摘要：“set theory（musical）”一般被認(rèn)為“pc set theory”（音級(jí)集合理論），殊不知它的源頭是20世紀(jì)中期美國(guó)作曲家、作曲理論家霍華德·漢森的理論研究成果。漢森的理論著作論述了音高組合全部可能性的問(wèn)題，為和聲學(xué)的發(fā)展帶來(lái)了新的發(fā)展契機(jī)。

關(guān)鍵詞：音高組合理論 漢森理論 音級(jí)集合理論 20世紀(jì)音樂(lè)

20世紀(jì)音樂(lè)的發(fā)展突飛猛進(jìn)，作曲家們不再遵循傳統(tǒng)的規(guī)矩去安排某個(gè)樂(lè)音的解決和走向，也不再滿足于傳統(tǒng)范圍內(nèi)節(jié)奏、音色等元素的細(xì)微變化。追求新奇特的實(shí)驗(yàn)家們開(kāi)始對(duì)不同音響效果感興趣，他們不僅僅在樂(lè)音領(lǐng)域搞起實(shí)驗(yàn)，也隨著科技的進(jìn)步對(duì)噪音產(chǎn)生好奇，這一大批實(shí)驗(yàn)家們引來(lái)了全世界關(guān)心音樂(lè)發(fā)展的愛(ài)好者和專(zhuān)業(yè)音樂(lè)家們的視線，他們都拭目以待這似乎走到盡頭卻又可能帶來(lái)新的啟發(fā)的音樂(lè)發(fā)展之路。而另一批音樂(lè)家們從音高結(jié)構(gòu)中看到了希望，他們?cè)谧髑鷮?shí)驗(yàn)中嘗試著各種新鮮的音高組合，并且在理論研究上不斷地探索著這些組合的邏輯規(guī)律，形成了諸多不同體系的音高組合理論（musical set theory）。

音樂(lè)語(yǔ)匯中最基本的構(gòu)成要素包括音高和節(jié)奏，音高（pitch）即音的高度，是音的基本特征之一。音高組合理論，即將各種音高組合分類(lèi)整理、闡述他們之間的關(guān)系并研究其邏輯規(guī)律的理論。無(wú)論在傳統(tǒng)時(shí)期還是當(dāng)代，樂(lè)音領(lǐng)域亦或噪音領(lǐng)域，音高組合的研究都是必不可少的課題。

籠統(tǒng)地講，源于浪漫主義晚期的20世紀(jì)西方音樂(lè)發(fā)展分別伸向了延續(xù)浪漫主義繼續(xù)向前發(fā)展的“保守”流派和分裂成極端反叛傳統(tǒng)的新生流派，兩者都是基于傳統(tǒng)而擺脫教條邁出的新的一步。在這些流派中，音高組合的創(chuàng)新在作曲家的作品中可見(jiàn)一斑，其中形成理論體系的有勛伯格十二音序列技法、亨德米特理論、阿倫·福特音級(jí)集合理論等，除了這三位作曲家和理論家外，重要的研究者還有豪爾、巴比特等等。此外，還有一位作曲家、作曲理論家霍華德·漢森在這個(gè)領(lǐng)域里奮斗了40余年，他的理論實(shí)用性強(qiáng)、簡(jiǎn)單易懂，啟發(fā)了后人對(duì)音高組合理論的不斷發(fā)展，但卻鮮為人知。

霍華德·漢森（Howard Hanson，1896-1981）祖籍瑞典，出生于美國(guó)，先后就讀于路德學(xué)院、美國(guó)音樂(lè)藝術(shù)學(xué)院（今茱莉亞音樂(lè)學(xué)院）和西北大學(xué)音樂(lè)學(xué)院，曾師從珀茜·該丘斯（（Percy Goetschius，1853-1943）等，而后執(zhí)教于西北大學(xué)（助教）。1921年獲“Prix de Rome”大獎(jiǎng)赴意大利學(xué)習(xí)兩年，期間師從雷斯皮基（Ottorino Respighi，1879-1936）學(xué)習(xí)管弦樂(lè)隊(duì)作曲法?；貒?guó)后受任于伊斯特曼音樂(lè)學(xué)校擔(dān)任校長(zhǎng)長(zhǎng)達(dá)40年。期間，他以作曲家、指揮家、音樂(lè)教育家、社會(huì)活動(dòng)家等多重身份活躍在美國(guó)的音樂(lè)領(lǐng)域，將這所起初還是微不足道的私立音樂(lè)學(xué)校發(fā)展成為美國(guó)聲譽(yù)最高的音樂(lè)學(xué)府之一，同時(shí)，他的努力也獲得了多項(xiàng)殊榮，重要的獎(jiǎng)項(xiàng)有普利策獎(jiǎng)、迪特森獎(jiǎng)和喬治·福斯特獎(jiǎng)等。

早在20世紀(jì)20年代，風(fēng)靡歐洲的勛伯格十二音序列音樂(lè)理論也傳入了美國(guó)，但該理論強(qiáng)烈的維也納新樂(lè)派的烙印使得主張創(chuàng)立“美國(guó)風(fēng)格”的一大批作曲家們產(chǎn)生了研究新理論的念頭，漢森在大學(xué)期間就開(kāi)始對(duì)音高理論感興趣，通過(guò)在歐洲的學(xué)習(xí)更加堅(jiān)定了他對(duì)音高理論研究的信念。經(jīng)過(guò)20幾年的悉心研究，他的理論初步形成體系，又通過(guò)近20年在教學(xué)實(shí)踐中逐步驗(yàn)證和完善，終于在1960年完成出版了著作《現(xiàn)代音樂(lè)中的音高材料—十二平均律資源》①（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《音高材料》），這部理論著作全面闡述了他對(duì)音高材料研究的理論觀點(diǎn)和內(nèi)容，不僅為音樂(lè)創(chuàng)作提供了音高材料的范圍和總視野，也為現(xiàn)代音樂(lè)的音高材料分類(lèi)提供了一種新的思路，研究者將其稱(chēng)之為漢森理論。

一、漢森理論簡(jiǎn)述

漢森理論是為創(chuàng)作服務(wù)的，他在《音高材料》的前言中提到：“（該理論的）目的是幫助年輕作曲家整理大量不規(guī)則的、繁雜的、可組成和聲與旋律材料組合的所有可能性，尋求‘遺失了的和弦并予以新的意義，從而探索一種伸向新的領(lǐng)域并能夠滿足其審美渴望的音樂(lè)表達(dá)語(yǔ)言?！彼麑⒀芯糠秶鷦澏ㄔ谑骄梢綦A中的十二個(gè)音，是因?yàn)槠骄梢綦A的有限性能夠更好地降低研究的復(fù)雜性，但其研究結(jié)果通用于純律和五度相生律等其他接近于十二平均律音階的音樂(lè)分析和創(chuàng)作中。

漢森認(rèn)為，和聲與旋律性質(zhì)的一致性十分重要，他將各種音高組合稱(chēng)為音組（sonority），包括縱向和聲和橫向旋律的音高組合。首先，漢森將所有音程簡(jiǎn)化為6種基本音程：純五度（p）、大三度（m）、小三度（n）、大二度（s）、小二度（d）、三全音（t）（其他為轉(zhuǎn)位音程），采用p、m、n、s、d、t的順序表示一個(gè)音組所含有的音程屬性，用數(shù)字形式標(biāo)記在字母的右上角表示各音程所含有的數(shù)量，組合起來(lái)稱(chēng)為音程分析式。如七音組C2D2E2？F1G2A2B②的音程分析式為p6m3n4s5d2t，它表示該音組含有6個(gè)純五度或純四度，3個(gè)大三度或小六度，4個(gè)小三度或大六度，5個(gè)大二度或小七度，2個(gè)小二度或大七度和2個(gè)三全音（1x2）。

在著作中討論了十二平均律音階中所有音組（共222個(gè)）的結(jié)構(gòu)性質(zhì)、音響特性、風(fēng)格，以及他們之間最為直接的包含關(guān)系。漢森采用映射法、對(duì)合法、互補(bǔ)映射法為音組構(gòu)成或音組間組合的構(gòu)成方法，采用窮盡法作為邏輯方法將所有音高組合的可能性全部計(jì)算出來(lái)。

（一）計(jì)算方法

映射（projection），即以某音開(kāi)始按照某種邏輯（音程關(guān)系）始終如一地疊加構(gòu)成音階或和弦的方式。在著作中，漢森窮盡了單方向疊加映射、上下雙向映射、單音程映射和多音程同時(shí)映射等多種映射方法。映射也是最基本的音組構(gòu)成方法。

對(duì)合（involution）是指以音組中的某音或某兩個(gè)以上的音為軸進(jìn)行縱向翻轉(zhuǎn)，在結(jié)構(gòu)上與原音組構(gòu)成反向的對(duì)應(yīng)音組的方法，對(duì)應(yīng)的音組與原音組構(gòu)成對(duì)合音組。

互補(bǔ)音組（complementary sonorities）是在十二音范圍內(nèi)，除原音組的構(gòu)成音之外的音所組成的音組，也可指該音組與原音組形成的互補(bǔ)關(guān)系。endprint

（二）計(jì)算過(guò)程

首先，單音程映射是漢森理論的入手點(diǎn)，他按照p、m、n、s、d、t的順序?qū)⒚恳粋€(gè)基本音程通過(guò)同向映射疊加的方法構(gòu)成基數(shù)為3-12的音組，這些音組是具有這六個(gè)基本音程屬性最為強(qiáng)烈的音組群。在t映射出現(xiàn)之前，所有的三音組就全部呈現(xiàn)出來(lái)了。且當(dāng)t映射完全計(jì)算完成后，所有的四音組完全出現(xiàn)。

第二步，漢森將完全出現(xiàn)的所有三音組作為映射對(duì)象，通過(guò)在三音組的三個(gè)音上分別構(gòu)成該音組結(jié)構(gòu)的方法進(jìn)行映射。

第三步，漢森將兩種不同的音程分別映射，而后進(jìn)行疊加組合，這種方法可以獲得上述兩種方法不能夠得到的3-12音音組。至此，所有的五音組全部呈現(xiàn)。

第四步，漢森沿襲這種思路將三音組在其他音程上進(jìn)行映射，這種方法是第二步的補(bǔ)充，可獲得新的音組，至此，得到全部六音組。

最后是互補(bǔ)映射構(gòu)成音組法，這種方法的目的是將上述所有出現(xiàn)的3-6音組的互補(bǔ)音組及其性質(zhì)展現(xiàn)出來(lái)。由于每個(gè)音組相對(duì)應(yīng)的互補(bǔ)音組與原音組都具有同樣性質(zhì)的音程分析式，因此，他們的互補(bǔ)音組可以通過(guò)原音組的映射獲得，即映射之映射。漢森將上述由各種映射方法所獲得的六音以下的音組通過(guò)連接六音組與其對(duì)應(yīng)的映射音組建立起前后關(guān)系③。

在這個(gè)計(jì)算過(guò)程中，音組與音組之間通過(guò)映射的方法組建了一個(gè)音程屬性“關(guān)系網(wǎng)”，在這個(gè)網(wǎng)中，每個(gè)音組都有它獨(dú)有的位置。漢森采用字母、數(shù)字或符號(hào)相結(jié)合的方法來(lái)表示音組映射或構(gòu)成的方法，即構(gòu)成式。一個(gè)音組可能會(huì)有多個(gè)構(gòu)成式，這是因?yàn)橥粋€(gè)音組可以采用不同的映射方法獲得，也說(shuō)明一個(gè)音組的性質(zhì)具有不同的解釋方法，或者說(shuō)，這個(gè)音組在“關(guān)系網(wǎng)”中有多重身份，它聯(lián)系著不同領(lǐng)域或范圍的其他音組。如六音組C2D2E2#F1G2A（p4m2n3s4dt）的構(gòu)成式有三個(gè)：（1）PNS，是pns（C7G2A）的映射，即第二步；（2）pmn/s，是三音組pmn（C4E3G）在大二度（s）上重新構(gòu)成同樣結(jié)構(gòu)的三音組（D4#F3A）的疊加；（3）p3+s3，是在同一個(gè)音上做三次純五度映射和三次大二度映射疊加構(gòu)成，即（C-G-D-A）+（C-D-E-#F）。由構(gòu)成式可以看出，該六音組中純五度和大二度非常突出，兩者結(jié)合表現(xiàn)出的性格也與這兩個(gè)音程的屬性相關(guān)。同時(shí)，該六音組在“關(guān)系網(wǎng)”中具有三個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，對(duì)于創(chuàng)作者來(lái)說(shuō)，可以通過(guò)這個(gè)音組找到與它相關(guān)的不同屬性音組與之構(gòu)成的縱橫關(guān)系。漢森將這個(gè)“關(guān)系網(wǎng)”簡(jiǎn)化排列為一個(gè)圖表，參看著作《音高材料》的附錄。

需要指出的是，這部著作只計(jì)算了音組構(gòu)成的過(guò)程以及他們之間的簡(jiǎn)單關(guān)系，關(guān)于音組的連接等問(wèn)題并沒(méi)有深入討論。漢森強(qiáng)調(diào)，該理論不是方法論，不能作為音樂(lè)分析的工具或手段，但卻為音樂(lè)創(chuàng)作提供了一個(gè)寶貴的音高材料庫(kù)。

二、漢森理論與音級(jí)集合理論

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，漢森之后的研究者研發(fā)了諸多軟件，如SPEED用來(lái)計(jì)算任意幾個(gè)音組合構(gòu)成音組的性質(zhì)、排列方式等，為創(chuàng)作提供了方便。此外，巴比特（Milton Babbitt，1916–2011）、萊文（David Lewin，1933–2003）和阿倫·福特（Allen Forte，1926-）等在該領(lǐng)域理論研究卓有成就，其中與漢森的研究最為接近的是阿倫·福特的音級(jí)集合理論，該理論較為普及，也較早地由羅忠镕、鄭英烈等老一輩作曲家以翻譯、介紹甚至應(yīng)用等方式進(jìn)行推廣。音級(jí)集合理論在很大程度上參考了漢森理論，但阿倫·福特對(duì)所有音組進(jìn)行方法論式的歸納闡述，可以說(shuō)是對(duì)漢森理論的具體化和技術(shù)化。在此，筆者試析兩者的不同之處，如下：

1.漢森理論的目的是整理所有音高材料，從音樂(lè)屬性本身出發(fā)尋找各個(gè)音組的規(guī)律和所屬位置；音級(jí)集合理論則是從數(shù)學(xué)邏輯出發(fā)計(jì)算音程所含半音數(shù)的關(guān)系來(lái)構(gòu)造音組和音組的排列順序，以尋找各音組間的邏輯關(guān)系構(gòu)成作曲技法和分析方法為目的。

2.漢森理論以樂(lè)音本身的屬性為基點(diǎn)，注重音樂(lè)性和情感表達(dá)，他認(rèn)為樂(lè)音本身都具有靈性，是音樂(lè)表達(dá)的基本內(nèi)涵；音級(jí)集合理論在借助數(shù)學(xué)思維的情況下思考音樂(lè)問(wèn)題，難免有“機(jī)械”之嫌。在將樂(lè)音換算為數(shù)字代碼，再用數(shù)字計(jì)算后換算為樂(lè)音的創(chuàng)作過(guò)程中，整體音樂(lè)性會(huì)受影響，在具體應(yīng)用中也為初學(xué)者提出了很大的難題。

3.漢森理論并不限制在調(diào)性或是無(wú)調(diào)性領(lǐng)域，但漢森非常注重調(diào)性在音樂(lè)中的地位，他認(rèn)為“這一理論應(yīng)該可以支撐最為集中透徹的音高材料研究，因?yàn)樗墙⒃谡{(diào)性思維的邏輯表達(dá)基礎(chǔ)之上的”；音級(jí)集合理論則明確針對(duì)無(wú)調(diào)性音樂(lè)的創(chuàng)作和分析問(wèn)題。

從分析來(lái)看，雖然音級(jí)集合源自或借鑒于漢森理論，但也只是將其中無(wú)調(diào)性部分（如果音樂(lè)可以分類(lèi)為調(diào)性和無(wú)調(diào)性的話）借助數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整合，對(duì)調(diào)性領(lǐng)域的問(wèn)題尚未涉及。也即是說(shuō)，漢森理論中調(diào)性領(lǐng)域的問(wèn)題并沒(méi)有在音級(jí)集合理論中得到很好的開(kāi)發(fā)、延伸或發(fā)展。

漢森理論具有非常實(shí)用的價(jià)值，為理解音高材料提供了一種新的途徑和方法，這種方法也體現(xiàn)了身處20世紀(jì)中期的漢森對(duì)現(xiàn)代音樂(lè)觀念的突破和超前意識(shí)，同時(shí)，也為作曲理論的進(jìn)一步發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄒建平.五位美國(guó)現(xiàn)代作曲家風(fēng)格與技法簡(jiǎn)析[J].南京藝術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)（音樂(lè)與表演版），1993，（03）.

[2]Howrd Hanson.Haimonic Materials of Modern Music——Resources of the Tempered Scale[M].New York：Appleton Century Crofts Inc，1960.

[3]王丹.音高材料庫(kù)——霍華德·漢森理論中的十二平均律資源[J].南京藝術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)（音樂(lè)與表演版），2013，（03）.

注釋?zhuān)?/p>

①見(jiàn)參考文獻(xiàn)[2]，筆者將“harmonic materials”譯為“音高材料”。

②如果將某音組的音按上行排列，兩音之間的音程用所含有的半音數(shù)表示，即為音程列。

③連接六音組（connecting hexad），即任何包含一個(gè)特定的五音組并且包含于該五音組的映射七音組的六音組，見(jiàn)參考文獻(xiàn)[2]的第269頁(yè)。endprint