張志華，李大偉，鐘強暉，梁勝杰

(1.海軍工程大學(xué) 科研部，湖北 武漢430033;2.海軍工程大學(xué) 兵器工程系，湖北 武漢430033;3.海軍工程大學(xué) 裝備經(jīng)濟管理系，湖北 武漢430033;4.海軍91697 部隊，山東 青島266505)

0 引言

通過定期對產(chǎn)品進行維修可以恢復(fù)其性能狀態(tài)，不僅保證產(chǎn)品以較好的狀態(tài)繼續(xù)工作，而且還能夠延緩可靠性下降速度，起到延長使用時間的作用［1］。實際工程中，許多產(chǎn)品都會進行維修，比如水雷武器定期進行殼體補漆、對電纜涂滑石粉，航空發(fā)動機的調(diào)校，道路日常保養(yǎng)等［2-3］。鑒于維修的重要性和廣泛應(yīng)用性，開展其相關(guān)研究，以掌握維修對產(chǎn)品使用可靠性的影響規(guī)律，對合理制定維修策略，降低維修費用，提高任務(wù)成功性有著重要意義。

在產(chǎn)品使用過程中，部分維修手段較為有限，比如潤滑、擦拭和校準(zhǔn)等，通常情況下，其維修效果多表現(xiàn)為“不完全維修”，即介于“修復(fù)如新”和“修復(fù)如舊”之間。針對“不完全維修”的維修效果，國外學(xué)者在20 世紀(jì)80 年代便開展了相關(guān)研究，提出了(p，q)模型、虛擬壽命、(α，β)模型等經(jīng)典方法［4］。上述方法主要是在不同的可靠性指標(biāo)中引入維修參數(shù)來描述維修效果，具有描述直觀，處理過程簡便的優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于不完全維修策略研究當(dāng)中［5-6］，但是由于具體的維修參數(shù)值往往需要借助專家打分或者工程經(jīng)驗給出，導(dǎo)致該類方法又具有一定的主觀性和局限性。因此，部分學(xué)者進一步進行研究，Kijima 等從產(chǎn)品的失效原因出發(fā)提出了沖擊模型［7］，以較為客觀的產(chǎn)品性能退化量恢復(fù)情況來描述維修效果。該方法認為當(dāng)退化量恢復(fù)到零值便認為產(chǎn)品“修復(fù)如新”，而實際中部分維修要求將性能狀態(tài)恢復(fù)到規(guī)定的數(shù)值(通常可記為零點)，比如慣導(dǎo)系統(tǒng)的初始對準(zhǔn)、魚雷標(biāo)校等［8］情況，顯然利用該方法會夸大維修的作用。按照該研究思路，國內(nèi)外學(xué)者深入研究，提出了如δ-沖擊模型并將其應(yīng)用到維修策略研究中［9-11］。由于現(xiàn)有的沖擊模型側(cè)重于沖擊時刻和沖擊類型的微觀描述，導(dǎo)致建模過程較為復(fù)雜，數(shù)學(xué)解析表達式較難獲得，同時，該類研究也較少從產(chǎn)品自身的性能變化角度進行分析。綜上所述，針對維修對產(chǎn)品性能狀態(tài)的恢復(fù)現(xiàn)象，如何建立一個擺脫主觀性且可以直觀利用數(shù)學(xué)解析表達式描述其維修效果的模型，進而掌握維修條件下的可靠性規(guī)律尚需進一步研究。

本文從產(chǎn)品的失效原因出發(fā)，結(jié)合維修后其性能退化量變化特點，描述了定期維修條件下的產(chǎn)品性能變化規(guī)律。以此為基礎(chǔ)，重點分析了該條件下產(chǎn)品的可靠度和失效率變化規(guī)律，進而建立了維修效果分析模型。最后以某水泵轉(zhuǎn)子的壽命數(shù)據(jù)為例，通過開展相關(guān)的數(shù)值分析，驗證并說明了本文方法的準(zhǔn)確性和適用性。

1 維修過程描述

產(chǎn)品在使用過程中會受到外界因素(如應(yīng)力、溫度、濕度等)的影響，這些影響因素與產(chǎn)品自身共同作用便會引起性能狀態(tài)的微小變化［12］。隨著使用時間的增加，因共同作用造成的產(chǎn)品性能退化量會逐漸增加，當(dāng)超過某一規(guī)定值Ls 時便認為產(chǎn)品發(fā)生失效。該變化過程如圖1 所示，其中橫軸表示時間，縱軸表示產(chǎn)品的性能退化量。

圖1 產(chǎn)品的性能退化示意圖Fig.1 Schematic diagram of product performance degradation

圖1表示產(chǎn)品在沒有任何維修手段干預(yù)情況下的性能退化現(xiàn)象。一般情況下，產(chǎn)品的性能退化量可認為是時間的連續(xù)單調(diào)非減函數(shù)。

對于要求定期維修的部分產(chǎn)品而言，在實際使用過程中，每隔一定周期Δt 會將產(chǎn)品的性能退化量恢復(fù)到規(guī)定值(通?？捎洖榱阒?［8］，使產(chǎn)品以較好的性能狀態(tài)繼續(xù)工作。此時，產(chǎn)品的性能變化過程如圖2 所示。

圖2 定期維修條件下產(chǎn)品的性能退化示意圖Fig.2 Schematic diagram of product performance degradation under the condition of periodic maintenance

由圖2 可以發(fā)現(xiàn)，由于定期進行維修，產(chǎn)品的性能退化量被恢復(fù)到零點，導(dǎo)致退化量變化具有間斷性。同時，隨著維修次數(shù)的增加，產(chǎn)品性能退化速度逐漸加快，增幅變大，而當(dāng)工作到一定時刻后，性能退化量會急速變化，存在一個“爆發(fā)期”，如圖2 中［3Δt，4Δt］之間的性能變化現(xiàn)象。

直觀來看，維修效果隨次數(shù)和時刻的增加而逐漸下降，這與實際情況是比較相符的。根據(jù)維修后產(chǎn)品的性能變化特點，如果僅從退化量恢復(fù)角度來描述維修效果［7］，很容易認為每次維修后均會使產(chǎn)品“修復(fù)如新”，顯然這是不合理的。那么，為了直觀準(zhǔn)確地描述維修效果，需要從失效原因出發(fā)，對產(chǎn)品受到外界和自身因素共同作用的規(guī)律以及每次作用后的性能變化規(guī)律進行分析。

2 可靠性模型

根據(jù)上述分析，結(jié)合維修后產(chǎn)品性能退化量的變化特點，建立定期維修條件下產(chǎn)品的可靠性模型。首先，介紹本文所作出的相關(guān)假設(shè):

1)相比較產(chǎn)品的工作時間，外界因素和自身屬性共同作用的時間較短，因此，可以忽略每次作用時間。在該前提下，設(shè)作用的次數(shù)為隨機變量且服從非齊次Poisson 過程，即產(chǎn)品在時間［t，t +s］內(nèi)受到的作用數(shù)Nt，t+s是強度函數(shù)為atb-1的非齊次Poisson過程，即

式中:a、b 為參數(shù)。

2)每次作用均會對產(chǎn)品的性能狀態(tài)造成一定的影響，影響程度通常與產(chǎn)品的材料、制造工藝等因素有關(guān)。因此，可假設(shè)每次作用對產(chǎn)品造成的性能變化量Yi相互獨立且服從相同的正態(tài)分布，即

式中:μ 和σ 為產(chǎn)品的性能參數(shù)。

3)通常情況下，可認為Nt，t+s與Yi互相獨立。根據(jù)上述假設(shè)，可以確定在時間［t，t +s］內(nèi)的性能退化量Xt，t+s為產(chǎn)品在該時間段內(nèi)每次作用造成的性能變化量Yi的累加和，即滿足:

顯然，Xt，t+s為一個典型的復(fù)合Poisson 過程。進一步分析，Xt，t+s可以看作是Nt，t+s個正態(tài)分布的線性組合，即

由于Nt，t+s和Yi都為隨機變量，導(dǎo)致上式的解析表達式較為復(fù)雜。

根據(jù)復(fù)合Poisson 過程的性質(zhì)，產(chǎn)品在時間［t，t +s］內(nèi)的性能退化量Xt，t+s的數(shù)學(xué)期望和方差分別滿足:

通過(4)式可以知道產(chǎn)品在時間［t，t +s］內(nèi)的性能退化量Xt，t+s為無窮個互相獨立的變量累加和。為了方便描述其變化規(guī)律，根據(jù)中心極限定理可以認為Xt，t+s近似服從正態(tài)分布，即Xt，t+s～N(μt，t+s，σ2)，式中:μt，t+s和s分別滿足μt，t+s=E(Xt，t+s)，

對于部分維修行為(如調(diào)校、潤滑和補漆等)而言，其技術(shù)手段往往有限，可以認為維修并不改變產(chǎn)品的退化機理，仍保持原有的作用強度繼續(xù)工作，僅是對性能退化量進行了恢復(fù)。那么，結(jié)合上述分析，當(dāng)給定產(chǎn)品維修周期為Δt 時，可以得到其性能退化量X(i-1)Δt，t在不同周期內(nèi)的變化規(guī)律為

式中:Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布;x 為任意實數(shù)。

當(dāng)掌握了定期維修條件下產(chǎn)品的性能變化規(guī)律后，給定失效閾值Ls，利用(7)式能夠獲得任意時刻產(chǎn)品的可靠度函數(shù)滿足:

觀察(8)式可以發(fā)現(xiàn)該條件下產(chǎn)品的可靠度函數(shù)為一個條件概率，其數(shù)值大小不僅與工作時間t、維修周期Δt 有關(guān)，而且與t 時刻前各維修周期內(nèi)產(chǎn)品不發(fā)生失效的概率密切相關(guān)。通過選取適宜的維修周期Δt，維修可以將各維修周期內(nèi)產(chǎn)品不發(fā)生失效的概率控制在一個相對較高的水平。同時，維修后產(chǎn)品的性能狀態(tài)得到恢復(fù)，推遲了退化量到達失效閾值的時間。因此，維修延緩了可靠度隨時間增加而降低的速度，進而延長了產(chǎn)品的使用時間。

為了說明利用正態(tài)分布近似定期維修條件下產(chǎn)品性能變化規(guī)律的合理性，在給定相關(guān)性能參數(shù)和維修周期的情況下，利用數(shù)值仿真大量模擬產(chǎn)品的使用過程以獲得各維修時刻的可靠度值，然后采用本文方法(8)式確定可靠度解析值，將二者進行對比，得到結(jié)果如圖3 所示。

由圖3 可知，兩種方法獲得的各維修時刻產(chǎn)品的可靠度近似相等，說明利用正態(tài)分布近似產(chǎn)品的性能變化規(guī)律具有較好的精度。

圖3 可靠度對比圖Fig.3 Comparison of simulation and calculated reliabilities

3 維修效果分析

為了更加直觀地分析維修效果，對維修前后的產(chǎn)品失效率變化規(guī)律進行分析。根據(jù)失效率的定義，可以得到產(chǎn)品任意時刻失效率λ(t)滿足:

根據(jù)上文分析，產(chǎn)品性能退化規(guī)律(7)式的分布參數(shù)μt，t+s和σ2t，t+s為時變參數(shù)且形式較為復(fù)雜，導(dǎo)致上極限式較難求解。同時，由于維修的影響，對于任意維修時刻iΔt，上極限式左右極限并不相等，導(dǎo)致其并不是時間的連續(xù)函數(shù)。以上均給準(zhǔn)確描述定期維修條件下產(chǎn)品的失效率函數(shù)造成了一定的困難。

為了方便且更直觀地描述維修過程的產(chǎn)品失效率規(guī)律，可以取各維修周期內(nèi)可靠度的變化均值定義失效率，即取ε=Δt. 此時，產(chǎn)品的失效率滿足:

根據(jù)工程定義，上式可以表示若產(chǎn)品工作到時刻t 仍然正常，則其在時間(t，t +Δt］內(nèi)單位時間發(fā)生失效的比例。那么，可以獲得產(chǎn)品在任意維修時刻iΔt 的失效率滿足:

如果產(chǎn)品在某維修時刻iΔt 并沒有進行維修，則可以獲得其失效率滿足:

式中:R-(iΔt+Δt)表示產(chǎn)品iΔt 時刻沒有進行維修繼續(xù)工作到iΔt+Δt 時刻的可靠度。

比較(11)式和(12)式，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)產(chǎn)品進行維修后，失效率會有所下降，即(iΔt)＞(iΔt).此時，利用各次維修后產(chǎn)品失效率的恢復(fù)因子αi來反映各次維修后的維修效果，即

顯然，αi∈［0，1］. 特殊的，αi=0 說明該次維修使產(chǎn)品“修復(fù)如舊”，并沒有改變其失效率。相反，對于初始失效率為0(即λ(0)=0)的產(chǎn)品而言，αi=1 則說明該次維修使產(chǎn)品“修復(fù)如新”，令其失效率降低為0 值。由于失效率是時間的函數(shù)，在不同時刻進行維修恢復(fù)因子αi會各不相同，通過比較αi的數(shù)值大小便可以掌握產(chǎn)品在任意時刻進行維修所具有的恢復(fù)效果。

4 實例分析

4.1 算例分析

針對某型水泵轉(zhuǎn)子而言，在使用過程中會每隔一個周期便對其進行潤滑，即定期進行維修。對實際壽命數(shù)據(jù)進行處理，將各維修時刻未失效產(chǎn)品數(shù)除以總產(chǎn)品數(shù)記為可靠度試驗值，由此得到其可靠性規(guī)律。針對該組壽命數(shù)據(jù)所表現(xiàn)出來的可靠性規(guī)律，利用本文方法進行處理。首先，對相關(guān)參數(shù)進行假設(shè)，設(shè)該轉(zhuǎn)子受到作用數(shù)N(t)服從強度函數(shù)λ(t)=0.21t0.75的非齊次Poisson 過程，每次作用引起產(chǎn)品的性能變化量Yi～N(4.5 ×10-4，10-8). 基于(8)式，在給定失效閾值為0.04 和維修周期為10 d的情況下，化簡得到該轉(zhuǎn)子的可靠度函數(shù)滿足:

將壽命數(shù)據(jù)表現(xiàn)出來的可靠度規(guī)律與利用本文方法獲得的可靠度解析值進行比較，具體如圖4 所示。

如圖4 所示，二者在數(shù)值上較為接近。從失效過程來看，轉(zhuǎn)子在正常磨損階段，其磨損率較為穩(wěn)定，往往較難發(fā)生失效。當(dāng)過了正常磨損階段后，轉(zhuǎn)子尺寸會發(fā)生較大變化，導(dǎo)致失效概率隨時間延長而越來越高［13］，可靠度迅速下降。可見轉(zhuǎn)子的磨損失效過程與圖4 描述的變化規(guī)律也較為吻合。以上說明本文方法能夠較好地描述該型轉(zhuǎn)子在定期維修條件下的可靠度變化規(guī)律。

圖4 定期維修條件下轉(zhuǎn)子的可靠度變化圖Fig.4 Change in reliability of rotor under the condition of periodic maintenance

進一步分析，由于實際數(shù)據(jù)只能得到轉(zhuǎn)子在各維修時刻的可靠度值，無法反映其在維修周期內(nèi)的變化趨勢。利用本文方法能夠彌補其不足，得到轉(zhuǎn)子任意時刻的可靠度值。觀察圖4 可以發(fā)現(xiàn)，每次維修后，轉(zhuǎn)子可靠度呈現(xiàn)出先近似保持平穩(wěn)，而后迅速下降的變化趨勢。該現(xiàn)象說明產(chǎn)品維修后的一段時間內(nèi)發(fā)生失效的概率較低，即維修后的可靠度與維修前的近似相等，但是維修效果畢竟有限，隨著時間延長，產(chǎn)品的性能退化量會急速變化，導(dǎo)致可靠度急速下降。綜上所述，利用本文方法描述出來的可靠度變化規(guī)律與直觀認識較為相符，能夠較好地反映維修是通過延緩可靠性下降速度來對產(chǎn)品產(chǎn)生積極影響的特性。

4.2 失效率恢復(fù)因子分析

針對上節(jié)研究的算例，利用本文提出的失效率恢復(fù)因子進行分析，以便更加直觀地反映維修效果。

將相關(guān)參數(shù)分別代入到(11)式和(12)式，然后將結(jié)果代入(13)式計算獲得轉(zhuǎn)子在各維修時刻的失效率恢復(fù)因子，具體數(shù)值見表1 所示。

表1 失效率恢復(fù)因子表Tab.1 Recovery factors of failure rate

觀察表1，可以發(fā)現(xiàn)恢復(fù)因子變化過程有兩個明顯的現(xiàn)象。一個現(xiàn)象是前10 次的恢復(fù)因子近似為100%，即表示通過維修使轉(zhuǎn)子“修復(fù)如新”。而事實上，圖4 中轉(zhuǎn)子前10 個維修時刻的可靠度也近似為1，驗證了該現(xiàn)象。究其原因:一方面是轉(zhuǎn)子工作時間相對較短，失效率本身就較低，通過維修可以及時降低;另一方面是因為較早的維修自身具有較好的維修效果，對降低轉(zhuǎn)子的失效率有著更為積極的影響。該現(xiàn)象也與實際中“較早的不完全維修可以使產(chǎn)品修復(fù)如新”的直觀認識較為吻合。另一個現(xiàn)象便是恢復(fù)因子隨著工作時間和維修次數(shù)的增加呈現(xiàn)出下降的趨勢，并且下降速度逐漸增快。該現(xiàn)象反映出不完全維修的特性:維修效果會隨產(chǎn)品的工作時間和維修次數(shù)增加而逐漸降低，符合一般工程經(jīng)驗。

經(jīng)典不完全維修模型描述維修效果往往需要專家打分主觀給出或者建模過程較為復(fù)雜，難以獲得解析表達式，而本文提出的失效率恢復(fù)因子以產(chǎn)品自身的性能退化規(guī)律為基礎(chǔ)，能夠較為客觀、直觀地描述維修效果。同時，通過本節(jié)分析說明該恢復(fù)因子能夠較為準(zhǔn)確地描述維修效果，與實際工程規(guī)律較為吻合。

4.3 可靠性指標(biāo)分析

在產(chǎn)品工作過程中，可靠度會隨著使用時間的增加逐漸下降。工程中，使用方往往關(guān)心產(chǎn)品可靠度下降到一定程度時所對應(yīng)的時間，因此，本節(jié)將對水泵轉(zhuǎn)子在定期維修條件下的可靠壽命進行研究。

根據(jù)可靠壽命的定義［14］和水泵轉(zhuǎn)子的相關(guān)性能參數(shù)可以得到其可靠壽命，部分?jǐn)?shù)值如表2 所示。

表2 可靠壽命表Tab.2 Reliability life

由表2 可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)可靠度急速下降時，其可靠壽命變化卻不大。該現(xiàn)象表明轉(zhuǎn)子可靠度存在一個“拐點”，當(dāng)工作時間達到一定時刻(如圖4 中所示的［130 d，140 d］)，其可靠度會迅速下降。對于轉(zhuǎn)子該類失效類型屬于磨損失效的產(chǎn)品而言，該現(xiàn)象合理。該類產(chǎn)品一般會有一段平穩(wěn)的使用期，較難發(fā)生失效，當(dāng)工作到某一臨界點后，失效數(shù)量會迅速增多［13］。同時，在該維修周期的安排下，根據(jù)可靠壽命，為了防止轉(zhuǎn)子大量發(fā)生失效，可以考慮在第13 個周期便停止維修，采取更換等手段使轉(zhuǎn)子“修復(fù)如新”。

通過開展產(chǎn)品的可靠性指標(biāo)分析，可以為其制定相關(guān)的維修策略——優(yōu)化使用時間和維修費用奠定一定的理論基礎(chǔ)。

5 結(jié)論

本文重點研究了不完全維修條件下的產(chǎn)品可靠性規(guī)律，建立了相應(yīng)的分析模型，并針對某水泵轉(zhuǎn)子實際數(shù)據(jù)進行了處理，得到了以下結(jié)論:

1)本文建立的可靠性模型從維修后性能狀態(tài)變化角度出發(fā)，能夠較好地描述定期維修條件下產(chǎn)品的可靠度規(guī)律，揭示了維修的作用原理——通過延緩可靠性下降速度來延長產(chǎn)品使用時間。

2)提出的失效率恢復(fù)因子能夠較為準(zhǔn)確直觀地描述維修效果，并且能夠反映出維修效果隨產(chǎn)品工作時間和維修次數(shù)逐漸下降的變化規(guī)律。

3)本文的研究內(nèi)容為制定產(chǎn)品的維修策略奠定了一定的理論基礎(chǔ)，便于開展相關(guān)分析。

References)

［1］中國人民解放軍總裝備部. GJB 451A—2005 可靠性維修性保障性術(shù)語［S］. 北京:中國人民解放軍總裝備部，2005.Chinese PLA General Armament Department. GJB 451A—2005 Reliability，maintainability and supportability terms［S］. Beijing:Chinese PLA General Armament Department，2005. (in Chinese)

［2］Zhang X Q，Gao H. Determining an optimal maintenance period for infrastructure systems［J］. Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering，2012，27(7):543 -554.

［3］Rangel-Ramirez J G，Sorensen J D. Risk-based inspection planning optimisation of offshore wind turbines［J］. Structure and Infrastructure Engineering，2012，8(5):473 -481.

［4］Pham H，Wang H Z. Imperfect maintenance［J］. European Journal of Operational Research，1996，94:425 -438.

［5］Shen S H，Lin Y B，Liao G L.Optimum policies for a system with general imperfect maintenance［J］.Reliability Engineering ＆ System Safety，2006，91:362 -369.

［6］Cassady C R，Iyoob I M，Schneider K，et al.A generic model of equipment availability under imperfect maintenance［J］. IEEE Transactions on Reliability，2005，54(4):564 -571.

［7］Kijima M，Nakagawa T. Accumulative damage shock model with imperfect preventive maintenance［J］. Naval Research Logistics，1991，38:145 -156.

［8］鄭梓禎，劉德耀，蔡迎波，等. 船用慣性導(dǎo)航系統(tǒng)海上試驗［M］. 北京:國防工業(yè)出版社，2006.ZHENG Zi-zhen，LIU De-yao，CAI Ying-bo，et al. Sea experiment for marine inertial navigation system［M］. Beijing:National Defense Industry Press，2006.(in Chinese)

［9］Lam Y，Zhang Y L.A shock model for the maintenance problem of a repairable system［J］. Computers and Operations Research，2004，(31):1807 -1820.

［10］Tang Y Y，Lam Y.A δ-shock maintenance model for a deteriorating system［J］.European Journal of Operational Research，2006，168(12):541 -556.

［11］王小林，程志君，郭波，等. 基于沖擊模型劣化系統(tǒng)的不完全維修決策［J］. 系統(tǒng)工程理論與實踐，2011，31(12):2380 -2386.WANG Xiao-lin，CHENG Zhi-jun，GUO Bo，et al. Imperfect maintenance decision for a deteriorating system based on shock model［J］. Systems Engineering-Theory ＆ Practice，2011，31(12):2380 -2386. (in Chinese)

［12］Hsieh M H，Jeng S L，Shen P S. Assessing device reliability based on scheduled discrete degradation measurements［J］. Probabilistic Engineering Mechanics，2009，24:151 -158.

［13］張棟，鐘培道，陶春虎，等. 失效分析［M］. 北京:國防工業(yè)出版社，2008:229 -231.ZHANG Dong，ZHONG Pei-dao，TAO Chun-hu，et al. Failure analysis［M］. Beijing:National Defense Industry Press，2008:229 -231.(in Chinese)

［14］張志華. 可靠性理論與工程應(yīng)用［M］. 北京:科學(xué)出版社，2012:9 -11.ZHANG Zhi-hua. Reliability theory and application［M］. Beijing:Science Press，2012:9 -11. (in Chinese)