羅云松

（中鐵四局集團(tuán) 鋼結(jié)構(gòu)有限公司，安徽 合肥 230023）

0 引言

漸開線直齒圓柱齒輪廣泛應(yīng)用于各種機(jī)器傳動(dòng)，在工作時(shí)，齒輪的工作狀態(tài)是動(dòng)態(tài)的。 在外部和內(nèi)部的激勵(lì)下將發(fā)生共振，產(chǎn)生較大的振動(dòng)和噪聲，過早地出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)和彎曲疲勞，影響其動(dòng)態(tài)性能，所以在齒輪設(shè)計(jì)初期，應(yīng)充分考慮到其固有頻率，盡可能地避免接近其工作頻率。 本文通過建立漸開線直齒圓柱齒輪模型，利用計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)計(jì)算其各階模態(tài)，為齒輪機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)與優(yōu)化分析提供理論依據(jù)與技術(shù)支持。

1 模態(tài)分析理論

由模態(tài)分析理論基礎(chǔ)，可得齒輪系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式中：[M]，[C]，[K]——齒輪的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣，剛度矩陣；

{x¨}，{x˙}，{x}——齒輪的振動(dòng)加速度向量，速度向量，位移向量；

{F（t）}——外界的激勵(lì)向量。

略去阻尼項(xiàng)并令外加激勵(lì)項(xiàng)為零，即{F（t）}=0 時(shí)，可得無阻尼自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程為：[M]{x¨}+[K]{x}={F（t）}=0，其對應(yīng)的特征方程為：

式中：ωi——系統(tǒng)第i 階模態(tài)固有頻率，i=1,2,3…， 此時(shí)的振動(dòng)系統(tǒng)一般存在n 個(gè)固有頻率和n 個(gè)振型，每一個(gè)固有頻率和振型都代表一個(gè)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)，而多自由度振動(dòng)是n 個(gè)單自由度模態(tài)振動(dòng)的線性疊加，是一種合成振動(dòng)。其中低階振型對結(jié)構(gòu)的影響最大，即階數(shù)越低，系統(tǒng)的影響越大。 本文選取某機(jī)器齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中漸開線圓柱直齒輪，對其前6 階模態(tài)進(jìn)行分析與研究。

2 漸開線齒輪實(shí)體模型的建立

利用Pro-E 強(qiáng)大的建模軟件， 對該漸開線齒輪進(jìn)行三維實(shí)體建模。 齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)：齒數(shù)Z=40，模數(shù)m=2mm，壓力角 α=20°，齒寬 b=20mm，輪轂孔徑Φ=20mm；物理參數(shù)：齒輪材料選用中碳鋼，其彈性模量設(shè)置 E=2.06×105MPa，泊松比 μ=0.27。 漸開線直齒圓柱齒輪實(shí)體模型如圖1 所示。

圖1 漸開線直齒圓柱齒輪實(shí)體模型

3 漸開線齒輪有限元模態(tài)分析

利用Pro-E 自帶的有限元分析插件Pro/Mechanica 進(jìn)行分析。 對于模態(tài)分析，根據(jù)模態(tài)分析理論，求齒輪的各階固有頻率及其對應(yīng)的主振型，只要對其進(jìn)行自由度約束，不需要對模型進(jìn)行加載。約束條件在這里設(shè)置為齒輪輪轂孔徑和鍵槽表面全約束。采用Pro/MECHANICA自帶模式下的網(wǎng)格劃分器自動(dòng)劃分。 結(jié)果為：Points：2056，Edges：9661，F(xiàn)aces： 13440，Solids： 5835。 漸開線直齒圓柱齒輪有限元模型如圖2 所示，運(yùn)行模態(tài)分析模塊，計(jì)算前6 階的固有振型的云圖結(jié)果如圖3 所示。

圖2 漸開線直齒圓柱齒輪有限元模型

圖3 漸開線直齒圓柱齒輪的各階振型

表1 漸開線直齒圓柱齒輪各階振動(dòng)頻率

從圖中可以看出，漸開線齒輪的主要振動(dòng)為端面上的對折振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。 各模態(tài)振型不同在于輪齒的圓周振動(dòng)方向不同。

4 結(jié)論

利用Pro-E 三維建模軟件建立了漸開線直齒圓柱齒輪實(shí)體模型，運(yùn)用Pro-E 自帶的有限元分析插件Pro/Mechanica 進(jìn)行了仿真計(jì)算，得到了齒輪的有限元模型，通過模態(tài)分析，求解了漸開線直齒圓柱齒輪的前6 階固有頻率及對應(yīng)的主振型，通過結(jié)果可以直觀發(fā)現(xiàn)各個(gè)振型的劇烈特征，因而在齒輪系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中要盡可能地避免齒輪的低階固有頻率，以此可降低齒輪機(jī)構(gòu)在運(yùn)行中由于振動(dòng)破壞而發(fā)生的故障率。

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