周金宇,謝里陽,韓文欽,朱福先

(1.江蘇理工學院裝備再制造工程高技術重點實驗室,江蘇常州 213001;2.東北大學機械工程與自動化學院,遼寧沈陽 110004)

可修系統(tǒng)剩余壽命分析的廣義發(fā)生函數法

周金宇1,謝里陽2,韓文欽1,朱福先1

(1.江蘇理工學院裝備再制造工程高技術重點實驗室,江蘇常州 213001;2.東北大學機械工程與自動化學院,遼寧沈陽 110004)

系統(tǒng)剩余壽命是機電裝備面向多生命周期設計、制造與服役的重要分析指標?；诟逻^程理論,通過引入廣義發(fā)生函數(UGF),提出一種針對元件及系統(tǒng)有限時間區(qū)間的剩余壽命概率分析的實用方法。當系統(tǒng)各元件承受具有整體不確定性的平穩(wěn)載荷隨機歷程時,直接根據元件在各等效恒幅應力水平下的失效數據構建元件條件壽命發(fā)生函數,由自定義復合算子分別計算相應的系統(tǒng)條件剩余壽命發(fā)生函數,經統(tǒng)計平均得系統(tǒng)剩余壽命分布。運算過程中,可利用近似項合并技術大幅度提高分析效率。新方法適用于元件壽命為任意分布隨機變量場合,并體現各元件因等效恒幅應力不確定而引發(fā)的失效相關性,可為裝備系統(tǒng)剩余壽命精細化分析開辟新途徑。

機械學;可修系統(tǒng);剩余壽命;失效相關;廣義發(fā)生函數

Key words:mechanics;repairable system;residual life;failure dependence;universal generating function

0 引言

機電裝備是多故障/失效模式并存、耦合的復雜可修系統(tǒng),為確保其長期、可靠地運行,需要定期檢測各元件或結構細節(jié)的損傷狀態(tài),及時通過更換、修復、再制造等方式恢復裝備的工作可靠度,實現多生命周期服役。因此,基于更新過程理論的元件與裝備系統(tǒng)剩余壽命定量概率評估,對于合理制定可靠度約束條件下的預防性維修策略、科學構建面向多生命周期的可靠性模型具有重要意義。

近年來,國內外學者針對可修系統(tǒng)的可靠性、維修性、再制造性和壽命周期的成本優(yōu)化等問題開展了廣泛研究。具有代表性的工作包括3個方面:1)針對有限時間區(qū)間和無限時間區(qū)間,分別運用Laplace-stieltjes變換和漸近定理,求解更新方程得到瞬時解和穩(wěn)態(tài)解,獲得元件及系統(tǒng)瞬時或長程概率分析指標[1-2];2)為避免在復雜更新方程求解中進行Laplace逆變換所碰到的諸多困難,基于更新時間離散法或計算機統(tǒng)計模擬法,近似獲得各類概率分析指標[3-5];3)綜合考慮安全性、可靠性、維修性和經濟性等因素,建立可修系統(tǒng)多目標優(yōu)化模型[6-8]。鑒于可修系統(tǒng)概率模型因元件的多次更新而導致的復雜性,現有概率分析方法較多基于失效模式統(tǒng)計獨立或完全相關假設,分析結果與實際情況往往存在較大偏差。此外,對于有限或較短時間區(qū)間問題,運用Laplace-stieltjes變換難以求解含非正態(tài)、非指數分布或非連續(xù)分布隨機變量的更新方程,而運用計算機統(tǒng)計模擬法進行系統(tǒng)級概率分析時將面臨計算復雜度的挑戰(zhàn)。

本文基于更新過程理論,通過引入廣義發(fā)生函數(UGF),提出一種針對裝備元件及系統(tǒng)有限時間區(qū)間的剩余壽命概率分析方法。在元件壽命為任意分布隨機變量的情況下,考慮到元件在具有整體不確定性平穩(wěn)載荷隨機歷程作用下的失效相關性,根據元件單生命周期壽命的離散失效數據建立可修元件及可修系統(tǒng)的剩余壽命概率模型,為精確而高效地分析裝備剩余壽命分布的動態(tài)演化規(guī)律提供新思路。

1 廣義發(fā)生函數法

發(fā)生函數是現代離散數學領域中的重要工具,具有形式統(tǒng)一、表達簡潔、易編程、通用性強等優(yōu)點,便于以統(tǒng)一的程序方式處理眾多不同類型的問題。自20世紀80年代Ushakov對發(fā)生函數進行擴展以來[9],UGF被引入工程理論和實踐中發(fā)揮了巨大作用。對于工程系統(tǒng),可靠度是任務(需求)、性能(供給能力)這對矛盾在概率空間中相互作用的結果。采用UGF描述任務、性能隨機變量,利用UGF復合運算實現各隨機量的概率組合并最終求解系統(tǒng)/元件可靠性指標的方法,稱為可靠性分析的UGF法。近10年,Lisnianski、Levitin、Zhou等、Li等在系統(tǒng)可靠性理論研究領域中應用并進一步發(fā)展了 UGF法[10-15],使之逐漸成為系統(tǒng)可靠性及壽命分布的有力工具。

利用UGF法進行系統(tǒng)可靠性分析所需的基本信息是:元件性能分布和系統(tǒng)性能結構函數,即

式中:H表示系統(tǒng)元件數。任意元件Ch的性能Gh都有mh種離散狀態(tài),各狀態(tài)值及相應的概率可通過有序集合對gh={gh1,…,ghmh},ph={ph1,…,phmh}進行描述。Φ表示系統(tǒng)性能結構函數,該函數建立了系統(tǒng)性能與各元件性能之間的關系。用UGF描述元件的性能分布為

式中:UGF指數表示元件性能狀態(tài)值,對應的系數表示元件性能處于該狀態(tài)的概率。

為評估全系統(tǒng)的性能分布g、p,需求出系統(tǒng)性能狀態(tài)值及與各狀態(tài)值所對應的概率,具體表現為各組成元件所有可能的狀態(tài)組合,系統(tǒng)性能狀態(tài)值可通過性能結構函數Φ求出。當系統(tǒng)各元件狀態(tài)統(tǒng)計獨立時,各元件狀態(tài)組合的概率就等于所對應的各元件狀態(tài)概率的乘積,由此對描述不同元件性能分布的元件發(fā)生函數作復合運算,即得到描述系統(tǒng)性能分布的系統(tǒng)發(fā)生函數

式中:ΩΦ為復合算子符。運算時,元件發(fā)生函數各項系數相乘,而指數的運算規(guī)則由性能結構函數Φ確定。Φ的定義嚴格基于系統(tǒng)各元件的相互關系和物理特性。文獻[11]針對流量傳輸和任務處理兩類系統(tǒng),分別給出了元件串聯、并聯時的性能結構函數;文獻[14]針對靜定、靜不定結構系統(tǒng)靜強度可靠性和疲勞強度可靠性問題,分別定義了相應的性能結構函數。

在UGF復合運算中,系統(tǒng)的狀態(tài)組合總數為

式中:δ為條件求和算子符;1(gi-w＞0)為示性函數,當gi＞w時等于1,否則為0;w表示劃分系統(tǒng)安全、失效二狀態(tài)的性能臨界值。

2 可修元件剩余壽命分析

設元件在某確定載荷歷程下的單周期壽命為T,其概率分布函數、概率密度函數分別為F(t)和 f(t).元件臨近失效時能在后繼檢測點被檢出并及時更新,實現“修復如新”,更新后的壽命分布與原分布相同。為描述簡潔起見,不計維護與更新時間,元件的檢測時間間隔為Δt.經變量離散化[13]后得T的發(fā)生函數為

式中:UGF系數qj表示元件單周期壽命等于jΔt的概率,j=0,1,…,m,m為最長壽命對應的狀態(tài)序號。

記元件在tk=kΔt時刻的服役年齡和剩余壽命分別為Xk和Yk,則元件的單周期壽命T=Xk+Yk, k=0,1,2,….

若元件已在(tk-ti,tk)時段可靠服役了 ti年齡,其后還能繼續(xù)工作y時長,則該元件在tk時刻的剩余壽命等于y,全壽命等于ti+y,相應的概率等于

3 可修系統(tǒng)剩余壽命分析

裝備系統(tǒng)的故障通常源自薄弱元件或結構細節(jié)(以下簡稱元件)的失效,形式通常為載荷(壓力、速度、溫度等)多次、長期作用下的漸變失效,如疲勞、蠕變、磨損等,載荷、強度、宏微觀結構的不確定性,都將影響元件與系統(tǒng)壽命的分布特征。對于多數機電裝備,疲勞是最常見的失效形式之一,且任一薄弱元件或細節(jié)的疲勞失效通常會導致系統(tǒng)發(fā)生故障,所以下文以可修串聯系統(tǒng)的疲勞失效為研究對象進行闡述。

對于各態(tài)歷經平穩(wěn)載荷歷程L(t)下的高周服役元件,可忽略載荷樣本的過程不確定性,依據針對中位壽命的損傷等效原則,把載荷隨機過程當量為元件等效恒幅循環(huán)應力,再由恒幅應力與服役壽命之間的非線性經驗關系(如應用-循環(huán)次數-存活率曲線,即P-S-N曲線)預測元件的壽命分布。工程實踐中,通常由元件母體的平均使用情況確定載荷譜,由于母體載荷譜與不同批次、不同環(huán)境下各樣本群的載荷譜之間存在著一定差異,導致局部樣本載荷隨機過程的當量幅值具有不確定性[16],可視為隨機變量,記作S.由此引出兩類元件壽命概率分析方法:1)直接在母體載荷譜下,根據確定的當量應力幅值計算元件壽命;2)在局部載荷譜下,根據隨機的當量應力幅值計算元件壽命。對于僅面向母體元件級的元件壽命分析,以上兩類方法的計算結果差異不大。

然而,在進行母體系統(tǒng)級壽命分析時,由于安裝在同一裝備系統(tǒng)中的一批元件共同處于該裝備系統(tǒng)局部樣本群的載荷環(huán)境下,該批元件在服役過程中僅承受局部載荷譜,導致不同裝備系統(tǒng)中各元件的安全裕度和壽命分布作群體性同向波動,在母體概率空間中呈現出統(tǒng)計正相關性[17],使母體系統(tǒng)級壽命概率建模復雜化?？紤]到元件失效相關性,可嘗試3種方法實現母體系統(tǒng)級壽命分析:1)在母體載荷譜下,根據確定的當量應力幅值計算元件壽命,再導出元件壽命之間的積矩相關系數,在多維正態(tài)空間中描述并計算系統(tǒng)壽命分布;2)在局部載荷譜下,將隨機當量應力幅值S離散化為si,i=1,…, mS,在各離散值si下首先按統(tǒng)計獨立分別計算元件及系統(tǒng)的條件壽命分布,再對系統(tǒng)條件壽命分布進行統(tǒng)計平均獲得系統(tǒng)壽命分布。該方法基于共因隨機量離散化思想,間接處理了失效相關問題[18];3)運用Monte Carlo法,基于隨機枚舉原理計算系統(tǒng)壽命分布。鑒于方法1的數學處理瓶頸和方法3的計算復雜度,本節(jié)將引入UGF,運用方法2實現可修系統(tǒng)剩余壽命建模。

設可修串聯系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)由H個元件組成,各元件強度統(tǒng)計獨立,任一元件失效系統(tǒng)即失效,更新失效元件后系統(tǒng)可繼續(xù)工作,則系統(tǒng)在tk時刻的剩余壽命分析步驟如下。

1)根據各元件的S-N曲線和母體中多個局部載荷譜統(tǒng)計信息,運用損傷等效原理構造系統(tǒng)薄弱元件組的當量應力幅值發(fā)生函數

式中:指數S(i)=(s1(i),…,sH(i))表示元件組應力水平向量,其分量sh(i)表示元件Ch當量應力幅值的第i個離散值,系數表示相應的概率。

2)根據各元件的P-S-N曲線分別構造各元件在不同應力水平下的條件壽命發(fā)生函數

式中:指數Th|i(j)表示元件Ch在應力水平sh(i)下壽命的第j個離散值;系數pTh|i(j)表示相應的概率; mTi表示元件在該應力水平下壽命的狀態(tài)總數。

3)分別將元件C1,…,CH在各自對應的應力水平s1(i),…,sH(i)下的條件壽命發(fā)生函數代入(11)式,運用(12)式求得各元件在應力水平向量S(i)下的服役年齡發(fā)生函數,進一步由(13)式、(14)式定義的復合算子,計算各元件在S(i)下剩余壽命Ykh|i的發(fā)生函數

4)定義性能結構函數Φ(a,b)=min(a,b),通過(3)式,對剩余壽命,…,的發(fā)生函數進行復合運算,得可修串聯系統(tǒng)在S(i)下剩余壽命發(fā)生函數

5)根據薄弱元件組的當量應力幅值發(fā)生函數US(z)的系數信息,對可修系統(tǒng)在S(1)、…、S(mS)下的剩余壽命發(fā)生函數進行統(tǒng)計平均,最終求得可修系統(tǒng)在tk時刻的剩余壽命發(fā)生函數

以上各步計算中,須及時對發(fā)生函數進行同類項或近似項合并,以便動態(tài)縮減計算量。

4 數值算例

可修結構系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)由元件C1、C2、C3組成,如圖1所示,各元件應力均源自同一共因載荷,元件強度統(tǒng)計獨立,任一元件失效系統(tǒng)即發(fā)生故障。根據元件S-N曲線,分別在中位壽命處將元件組應力隨機過程等效為恒幅應力,幅值在局部樣本中近似為常數,在母體中為隨機變量,幅值向量S的統(tǒng)計信息如表1第1、2列所示。根據元件P-S-N曲線,在5個不同恒幅應力水平下各元件的條件壽命分布(對數正態(tài)分布)如表1第3、4列所示。

圖1 可修結構系統(tǒng)Fig.1 Repairable structural system

表1 數值算例已知信息Tab.1 The given information on the numerical example

2)根據表1中第3、4列提供的壽命對數均值和對數標準差數據,分別構造各元件在5個應力水平下的條件壽命發(fā)生函數UTh|i(z),h=1,2,3;i= 1,2,3,4,5.

3)分別將各元件在5個應力水平下的條件壽命發(fā)生函數代入(11)式,運用(12)式求得各元件在5個應力水平下的服役年齡發(fā)生函數,進一步運用(13)式、(14)式計算各元件在不同等效恒幅應力水平下的剩余壽命發(fā)生函數,再由連續(xù)化方法得到等效的概率密度。其中,應力水平s1(1)下元件C1在t100=100×105次,t200=200×105次,t500=500×105次的剩余壽命概率密度分別如圖2、圖3、圖4所示。為驗證分析方法的合理性,圖2、圖3、圖4同時給出了Monte Carlo法(統(tǒng)計模擬20000次)的計算結果,與UGF法分析結果非常接近。

4)根據性能結構函數Φ(a,b)=min(a,b),運用(3)式對各元件剩余壽命發(fā)生函數進行復合,求取可修

該系統(tǒng)為串聯系統(tǒng),設定檢測時間間隔為105次。以下分析元件與系統(tǒng)任意時刻的剩余壽命。

圖2 應力s1(1)下C1在t100時刻剩余壽命概率密度Fig.2 Probability density function(PDF)of residual life of C1under s1(1)at t100

圖3 應力s1(1)下C1在t200時刻剩余壽命概率密度Fig.3 Probability density of residual life of C1under s1(1)at t200

圖4 應力s1(1)下C1在t500時刻剩余壽命概率密度Fig.4 Probability density of residual life of C1under s1(1)at t500

1)根據表1中第1、2列數據,構造元件組的當量應力幅值發(fā)生函數串聯系統(tǒng)分別在元件組應力水平向量S(1),…,S(5)下的剩余壽命發(fā)生函數。

5)根據表1中第1列數據,對系統(tǒng)在各應力水平下的剩余壽命發(fā)生函數進行統(tǒng)計平均,由(19)式計算該系統(tǒng)在t100=100×105次的剩余壽命發(fā)生函數,得到相應的概率密度(見圖5).

圖5 可修系統(tǒng)t100時刻剩余壽命概率密度Fig.5 Probability density of residual life of repairable system at t100

5 結論

1)在可修系統(tǒng)剩余壽命分析中引入UGF法,針對機電裝備面向多生命周期設計、制造與服役的典型問題,構造各類UGF并定義相關復合算子,突破傳統(tǒng)二階矩法不能完成的更新過程分析時常出現的非單峰(見圖2)、非正態(tài)概率密度隨機變量多次復合運算的技術瓶頸,實現可修系統(tǒng)剩余壽命概率建模。

2)UGF法基于載荷離散化思想,根據元件組在等效恒幅應力各離散值下的壽命數據構建元件條件壽命發(fā)生函數,由自定義復合算子分別計算相應的系統(tǒng)條件剩余壽命發(fā)生函數,經統(tǒng)計平均得系統(tǒng)剩余壽命分布,由此建立的系統(tǒng)剩余壽命概率模型反映了各元件因等效恒幅應力不確定引發(fā)失效相關的內在機理。

3)UGF法適用于元件壽命為任意分布隨機變量的一般場合,克服了傳統(tǒng)模型較多依賴概率分布類型的缺陷,減小了概率分布假設導致的主觀誤差,同時也避免了Monte Carlo方法導致的計算復雜度,可為裝備系統(tǒng)剩余壽命精細化分析開辟新途徑。

4)UGF法暫未考慮隨機載荷歷程恒幅當量化對元件壽命分散性造成的影響,有待進一步深入研究和完善。

References)

[1] Grubbstr?m R W.The newsboy problem when customer demand is a compound renewal process[J].European Journal of Operational Research,2010,203(1):134-142.

[2] 徐安,呂振華.汽車更新理論及更新函數的研究[J].汽車工程, 1995,17(5):282-290,315.

XU An,LYU Zhen-hua.The research on vehicle renewal theory and renewal function[J].Automotive Engineering,1995,17(5):282-290, 315.(in Chinese)

[3] Jiang Z H,Shu L H,Benhabib B.Reliability analysis of non-constant-size part populations in design for remanufacture[J].Journal of Mechanical Design,2000,122(2):172-178.

[4] 岳文輝,劉德順,陳安華,等.面向維護的機電設備系統(tǒng)多分布可靠性建模與數值計算[J].中國機械工程,2008,19(13):1513-1517.

YUE Wen-hui,LIU De-shun,CHEN An-hua,et al.Modeling and numerical calculation of multi-distribution reliability of mechanical and system undergoing maintenance[J].China Mechanical Engineering, 2008,19(13):1513-1517.(in Chinese)

[5] Kallen M J.Modelling imperfect maintenance and the reliability of complex systems using superposed renewal processes[J].Reliability Engineering&System Safety,2011,96(6):636-641.

[6] Rausand M.Reliability centered maintenance[J].Reliability Engineering and System Safety,1998,60(2):121-132.

[7] Bae C,Koo T,Son Y,et al.A study on reliability centered maintenance planning of a standard electric motor unit subsystem using computational techniques[J].Journal of Mechanical Science and Technology,2009,23(4):1157-1168.

[8] Beaurepaire P,Valdebenito M A,Schu?ller G I,et al.Reliabilitybased optimization of maintenance scheduling of mechanical components under fatigue[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2012,221:24-40.

[9] Ushakov I A.Optimal standby problems and a universal generating function[J].Soviet Journal of Computer and Systems Sciences,1987, 25(4):79-82.

[10] Lisnianski A,Levitin G.Multi-state system reliability[M].New Jersey/London/Singapore:World Scientific,2003.

[11] Levitin G.A universal generating function approach for the analysis of multi-state systems with dependent elements[J].Reliability Engineering&System Safety,2004,84(3):285-292.

[12] Lisnianski A.Extended block diagram method for a multi-state system reliability assessment[J].Reliability Engineering&System Safety,2007,92(12):1601-1607.

[13] Zhou J Y,Xie L Y.Common cause failure mechanism and risk probability quantitative estimation of multi-state systems[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2008,44(10):77-81.

[14] Zhou J Y,Xie L Y.Generating function approach to reliability analysis of structural systems[J].Science in China Series E:Technological Sciences,2009,52(10):2849-2858.

[15] Li Y F,Zio E.A multi-state model for the reliability assessment of a distributed generation system via universal generating function[J]. Reliability Engineering&System Safety,2012,106:28-36.

[16] 謝里陽.擴展式可靠性建模方法與四元統(tǒng)計模型[J].中國機械工程,2009,20(24):2969-2973.

XIE Li-yang.Deployment-style reliability modeling approach and a four-parameter statistics model[J].China Mechanical Engineering, 2009,20(24):2969-2973.(in Chinese)

[17] 周金宇,謝里陽,錢文學.載荷相關結構系統(tǒng)的可靠性分析[J].機械工程學報,2008,44(5):45-50.

ZHOU Jin-yu,XIE Li-yang,QIAN Wen-xue.Analysis for reliability in structural systems with load dependency[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2008,44(5):45-50.(in Chinese)

[18] Xie L,Zhou J,Hao C.System-level load-strength interference based reliability modeling of k-out-of-n system[J].Reliability Engineering and System Safety,2004,84(3):311-317.

Residual Life Analysis of Repairable Systems Based on Universal Generating Function Approach

ZHOU Jin-yu1,XIE Li-yang2,HAN Wen-qin1,ZHU Fu-xian1
(1.Hi-tech Key Laboratory of Equipment Remanufacture,Jiangsu University of Technology,Changzhou 213001,Jiangsu,China; 2.School of Mechanical Engineering and Automation,Northeastern University,Shenyang 110004,Liaoning,China)

The residual life of systems is an important analysis index for multi-lifecycle-based design, manufacture and service of mechanical and electrical equipment.Based on the renewal process theory,a practical method for residual life probability analysis of components and the whole system in a finite time interval is put forward by means of the universal generating function(UGF).For systems undergoing stationary stochastic load process with global uncertainty,the conditional life UGFs of components are constructed according to failure data under all constant-amplitude stress levels,and the corresponding conditional residual life UGFs of the whole system can be figured out by using self-defined composition operators of UGFs.Statistical average of UGFs is employed to obtain the residual life distribution of the repairable system.When the composition operators are executed,the computational costs can be reduced by a big margin by means of collecting like terms.The new model is suitable for random variables with arbitrary distributions and embodies the failure dependence attributed to the uncertainty of equivalent stress amplitude of each component.

TH122;TB114.3

A

1000-1093(2014)07-1103-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2014.07.026

2013-09-27

國家自然科學基金項目(51275221);國家科技重大專項(2012ZX04007-011)

周金宇(1973—),男,教授,碩士生導師。E-mail:yuhangyuan888@sina.com