張巍，應(yīng)祖光，胡榮春

（1.浙江理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院實(shí)驗(yàn)中心，杭州 310018；2.浙江大學(xué)航空航天學(xué)院力學(xué)系，杭州 310027）

拉索是斜拉橋、大跨度索支撐結(jié)構(gòu)等的重要構(gòu)件[1]，但因抗彎和抗壓剛度低而易于受環(huán)境激勵(lì)產(chǎn)生大幅振動(dòng)，需要進(jìn)行振動(dòng)控制研究。拉索確定性振動(dòng)的主動(dòng)和半主動(dòng)控制已有一定研究[2―5]。然而，環(huán)境激勵(lì)如風(fēng)力、基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)等通常具有隨機(jī)性，斜拉索隨機(jī)振動(dòng)的最優(yōu)控制研究相對(duì)缺乏[6]。而且，拉索隨機(jī)振動(dòng)的不確定性可能導(dǎo)致很大幅度運(yùn)動(dòng)，但實(shí)際主動(dòng)和半主動(dòng)控制器的控制力大小都有一定限制[7]，因此無法產(chǎn)生相應(yīng)大的反饋控制力，從而退化按無界設(shè)計(jì)的控制效果，考慮控制力有界性的斜拉索非線性隨機(jī)振動(dòng)的最優(yōu)控制研究尚有待于發(fā)展。

隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理是確定系統(tǒng)非線性隨機(jī)振動(dòng)最優(yōu)控制的一個(gè)基本理論，它將最優(yōu)控制設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為求解動(dòng)態(tài)規(guī)劃(HJB)方程，應(yīng)用變分原理可確定有界約束的最優(yōu)控制[8]。bang-bang控制是一個(gè)常用的有界控制，但因系統(tǒng)響應(yīng)的隨機(jī)性而導(dǎo)致相應(yīng)控制的不連續(xù)性，將產(chǎn)生受控系統(tǒng)的顫振，嚴(yán)重退化控制效果[9]。本文建立受控斜拉索的橫向非線性運(yùn)動(dòng)方程，運(yùn)用伽遼金法推導(dǎo)多模態(tài)耦合的振動(dòng)方程；然后考慮系統(tǒng)激勵(lì)的隨機(jī)性與控制力的有界性，先后應(yīng)用隨機(jī)平均法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法與變分法確定最優(yōu)有界半連續(xù)控制律；最后通過數(shù)值結(jié)果說明控制效果。

1 受控斜拉索的非線性振動(dòng)方程

考慮張緊的彈性斜拉索[5]，在鉛直平面內(nèi)橫向激勵(lì)與控制力作用下，其橫向運(yùn)動(dòng)方程為[1]

式中v是橫向位移，s是曲線坐標(biāo)，m是單位長度質(zhì)量，cv是阻尼系數(shù)，T是靜張力，EA是拉伸剛度，e是非線性動(dòng)應(yīng)變[4]，n是單位法向矢量，fv包含橫向激勵(lì)和控制力。設(shè)索兩端固定，則邊界條件為s=0，L(索長)時(shí)，v=0。利用非線性應(yīng)變與張力表達(dá)式、靜平衡關(guān)系，并作無量綱化，式(1)成為

相應(yīng)邊界條件為z=0，1時(shí)，w=0，其中無量綱位移w=v/L，坐標(biāo)z=s/L，斜拉索的傾斜角為a，水平靜張力為Tx，c=cv/m，f=fv/(mL)

將無量綱位移展成

它滿足索兩端邊界條件，其中qk為模態(tài)位移?？紤]到索的模態(tài)振動(dòng)幅值隨模態(tài)階次升高而迅速降低，保留到前3階模態(tài)。將式(4)代入(2)，運(yùn)用伽遼金法，可得索的模態(tài)振動(dòng)方程

2 最優(yōu)有界半連續(xù)控制力

將式(5)—(7)表示成It?微分的狀態(tài)方程

式中bi是正常數(shù)。應(yīng)用隨機(jī)平均法于式(8)，得到平均系統(tǒng)方程

式中<·>是平均算符，是漂移系數(shù)，是擴(kuò)散系數(shù)。系統(tǒng)(10)最優(yōu)控制的性能指標(biāo)表示為

式中E[·]是期望算符，tf是控制的終時(shí)，R=diag[R1，R2，R3]，u=[u1，u2，u3]T，g(H)30。根據(jù)隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，建立系統(tǒng)(10)和指標(biāo)(11)的平穩(wěn)HJB方程

式中l(wèi)是H的函數(shù)。式(12)與(9)組成具有控制約束的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題，根據(jù)變分原理，可得最優(yōu)控制律

該控制具有界限bi，在界內(nèi)具有連續(xù)函數(shù)形式，因此是一種有界半連續(xù)型的最優(yōu)控制。其連續(xù)性優(yōu)于非連續(xù)的bang-bang控制，從而可減輕非連續(xù)控制產(chǎn)生的顫振效應(yīng)。將式(13)代入(12)求解之得到l，代回(13)即得非線性索系統(tǒng)的最優(yōu)有界半連續(xù)控制。應(yīng)用隨機(jī)平均法可計(jì)算系統(tǒng)(8)控制前后的響應(yīng)。

3 數(shù)值結(jié)果

考慮某受控斜拉索，具有參數(shù)L=130.0 m，a=0.984 rad，A=60.0 cm2，m=60.0 kg/m，zi=0.002，E=180 GPa，Tx=4 000 sina kN，D1=D2=D3=0.03，zc=0.9，bi=2.2，Ri=4.0 sinipzc，g=2H2。按照式(13)確定最優(yōu)有界控制，計(jì)算受控索的均方位移，同時(shí)計(jì)算未控索的均方位移，得到相對(duì)降低值，并計(jì)算它與均方控制之比，用以說明控制效率。作為比較，給出bangbang控制均方位移的相對(duì)降低值，及其與均方控制之比。數(shù)值結(jié)果如圖1、2所示，最優(yōu)有界半連續(xù)控制的位移相對(duì)降低值隨控制界限而提高(b=2.5時(shí)約為88%)，其值略小于bang-bang控制(b=2時(shí)兩者之差約為0.02)，但差距隨控制界限提高而縮小，其控制效率則高于bang-bang控制。圖3、4展示的樣本表明最優(yōu)有界半連續(xù)控制力的連續(xù)性遠(yuǎn)優(yōu)于bangbang控制力，從而能較大程度地減輕后者產(chǎn)生的顫振效應(yīng)，改善實(shí)際控制效果。

圖1 均方位移的相對(duì)降低值(b=bi)

圖2 位移相對(duì)降低值與控制力之比(b=bi)

圖3 最優(yōu)有界控制力樣本

圖4 Bang-bang控制力樣本

4 結(jié)語

綜合應(yīng)用隨機(jī)平均法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理與變分原理研究了考慮控制力有界性的斜拉索非線性隨機(jī)振動(dòng)的最優(yōu)控制問題。建立了受控斜拉索多模態(tài)耦合的橫向非線性振動(dòng)方程，應(yīng)用隨機(jī)平均法得到平均方程，應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法建立HJB方程，應(yīng)用變分法得到了非線性隨機(jī)索系統(tǒng)的最優(yōu)有界控制律。該非線性隨機(jī)振動(dòng)的最優(yōu)有界半連續(xù)控制具有較高的效率與連續(xù)性，更切合實(shí)際控制器情況，數(shù)值結(jié)果表明能達(dá)到較好的實(shí)際控制效果。

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