甘智華 汪偉偉 王龍一 陶 軒 劉碧強(qiáng)

(浙江大學(xué)制冷與低溫研究所 杭州 310027)

1 引 言

相比其它軸承支撐技術(shù)，柔性板彈簧(flexure bearing，亦可譯為flexure spring，簡(jiǎn)稱板彈簧)具有較大的徑軸向剛度比與理論上的長(zhǎng)壽命，是空間機(jī)械式低溫制冷技術(shù)高效可靠、長(zhǎng)壽命運(yùn)行的關(guān)鍵［1］。其較大的徑向剛度用于支撐動(dòng)子部件，在無(wú)活塞環(huán)的情況下，保證活塞與氣缸之間的狹小間隙(微米級(jí))以實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)密封及活塞與氣缸之間的非接觸往復(fù)運(yùn)動(dòng);較小的軸向剛度保證活塞在軸向有限位移下幾乎無(wú)限次的自由往復(fù)運(yùn)動(dòng)，因此板彈簧具有軸承和彈簧的雙重作用以及潛在的長(zhǎng)壽命［2］。早期的板彈簧曾應(yīng)用于紫外線傳感器快門(mén)系統(tǒng)［3］和人工心臟［4］，直到1981年，牛津大學(xué)的Davey第一次將板彈簧應(yīng)用于低溫制冷機(jī)，使得制冷機(jī)的間隙密封和無(wú)油潤(rùn)滑技術(shù)成為可能，迅速成為空間長(zhǎng)壽命機(jī)械式低溫制冷機(jī)的首選技術(shù)［5］。此后，板彈簧在低溫制冷機(jī)領(lǐng)域獲得了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用。

目前應(yīng)用的板彈簧主要有3種形式，即渦旋臂、直線臂和Corey型板彈簧，如圖1所示。渦旋臂板彈簧(圖1a)是應(yīng)用最早的一種板彈簧［6］，后來(lái)又有了直線臂板彈簧［7］(圖1b)和美國(guó) Chart(前 Qdrive)公司特有的Corey型板彈簧［8］(圖1c)。其中渦旋臂板彈簧的應(yīng)用最廣，一些著名的低溫制冷機(jī)生產(chǎn)商如Sunpower［9］、Thales［10］、Ricor［11］等都采用這種形式的板彈簧。

圖1 3種不同類型的板彈簧Fig.1 Three different kinds of flexure springs

渦旋線的構(gòu)造關(guān)系到板彈簧的徑軸向剛度及應(yīng)力分布，是保證板彈簧長(zhǎng)壽命運(yùn)行的重要研究?jī)?nèi)容。構(gòu)造板彈簧型線的方法有很多。1992年，Wong等利用曲線擬合的方法來(lái)構(gòu)造渦旋線［12］。1994年，Haruyama等利用阿基米德螺旋線來(lái)構(gòu)造渦旋線，并將得到的板彈簧與牛津大學(xué)的板彈簧進(jìn)行對(duì)比分析，得到了相似的板彈簧性能［13］。2007年，Al-Otaibi等也利用阿基米德螺旋線來(lái)構(gòu)造渦旋線，通過(guò)有限元方法對(duì)板彈簧進(jìn)行剛度和應(yīng)力計(jì)算，并優(yōu)化了最大應(yīng)力分布［2］。2006年，陳楠等提出利用圓漸開(kāi)線對(duì)渦旋線進(jìn)行構(gòu)造，并給出了該型線板彈簧剛度和自振頻率的理論計(jì)算公式［14］。陳曦等在2011年又提出了利用費(fèi)馬曲線來(lái)構(gòu)造渦旋線，并從理論計(jì)算、有限元和實(shí)驗(yàn)上進(jìn)行對(duì)比分析［15］。

本文提出同時(shí)以“徑軸向剛度比”和“最大應(yīng)力與軸向剛度比”為板彈簧的優(yōu)化參數(shù)，針對(duì)應(yīng)用最廣泛的渦旋臂板彈簧，研究了阿基米德、曲線擬合以及圓漸開(kāi)線3種不同型線的特性，對(duì)偏心型與同心型板彈簧進(jìn)行了比較，通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步證明了有限元方法的可靠性。

2 板彈簧的性能參數(shù)與優(yōu)化參數(shù)

2.1 性能參數(shù)

在板彈簧的設(shè)計(jì)過(guò)程中，應(yīng)特別關(guān)注板彈簧的4個(gè)性能參數(shù)，即軸向剛度、徑向剛度、最大應(yīng)力及自振頻率。

2.1.1 軸向剛度(kz)

較小的軸向剛度用于實(shí)現(xiàn)活塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng)以及系統(tǒng)的共振運(yùn)行。

2.1.2 徑向剛度(kr)

較大的徑向剛度保證低溫制冷機(jī)活塞和氣缸之間微米級(jí)的間隙密封和無(wú)油潤(rùn)滑，降低活塞和氣缸之間發(fā)生接觸摩擦的風(fēng)險(xiǎn)。

2.1.3 最大應(yīng)力(σmax)

由于活塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，板彈簧將受到交變的應(yīng)力作用，較大的應(yīng)力會(huì)導(dǎo)致板彈簧破裂損壞，降低制冷機(jī)的使用壽命。因此板彈簧應(yīng)具有較小的應(yīng)力分布，其最大應(yīng)力應(yīng)低于板彈簧材料疲勞強(qiáng)度的60%。

2.1.4 自振頻率(f)

為了防止板彈簧發(fā)生自振斷裂，低溫制冷機(jī)的運(yùn)行頻率應(yīng)避開(kāi)板彈簧的自振頻率，從而提高板彈簧的使用壽命。

2.2 優(yōu)化參數(shù)

板彈簧在設(shè)計(jì)過(guò)程中需要優(yōu)化，即在滿足軸向剛度的前提下，應(yīng)盡量提高板彈簧的徑向剛度，減小應(yīng)力分布。單純比較軸向剛度、徑向剛度以及最大應(yīng)力分布往往不能準(zhǔn)確的判斷板彈簧的設(shè)計(jì)好壞，因此，本文提出同時(shí)考慮“徑軸向剛度比”和“最大應(yīng)力與軸向剛度比”為板彈簧的優(yōu)化參數(shù)。

2.2.1 徑軸向剛度比(K)

即徑向剛度與軸向剛度之比，如式(1)所示。K越大，表示在相同軸向剛度的前提下，具有更大的徑向剛度，因此可以更好的支撐動(dòng)子部件，保證間隙密封和無(wú)油潤(rùn)滑。

2.2.2 最大應(yīng)力與軸向剛度比(S)

即板彈簧最大應(yīng)力與軸向剛度之比，如式(2)所示。S越小，表示在滿足相同軸向剛度及軸向位移時(shí)，具有較小的應(yīng)力分布，這有利于提高板彈簧的使用壽命。

對(duì)于基本幾何尺寸相同的板彈簧，最大應(yīng)力分布與其軸向剛度有關(guān)，一般軸向剛度越大，相同位移處的應(yīng)力也越大;同時(shí)板彈簧的軸向剛度一般不隨位移變化，是板彈簧的固有屬性，而徑向剛度隨位移的增大而減小，最大應(yīng)力隨位移的增大而增大;因此提出以“徑軸向剛度比”和“最大應(yīng)力與軸向剛度比”作為板彈簧的優(yōu)化參數(shù)更具合理性。為了更好地說(shuō)明這兩個(gè)優(yōu)化參數(shù)，下面分別使用兩種比較方法，對(duì)不同形式的板彈簧進(jìn)行性能分析。

2.2.3 單純比較 kz、kr以及 σmax

兩種板彈簧的徑軸向剛度以及最大應(yīng)力分布如圖2和圖3所示。從圖中可以看出，板彈簧1的徑軸向剛度和最大應(yīng)力都小于板彈簧2，即板彈簧2的徑向剛度優(yōu)于板彈簧1，而板彈簧1的最大應(yīng)力分布卻優(yōu)于板彈簧2，這就很難對(duì)板彈簧的性能優(yōu)劣做出準(zhǔn)確的判斷。

圖2 兩種板彈簧的徑軸向剛度Fig.2 Axial and radial stiffness of two flexure springs

2.2.4 綜合比較K和S

當(dāng)采用新的優(yōu)化參數(shù)后，得到兩種板彈簧的“徑軸向剛度比”和“最大應(yīng)力與軸向剛度比”如圖4和圖5所示。從圖中可以清晰的看出，板彈簧2具有較大的K與較小的S，較大的K值可以有效的保證低溫制冷機(jī)的間隙密封和無(wú)油潤(rùn)滑，較小的S值可以降低板彈簧疲勞失效的風(fēng)險(xiǎn)，延長(zhǎng)其使用壽命。因此板彈簧2的設(shè)計(jì)較優(yōu)。

圖3 兩種板彈簧的最大應(yīng)力分布Fig.3 Maximal stress distribution of two flexure springs

圖4 兩種板彈簧的徑軸向剛度比Fig.4 K of two flexure springs

圖5 兩種板彈簧的最大應(yīng)力與軸向剛度比Fig.5 S of two flexure springs

通過(guò)對(duì)比以上兩種方法可以得出，同時(shí)考慮“徑軸向剛度比”及“最大應(yīng)力與軸向剛度比”作為板彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)更具合理性，因此本文以下工作都基于上述兩個(gè)優(yōu)化參數(shù)進(jìn)行展開(kāi)。

3 渦旋線研究

3.1 渦旋臂板彈簧型線方程

渦旋臂板彈簧是應(yīng)用最廣泛的一種板彈簧，其型線設(shè)計(jì)也一直是板彈簧研究的重點(diǎn)。本文在總結(jié)國(guó)內(nèi)外渦旋線的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)和研究了3種不同型線的渦旋臂板彈簧，下面給出3種型線的設(shè)計(jì)方程式。

3.1.1 圓漸開(kāi)線型渦旋線［15］

圓漸開(kāi)線型渦旋線由陳楠提出，目前在國(guó)內(nèi)應(yīng)用較多，其型線方程如式(3)。

式中:R為基圓半徑，α為漸開(kāi)線展角。

3.1.2 阿基米德型渦旋線［14］

阿基米德螺旋線是應(yīng)用很廣的一種構(gòu)造渦旋線的方法，其極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程分別如式(4)和式(5)所示。

式中:r為渦旋線極徑，θ為極角，a為θ=0時(shí)的極徑，b為極角系數(shù)。

3.1.3 曲線擬合型渦旋線［12］

板彈簧的渦旋線也可以通過(guò)曲線擬合的方法得到，如式(6)。

式中:λ = β/βmax，f(λ)=c1λ +c2λ3+c3λ5+c4λ7，ri為渦旋線內(nèi)半徑，ro為渦旋線外半徑，β為渦旋角，βmax為最大渦旋角，c1、c2、c3、c4、n 為待定系數(shù)。根據(jù)定義，有邊界條件:

定義拐點(diǎn)，令:

式中:si為內(nèi)圓斜率截距，so為外圓斜率截距。為得到合適的板彈簧，需限制一些系數(shù)的大小，令:0.4≤m≤0.6，1≤n≤1.25，0.8≤si，so≤1.2。

3.2 不同型線板彈簧性能分析

針對(duì)3種不同的渦旋線，分別設(shè)計(jì)出兩組不同形式的渦旋臂板彈簧，即三臂同心型板彈簧和六臂同心型板彈簧，如圖6所示。利用Ansys有限元計(jì)算軟件，對(duì)比分析了兩組板彈簧的K值以及S值。為真實(shí)的比較不同型線的板彈簧性能，設(shè)定每組板彈簧的基本尺寸一致，渦旋線的起始點(diǎn)相同，并盡量保證型線輪廓一致。其中，每組板彈簧的基本尺寸如表1所示。

圖6 不同形式的同心型板彈簧Fig.6 Different types of concentric flexure springs

表1 兩組同心型板彈簧的基本尺寸Table 1 Basic dimensions of two concentric flexure springs

通過(guò)給板彈簧施加軸向載荷以及特定位移處的徑向載荷，可以分別計(jì)算出板彈簧的軸向剛度以及不同位移處的徑向剛度，得到兩組板彈簧的徑軸向剛度比如圖7所示。從圖中可以看出，圓漸開(kāi)線型板彈簧的徑軸向剛度比最大，阿基米德型次之，曲線擬合型最小。同時(shí)也可以看出，板彈簧的徑向剛度隨動(dòng)子位移的增大而減小，這一點(diǎn)在低溫制冷機(jī)的設(shè)計(jì)中要特別考慮。為保證間隙密封的可靠性，徑向剛度要取活塞最大位移處的值，即最小的徑向剛度。

對(duì)于最大應(yīng)力的計(jì)算，應(yīng)考慮板彈簧的實(shí)際受力狀態(tài)。由于板彈簧始終要支撐動(dòng)子部件，故徑向要承受一定的載荷;而軸向隨動(dòng)子運(yùn)動(dòng)，具有一定的位移。因此給板彈簧施加1 N的徑向力以模擬動(dòng)子的重力作用，再施加一定軸向位移載荷，從而得到板彈簧的最大應(yīng)力分布;其最大應(yīng)力與軸向剛度比如圖8所示。從圖中可以看出，3種不同渦旋型線板彈簧的最大應(yīng)力與軸向剛度比非常接近，同時(shí)也可以看出，板彈簧的最大應(yīng)力幾乎隨位移線性增加。

通過(guò)以上比較分析，可以得到:圓漸開(kāi)線型板彈簧型線設(shè)計(jì)較為簡(jiǎn)單，具有較高的徑軸向剛度比;阿基米德型設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，具有適中的徑軸向剛度比;曲線擬合型設(shè)計(jì)復(fù)雜，具有較低的徑軸向剛度比;因此圓漸開(kāi)線和阿基米德螺旋線都可以作為渦旋板彈簧的型線設(shè)計(jì)之用，且圓漸開(kāi)線較優(yōu);這是由于采用圓漸開(kāi)線可以得到均勻分布的渦旋槽寬度，而另外兩種渦旋線的渦旋槽寬度具有不均勻分布的特性。

圖7 不同渦旋型線板彈簧的徑軸向剛度比Fig.7 K of different spiral-line flexure springs

圖8 不同渦旋型線板彈簧的最大應(yīng)力與軸向剛度比Fig.8 S of different spiral-line flexure springs

4 偏心型板彈簧研究

偏心型板彈簧與同心型板彈簧相比，具有較小的軸向剛度，因此在相同軸向剛度時(shí)，偏心型板彈簧具有較大的厚度，即具有較高的徑向剛度，這樣就能更好的保證低溫制冷機(jī)的間隙密封和無(wú)油潤(rùn)滑，降低活塞氣缸發(fā)生摩擦碰撞的風(fēng)險(xiǎn)。根據(jù)圖6中兩組板彈簧，分別作偏心處理，得到兩組偏心型板彈簧如圖9所示，其中每組板彈簧的偏心率相同。

圖9 不同形式的偏心型板彈簧Fig.9 Different types of eccentric flexure springs

利用有限元方法，計(jì)算得到同心型和偏心型板彈簧的徑軸向剛度比如圖10所示。從圖中可以看出，偏心型板彈簧的徑軸向剛度比要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于同心型板彈簧，在最大位移處，三臂偏心板彈簧要高出40%以上，六臂偏心板彈簧要高出210%以上;同時(shí)也可得到，偏心型板彈簧徑向剛度隨軸向位移的變化要平緩一些，這有利于低溫制冷機(jī)的穩(wěn)定運(yùn)行。

同心型與偏心型板彈簧的最大應(yīng)力與軸向剛度比如圖11所示。從圖中可以看出，偏心型板彈簧的最大應(yīng)力與軸向剛度比要略小于同心型板彈簧，且對(duì)于不同形式的板彈簧，其最大應(yīng)力與軸向剛度比與位移都具有較好的線性關(guān)系。

5 板彈簧實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證有限元計(jì)算方法的準(zhǔn)確性，針對(duì)4片完全相同的柔性板彈簧，利用Zwick電子試驗(yàn)機(jī)分別進(jìn)行了軸向剛度的測(cè)量，其中力載荷與位移關(guān)系曲線如圖12所示。然后將4片板彈簧組裝在一起，測(cè)得板彈簧組件的軸向剛度值如表2所示。從表中可以看出，板彈簧的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值稍低于有限元計(jì)算值，但非常接近，4個(gè)試樣的平均誤差為11.6%，從而證明了有限元方法的可靠性。同時(shí)可以看出，板彈簧組件的整體軸向剛度并不是4片板彈簧軸向剛度的簡(jiǎn)單疊加，需要獨(dú)立測(cè)量，這一點(diǎn)在設(shè)計(jì)中需要特別注意。因?yàn)榘鍙椈山M件的整體剛度直接關(guān)系到線性壓縮機(jī)的共振頻率，而線性壓縮機(jī)只有工作在共振狀態(tài)，才具有最高效率。

圖10 同心型和偏心型板彈簧的徑軸向剛度比Fig.10 K of concentric and eccentric flexure springs

圖11 同心與偏心型板彈簧的最大應(yīng)力與軸向剛度比Fig.11 S of two concentric and eccentric flexure springs

圖12 板彈簧的剛度曲線Fig.12 Axial stiffness of flexure springs

表2 板彈簧試樣及組件軸向剛度值Table 2 Axial stiffness of flexure spring samples and assembly

6 結(jié)論

(1)提出同時(shí)考慮“徑軸向剛度比”和“最大應(yīng)力與軸向剛度比”為板彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)，利用這兩個(gè)參數(shù)，可以更加精確的指導(dǎo)板彈簧的優(yōu)化設(shè)計(jì)工作。

(2)圓漸開(kāi)線和阿基米德螺旋線適用于渦旋線的構(gòu)造，且圓漸開(kāi)線較優(yōu)。

(3)偏心型板彈簧具有較大的徑軸向剛度比與較優(yōu)的應(yīng)力分布，且徑向剛度隨位移的變化平緩，有利于低溫制冷機(jī)的穩(wěn)定運(yùn)行。

(4)實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了有限元方法的可靠性，且板彈簧組件的整體剛度并不是每片板彈簧軸向剛度的簡(jiǎn)單疊加。

1 Marquardt E，Radebaugh R，Kittel P.Design equations and scaling laws for linear compressors with flexure springs//Ludwigsen J.Cryocoolers 7［C］.New Mexico，USA:Phillips Laboratory，1993:783-804.

2 Al-Otaibi Z S，Jack A G.Spiral flexure springs in single phase linearresonant motors//Proc.of UPEC 2007［C］.Brighton，UK:IEEE，2007:184-187.

3 Curtis P D，Houghton J T，Peskett G D，et al.Remote sounding of atmospheric temperature from satellites V:the pressure modulator radiometer for Nimbus F［J］.Proc.of the Royal Society of London.A.Mathematical and Physical Sciences.1974，337(1608):135-150.

4 Johnston R P，Noble J E，Emigh S G，et al.Stirling engine with hydraulic power output for powering artificial hearts//Intersociety energy conversion engineering conference［C］.New York，USA:IEEE，1975:1448-1455.

5 Davey G.The Oxford University miniature cryogenic refrigerator//First International Conference on Advance infrared Detectors and Systems［C］.London，UK:IEEE，1981:39.

6 Werrett S T，Peskett G D，Davey G，et al.Development of a small Stirling cycle cooler for spaceflight applications//Fast R W.Advances in Cryogenic Engineering，31［C］.New York，USA:Plenum Publishing，1986:791-799.

7 Pan R B，Johnson Jr A L，Wong T E.Tangential Linear Flexure Bearing［P］:US，5492313.1996-02-20.

8 Corey J A.Reciprocator and Linear Suspension Element Therefor［P］:US，6492748.2002-11-10.

9 Wilson K，Gedeon D.Development of single and two-stage pulse tube cryocoolers with commercial linear compressors//Ross R G.Cryocoolers 12［C］.New York，USA:Plenum Publishers，2003:139-147.

10 Meijers M，Benschop A，Mullie J C.High reliability coolers under development at Signaal-USFA//Ross R G.Cryocoolers 11［C］.New York，USA:Plenum Publishers，2001:111-118.

11 Veprik A，Nachman I，Pundak N.Dynamic counterbalancing the single-piston linear compressor of a Stirling cryogeniccooler［J］.Cryogenics，2009，49(5):165-170.

12 Wang T E，Pan R B，Johnson A L.Novel linear flexure bearing//Ludwigsen J.Cryocoolers 7［C］.New Mexico，USA:Phillips Laboratory，1993:675-698.

13 Haruyama T，Inoue H.Design and fabrication of a prototype Stirling cryocooler for space borne application//Kittle P Advances in Cryogenic Engineering［C］.New York，USA:Plenum Press，1994:1367-1373.

14 Chen N，Chen X，Wu Y N，et al.Spiral profile design and parameter analysis of flexure spring［J］.Cryogenics，2006，46(6):409-419.

15 陳曦，劉 穎，袁重雨，等.基于費(fèi)馬曲線的柔性彈簧的理論與試驗(yàn)研究［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2011，47(18):130-136.Chen Xi，Liu Ying，Yuan Zhongyu，et al.Theory and experimental study on flexure spring based Fermat curve［J］.Journal of Mechanical Engineering，2011，47(18):130-136.

16 Bailey P B，Dadd M W，Stone C R.High speed compressors//Proc.of 21st International Compressor Engineering Conference［C］.West Lafayette，USA:Purdue University，2012:1-10.