)解（x，y）＝（－2，0）。

1 相關(guān)引理

引理1［7］4x4－3y2＝1有整數(shù)解（x，y）＝（1，1），（－1，－1），（1，－1），（－1，1）。

引理2［7］x2－3y4＝1有整數(shù)解（x，y）＝（2，1），（7，2），（1，0），（－1，0）。

引理3不定方程

只有整數(shù)解（x，y）＝（－1，0）。

證明：因?yàn)椋▁＋1，x2－x＋1）＝1或3，所以方程（2）式給出以下4種可能的分解。

因?yàn)?1≡5（mod8），如果2｜z，那么x≡－1（mod8），從而3≡5w2（mod8），這是不可能的。如果2｜z，那么x≡1（mod8），從而1≡5w2（mod8），這也是不可能的。因此這種情況無解。

由x2－x＋1＝w2解得x＝0，1，這兩種情況都不符合x＋1＝122z2。因此這種情況無解。

因?yàn)?1≡5（mod8），如果2｜z，那么x≡－1（mod8），從而3≡7w2（mod8），顯然這是不可能的。如果2｜z，那么x≡1（mod8），從而有1≡7w2（mod8），這也是不可能的。因此這種情況也無解。

x2－x＋1＝3w2可化為把x＋1＝366z2代入上式得（2w）2－3（244z2－1）2＝1。于是有

所以有

因?yàn)?｜n時(shí)，2｜Sn，但是（3）式不可能成立。

若n≡1（mod4），Sn≡1（mod8），可得出244z2≡2（mod8），這也是不可能的。因此只需考慮n≡－1（mod4）的情況。

令n＝4m－1，有

因此有244z2＝r2mS2m。

又由于

則有

其中z＝ab。

根據(jù)引理1可知，（8）式有整數(shù)解（a，S2m－1）＝（1，1）或（1，－1）或（－1，1）或（－1，－1）。從而有S2m－1＝±1，即m＝0或1。

當(dāng)m＝1時(shí)，不滿足（4）式中的S2m＝61b2，因此m≠1。當(dāng)m＝0時(shí)，S2m＝61b2得b＝0，從而z＝0，代入情形4）中得平凡解為（x，y）＝（－1，0）。

因?yàn)?｜z時(shí)，rn≡2（mod4）可得（5）式和（6）式的第一個(gè)式子不成立，因此可排除（5）和（6）的這兩種情況。

由（7）中S2m＝b2可得

由引理2知（9）式有整數(shù)解（r2m，b）＝（2，1）或（7，2）或（1，0）或（－1，0）。但2｜S2m，由（7）得2｜b2，因此b＝2或0。

當(dāng)b＝0時(shí)，也即S2m＝0，得m＝0與r2m－1＝122b2矛盾，因此b≠0。當(dāng)b＝2時(shí)，S2m＝4，即m＝1與r2m－1＝122b2矛盾，因此b≠2，故而（7）這種情況無解。

所以，情形4）給出平凡解（x，y）＝（－1，0）。

綜合上述4種情況的解述，得出不定方程x3＋1＝122y2只有整數(shù)解（x，y）＝（－1，0）。

2 主要結(jié)論及證明

定理不定方程

僅有整數(shù)解（x，y）＝（－2，0）。

證明：若x≡0（mod2），由（10）式得出y≡0（mod4）。故而方程（10）可化為由引理3可知，x3＋1＝122y2僅有整數(shù)解（x， y）＝（－1，0），此時(shí)方程（10）有整數(shù)解（x，y）＝（－2，0）。

若x≡1（mod2），此時(shí)（x＋2，x2－2x＋4）＝1或3，因此（10）式給出下列4種可能的分解情況：

情形1：x＋2＝183u2，x2－2x＋4＝3v2，y＝3uv；

情形2：x＋2＝61u2，x2－2x＋4＝v2，y＝uv；

情形3：x＋2＝3u2，x2－2x＋4＝183v2，y＝3uv；

情形4：x＋2＝u2，x2－2x＋4＝61v2，y＝uv。

下面分別討論這4種情形給出的（10）式的整數(shù)解。

情形1 由x2－2x＋4＝3v2化簡有3v2－（x－1）2＝3，將x＋2＝183u2代入得到v2－3（61u2－1）2＝1，所以有

61u2－1＝Sn，n∈N。

容易驗(yàn)證下列式子成立：

因?yàn)閤≡1（mod2），所以u(píng)≡1（mod2），Sn≡0（mod2），從而n≡0（mod2）。

當(dāng)n≡0，2（mod4）時(shí)，有Sn≡0，4（mod8）。由61u2－1＝Sn有61u2≡3，7（mod8）。所以5u2≡3，7（mod8），這顯然不可能，故該情況下（10）式無整數(shù)解。

情形2 由x2－2x＋4＝v2得出x＝2，0，這兩個(gè)解均不符合式x＋2＝61u2，故該情形下（10）式無解。

情形3 將x2－2x＋4＝183v2化解為（x－1）2－183v2＝－3，將x＋2＝3u2代入得到3（3u2－3）2＋3＝183v2，化簡即61v2－3（u2－1）2＝1。

根據(jù)文獻(xiàn)［8］有

O156.1

A

1004－602X（2014）03－0004－03

10.13876/J.cnki.ydnse.2014.03.004

2014-06-20

王 龍（1981—），男，陜西延安人，陜西廣播電視大學(xué)延安分校講師。